5.4.2 二项式系数的性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现二项式系数性质从概念理解到实际应用的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二项式系数对称性、增减性|单选考第k项系数对应项（题1），夯实概念理解| |进阶层|系数和计算、赋值法应用|多选结合展开式系数分析（题5），提升推理能力| |综合层|实际情境应用、开放探究|“上升”数计数（题11）及条件选择问题（题10），培养创新意识|

4.2　二项式系数的性质 1.在（a＋b）n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是（　　） A.第n－k项　　　　　 B.第n－k－1项 C.第n－k＋1项 D.第n－k＋2项 2.已知（1＋x）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为（　　） A.212 B.211 C.210 D.29 3.（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展开式中各项系数之和为（　　） A.2n＋1 B.2n－1 C.2n＋1－1 D.2n＋1－2 4.（x－1）11的展开式中x的偶次项系数之和是（　　） A.－2 048 B.－1 023 C.1 024 D.－1 024 5.（多选）对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是（　　） A.a2＝－144 B.a0＝1 C.a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 6.（多选）关于的说法，正确的是（　　） A.展开式中第7项和第8项的二项式系数最大 B.展开式中无常数项 C.展开式中的第7项的系数最大 D.展开式中第4项的系数为286 7.若（x＋3y）n的展开式中各项系数的和等于（7a＋b）10的展开式中二项式系数的和，则n的值为　　　　. 8.已知展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项的二项式系数为　　　　. 9.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝　　　　. 10.在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为47，③各项系数之和为414，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设二项式，若其展开式中，　　　　　，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？ 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 11.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（　　） A.530　　　B.502　　　C.503　　　D.505 12.已知二项式（a＋）n（a＞0）的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中含x2项的系数为84，则a的值为（　　） A.2 B.1 C. D. 13.（多选）设常数a∈R，n∈N＋，对于二项式（1＋a）n的展开式，下列结论中，正确的是（　　） A.若a＜，则各项系数随着项数的增大而减小 B.若各项系数随着项数的增大而增大，则a＞n C.若a＝－2，n＝10，则第7项的系数最大 D.若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为239 14.在的二项展开式中，常数项是8，则实数a的值是　　　　，第　　　　项的二项式系数最大. 15.若（x2－3x＋2）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. （1）求a1＋a2＋…＋a10的值； （2）求（a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10）2－（a1＋a3＋a5＋a7＋a9）2的值. 16.已知（1＋m）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112. （1）求m，n的值； （2）求展开式中偶数项的二项式系数之和； （3）求（1＋m）n（1－x）的展开式中含x2项的系数. 4.2　二项式系数的性质 1.D　第k项的二项式系数是，由于＝，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同. 2.D　∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，∴展开式中奇数项的二项式系数之和为＝29. 3.D　令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2. 4.D　（x－1）11＝x11＋x10·（－1）＋x9·（－1）2＋…＋（－1）11，x的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024. 5.ACD　对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－1）]9，所以a2＝－×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D正确. 6.ABC　展开式的第r＋1项Tr＋1＝x13－r＝（－1）rx13－2r（r＝0，1，2，…，13）.对于A，展开式共有14项，根据组合数的性质可知，中间两项的二项式系数最大，即第7项和第8项的二项式系数最大，故A正确；对于B，令13－2r＝0，得r＝，不是整数，则无常数项，故B正确；对于C，第7项的系数为（－1）6＝，第8项的系数为（－1）7＝－＜0，显然＞－，故第7项系数最大，故C正确；对于D，第4项的系数为（－1）3＝－286，故D不正确.故选A、B、C. 7.5　解析：（7a＋b）10的展开式中二项式系数的和为＋＋…＋＝210，令（x＋3y）n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5. 8.10　解析：∵展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴展开式的通项Tr＋1＝25－rx15－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为＝10. 9.－256　解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. 10.解：选①，因展开式中只有第八项的二项式系数最大，则展开式共有15项，即n＝14， 二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝ ＝3r，r∈N，r≤14， 由7－r＝0得r＝2，因此，展开式中第3项是常数项， 所以存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项. 选②，因展开式中奇数项二项式系数之和为47，则有2n－1＝47＝214，解得n＝15， 二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝（）15－r ＝3r，r∈N，r≤15， 由＝0得，无整数解，即二项展开式中无常数项， 所以不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项. 选③，二项式展开式的各项系数之和为4n，依题意，4n＝414，解得n＝14， 二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝（）14－r＝3r，r∈N，r≤14， 由7－r＝0得r＝2，因此，展开式中第3项是常数项， 所以存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项. 11.B　由题意，得“上升”的正整数包含的两位数有个，三位数有个，…，九位数有个，则所有“上升”的正整数的个数为＋＋＋…＋＝29－－＝502. 12.B　∵二项式（a＋）n（a＞0）的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴n＝9.又∵（a＋）9的展开式的通项为Tr＋1＝a9－r＝a9－r，令＝2，解得r＝3，又展开式中含x2项的系数为84，即a6＝84，解得a＝1或a＝－1（舍去）. 13.BCD　二项式（1＋a）n的展开式的通项为Tr＋1＝·1n－r·（a）r＝·ar·，对于A，当a＝0时，则除常数项外，任意项的系数均为0，故A错误；对于B，若a≤n，则最后两项的系数为an－1，an，有an－1≥an，与已知矛盾，故a＞n，故B正确；对于C，若a＝－2，n＝10，则各项系数依次为（－2）0＝1，（－2）1＝－20，（－2）2＝180，（－2）3＝－960，（－2）4＝3 360，（－2）5＝－8 064，（－2）6＝13 440，（－2）7＝－15 360，（－2）8＝11 520，（－2）9＝－5 120，（－2）10＝1 024，故第7项的系数最大，故C正确；对于D，若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为a0＋a2＋a4＋a6＝1×1＋21×2＋35×4＋7×8＝239，故D正确.故选B、C、D. 14.－1　3　解析：的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通项可知Tk＋1＝（2x）4－k＝·24－k·（－a）k·，所以当k＝3时为常数项，代入可得·24－3·（－a）3＝8，解得a＝－1，由二项式定理可知展开式共有5项，则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大. 15.解：（1）令f（x）＝（x2－3x＋2）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， a0＝f（0）＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f（1）＝0， 故a1＋a2＋…＋a10＝－32. （2）（a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10）2－（a1＋a3＋a5＋a7＋a9）2＝（a0＋a1＋a2＋…＋a10）（a0－a1＋a2－…＋a10）＝f（1）·f（－1）＝0. 16.解：（1）由题意可得2n＝256，解得n＝8， ∴展开式的通项为Tk＋1＝mk， ∴含x项的系数为m2＝112， 解得m＝2或m＝－2（舍去）. 故m，n的值分别为2，8. （2）展开式中偶数项的二项式系数之和为＋＋＋＝28－1＝128. （3）∵（1＋2）8（1－x）＝（1＋2）8－x（1＋2）8， ∴含x2项的系数为24－22＝1 008. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $