第5章 4.2 二项式系数的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(　　) A．5　　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 解析：C　[二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.] 2．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　) A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n 解析：C　[方法一　令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝ ＝2n＋1－1. 方法二　令n＝1，知各项系数和为3，排除A，B，D.] 3．(x－)10的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 解析：D　[展开式第6项系数为－C，第5项和第7项系数分别为C，C且C＝C]． 4．已知bxn＋1＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，对任意x∈R恒成立，且a1＝9，a2＝36，则b＝(　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 解析：D　[因为bxn＋1＝b[(x－1)＋1]n＋1＝a0＋a1(x－1)＋…＋an(x－1)n，所以a1＝C·b＝nb＝9，a2＝C·b＝ ＝36，所以n－1＝8，即n＝9，所以b＝1.] 5．(多选)已知n(a＞0，n∈N＋)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的(　　) A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45 解析：BCD　[由(ax2＋)n的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知n＝10. 又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时，(a＋1)10＝1 024，所以a＝1， 所以(ax2＋)n＝(x2＋x－)10，其展开式的各二项式系数的和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数的和为×1 024＝512，故A错误；由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，因为x2与x－的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同，即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确；若展开式中存在常数项，则展开式中存在x的指数为0的项，由通项Tr＋1＝Cx2(10－r)，x－r＝Cx20－r，可得当20－r＝0，即r＝8时，符合要求，故C正确；由通项Tr＋1＝Cx20－r可得，当20－r＝15时，r＝2，所以展开式中含x15项的系数为C＝45，故D正确．] 6．(多选)已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则有(　　) A．m＝2 B．a3＝－280 C．a0＝－1 D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14 解析：BCD　[令1－x＝，即x＝，可得(2×－m)7＝(1－m)7＝a0＋＋＋…＋＝－128，得m＝3，若令x＝1，得a0＝(－1)7＝－1，(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]－7，所以a3＝C×(－1)7－3×(－2)3＝－280.对(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7两边求导得14(2x－3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令x＝2得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14.] 7．(1＋)n展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是　________　. 解析：(1＋)n＝a0＋a1＋a2()2＋…＋an·()n，令x＝1，得各项系数的和S＝a0＋a1＋…＋an＝2n， ∴8＜2n＜32. 又n∈N，∴n＝4. 由二项式系数的性质得系数最大的项为 T3＝C()2＝6x. 答案：6x 8．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x2项的系数为　________　. 解析：在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x2项的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＝165.] 答案：165 9．在(a－b)10的二项展开式中，系数最小项是　________　. 解析：在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6＝Ca5(－b)5＝－252a5b5. 答案：－252a5b5 10．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值． 解：由5，得Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝()5－r·C·x， 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4， ∴常数项T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得2n＝16，∴n＝4. 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3， ∴Ca4＝54， ∴a＝±. [能力提升练] 11．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn的项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：C　[利用二项式定理得到xmyn的系数，运用组合数公式计算． ∵f(m，n)＝CC， ∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.] 12．若函数f(x)＝(1＋sin x)2021＋(1－sin x)2021，其中≤x≤，则f(x)的最大值为　________　. 解析：令sin x＝t，t∈，则有y＝(1＋t)2021＋(1－t)2021，按t的升幂排列， (1＋t)2021＝1＋Ct＋Ct2＋…＋Ct2020＋Ct2021， (1－t)2021＝1－Ct＋Ct2－…＋Ct2020－Ct2021， 两者相加时，t的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同， 所以y＝2(1＋Ct2＋…＋Ct2020)，则t偶数次幂的最大值为1， 所以f(x)最大值为： 2＝2× ＝22021. 答案：22021 13．已知二项式(1＋ax)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，其展开式中各项系数和为27.若抛物线方程为y2＝2ax，过点 且倾斜角为 的直线l与抛物线交于A，B两点． (1)求展开式中最大的二项式系数(用数字作答)； (2)求线段AB的长度． 解：(1)二项式系数分别为C，C，…，C，其中C＝C最大，最大为35. (2)令x＝1，有(1＋a)7＝27，∴a＝1. 抛物线方程为y2＝2x，直线l过抛物线的焦点 且倾斜角为 ，则直线l的方程为y＝x－ . 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 可得x2－3x＋ ＝0，则x1＋x2＝3，x1x2＝ ，故|AB|＝ · ＝4. [素养培优练] 14．当n∈N时，将三项式(x2＋x＋1)n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： (x2＋x＋1)0＝1 (x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1 (x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1 (x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1 (x2＋x＋1)4＝x8＋4x7＋10x6＋16x5＋19x4＋16x3＋10x2＋4x＋1 … 广义杨辉三角形 第0行　　　　　　　　1 第1行　　　　　　　1　1　1 第2行　　　　　 1　2　3　2　1 第3行　　　　1　3　6　7　6　3　1 第4行　　　1　4 10 16 19 16 10 4　1 … 若在(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x8的系数为75，则实数a的值为(　　) A．1　　B．－1　　C．2　　D．－2 解析：C　[由广义杨辉三角形可得(x2＋x＋1)5＝x10＋5x9＋15x8＋30x7＋45x6＋51x5＋45x4＋30x3＋15x2＋5x＋1，故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x8的系数为15＋30a＝75，解得a＝2.] 学科网（北京）股份有限公司 $$