2.4培优课　圆锥曲线的综合问题 第一课时　最值、范围及证明问题课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆锥曲线中的最值、范围及证明问题，通过抛物线焦点弦最值、椭圆距离范围、双曲线角度证明等典型例题导入，结合通性通法总结几何与代数方法，形成从例题精研到方法归纳再到跟踪训练的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以典型例题为载体，通过代数运算、逻辑推理培养数学思维，用符号表达和模型构建强化数学语言。如例1联立方程结合不等式求向量点积最值，例3推导斜率关系证明平行，通性通法分类清晰。助力学生提升解题能力，为教师提供结构化教学资源。

第一课时　 最值、范围及证明问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 最值问题 【例1】　已知抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F ，点 M 是抛物线 C 上的动 点，过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 P ， Q 两点，且直线 l ⊥ MF ，设直线 MF 与抛物线 C 的另一个交点为 K ，求 · 的最小值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题意知 F （1，0），直线 l 的斜率 k 存在且不为0， 设 l 的方程为 y ＝ k （ x －1）， 由可得 k2 x2－（2 k2＋4） x ＋ k2＝0. 设 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），则 x1＋ x2＝2＋ ， x1 x2＝1. 因为直线 l ⊥ MF ，所以直线 MF 的斜率为－ . 设 M （ x3， y3）， K （ x4， y4），同理可得 x3＋ x4＝2＋4 k2， x3 x4＝1. 故 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋ · ＋ · 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ＝｜ ｜·｜ ｜＋｜ ｜·｜ ｜ ＝（ x1＋1）（ x2＋1）＋（ x3＋1）（ x4＋1） ＝ x1 x2＋ x1＋ x2＋1＋ x3 x4＋ x3＋ x4＋1 ＝8＋4 ≥8＋4×2 ＝16， 当且仅当 k2＝ ，即 k ＝±1时， · 取得最小值16. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要 有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质 以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求 最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数（解析 式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 如图所示，点 A ， B 分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点 F 是 椭圆的右焦点，点 P （ ， ）在椭圆上，设 M 是椭圆长轴 AB 上的 一点，点 M 到直线 AP 的距离等于｜ MB ｜，求椭圆上的点到点 M 的距 离 d 的最小值. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由已知可得点 A （－6，0），点 B （6，0），点 P . 直线 AP 的方程是 x － y ＋6＝0， 设点 M 的坐标是（ m ，0），则点 M 到直线 AP 的距离是 ， 于是 ＝｜ m －6｜， 又－6≤ m ≤6，解得 m ＝2. 由椭圆上的点（ x ， y ）到点 M 的距离为 d ， 得 d2＝（ x －2）2＋ y2＝ x2－4 x ＋4＋20－ x2 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ＝ ＋15，－6≤ x ≤6， 由 f （ x ）＝ ＋15的图象可知， 当 x ＝ 时， d 取最小值，且最小值为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 范围问题 【例2】　已知椭圆 C ： ＋ y2＝1，过点 M （4，0）的直线 l 交椭圆 于 A ， B 两个不同的点，且λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜，求λ的取值范围. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：当直线 l 的斜率为0时，λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜＝12. 当直线 l 的斜率不为0时，设直线 l ： x ＝ my ＋4，点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 联立消去 x 得（ m2＋4） y2＋8 my ＋12＝0. 由Δ＝64 m2－48（ m2＋4）＞0，得 m2＞12，所以 y1 y2＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜＝ ｜ y1｜· ｜ y2｜ ＝（ m2＋1）｜ y1 y2｜＝ ＝12 . 由 m2＞12，得0＜ ＜ ，所以 ＜λ＜12. 综上可得 ＜λ≤12，即λ∈ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的三个方面 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式或其他不等关系构造不等 式，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是 建立两个参数之间的等量关系； （3）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求 其值域，从而确定参数的取值范围. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知双曲线 － y2＝1，若过点 B （0，1）且与 x 轴不平行的 直线和双曲线相交于不同的两点 M ， N ，线段 MN 的垂直平分线 为 m ，求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设过点 M ， N 的直线方程为 y ＝ kx ＋1（ k ≠0）， 代入 － y2＝1，可得（1－3 k2） x2－6 kx －6＝0， 设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝－ ，则线段 MN 的中点为 ， 可得线段 MN 的垂直平分线方程为 y － ＝－ ， 令 x ＝0，可得 y ＝ ， 由Δ＝36 k2＋24（1－3 k2）＞0，解得3 k2＜2， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 又 ＜0，解得3 k2＜1， 综上可得，0＜3 k2＜1，即有 的范围是（4，＋∞）， 可得直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为（4，＋∞）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 证明问题 【例3】　已知椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1，直线 l ： x ＝2与椭圆 C 在 第一象限交于点 N ，点 A 是第四象限内的点且在椭圆 C 上，线段 AB 被 直线 l 垂直平分，直线 NB 与椭圆交于另一点 D ，求证： ON ∥ AD . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：依题意点 N 的坐标为 N （2，1），直线 ND 不与 x 轴垂直，设直 线 ND ： y －1＝ k （ x －2），即 y ＝ kx ＋1－2 k ， 直线 NA ： y －1＝－ k （ x －2），即 y ＝－ kx ＋2 k ＋1. 设点 D （ xD ， yD ）， A （ xA ， yA ）， 由得（1＋4 k2） x2＋8 k （1－2 k ） x ＋16 k2－16 k － 4＝0， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∵ N ， D 为直线与椭圆的两个交点， ∴2 xD ＝ ，∴ xD ＝ ， 同理，得 xA ＝ . 又 yD ＝ kxD ＋1－2 k ， yA ＝－ kxA ＋1＋2 k ， ∴ kAD ＝ ＝ ＝ ＝ . 又 kON ＝ ， ON 与 AD 不共线，∴ kAD ＝ kON ， ∴ ON ∥ AD . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 圆锥曲线中证明问题的常见类型 （1）位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂 直，直线过定点等； （2）数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通 过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左顶点为 A ，右焦 点为 F ，动点 B 在 C 上.当 BF ⊥ AF 时，｜ AF ｜＝｜ BF ｜. （1）求 C 的离心率； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设双曲线的离心率为 e ，焦距为2 c ， 在 － ＝1中， 当 BF ⊥ AF 时，点 B 的横坐标为 c ， 则 B 点的纵坐标为 y ＝± ， 因｜ AF ｜＝｜ BF ｜，所以 a ＋ c ＝ ，即 a2＋ ac ＝ b2， a2＋ ac ＝ c2－ a2，所以 e2－ e －2＝0，又 e ＞1，解得 e ＝2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）若 B 在第一象限，证明：∠ BFA ＝2∠ BAF . 解：证明：由（1）知2 a ＝ c ， b2＝3 a2， 所以双曲线方程可化为 － ＝1. 如图，设 B （ x ， y ）（ x ＞0， y ＞0），则 kAB ＝ ， kBF ＝ ， 设∠ BAF ＝θ，则tan θ＝ ， 所以tan 2θ＝ ＝ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ kBF ＝tan∠ BFA ， 又因为0≤2∠ BAF ＜π，0≤∠ BFA ＜π，所以∠ BFA ＝2∠ BAF . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $