3.2抛物线的简单几何性质同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕抛物线几何性质，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念辨析到综合建模的知识进阶，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|抛物线标准方程、焦点准线、对称性等概念|单选与多选题结合，直接考查定义与方程求解，如第1题分类讨论焦点位置| |中档层（6-10题）|性质应用（距离、中点弦、面积计算）|填空与解答题结合，强化几何性质与代数运算，如第7题利用定义求中点距离| |提升层（11-16题）|综合应用（与直线、三角形结合，实际建模）|解答题为主，考查逻辑推理与建模，如第16题卫星接收天线情境问题|

3.2　抛物线的简单几何性质 1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（－4，－2）的抛物线的标准方程为（　　） A.y2＝－x B.x2＝－8y C.y2＝－8x或x2＝－y D.y2＝－x或x2＝－8y 2.在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为（　　） 3.若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（　　） A.p＜1　　　　　　　　 B.p＞1 C.p＜2 D.p＞2 4.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）.已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（　　） A. m B. m C. m D. m 5.（多选）下列关于抛物线y＝4x2的叙述正确的是（　　） A.抛物线开口向上 B.抛物线关于x轴对称 C.顶点在原点，焦点为（1，0） D.准线方程为y＝－ 6.（多选）已知点A（－2，4）在抛物线y2＝－2px（p＞0）上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（　　） A.抛物线的准线方程为x＝2 B.抛物线的焦点坐标为（－2，0） C.点B的坐标为（－2，－2） D.△OAB的面积为8 7.直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于　　　　. 8.抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为　　　　. 9.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若｜PF｜＝4，则△POF的面积为　　　　. 10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且｜AM｜＝，｜AF｜＝3，求此抛物线的标准方程. 11.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（　　） A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 12.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A（－1，0），点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，｜PF｜＝（　　） A.1 B.2 C.2 D.4 13.（多选）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点.若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（　　） A.△ABF是等边三角形 B.｜BF｜＝3 C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2＝6x 14.已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为　　　　，此时点P的坐标为　　　　. 15.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l交C于A，B两点（异于坐标原点O）. （1）若点M的坐标为（3，2），点P为抛物线C上一动点，线段MF与抛物线C无交点，且｜PM｜＋｜PF｜的最小值为5，求抛物线C的标准方程； （2）当直线l过（2p，0）时，证明：·＝0. 16.如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电. （1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； （2）问变电房M建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 3.2　抛物线的简单几何性质 1.D　若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax（a≠0），将点P（－4，－2）的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x.若焦点在y轴上，设方程为x2＝by（b≠0），将点P（－4，－2）的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y. 2.D　将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D. 3.D　设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x＝－的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值.∴＞1，即p＞2.故选D. 4.A　如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），点A在抛物线上，所以＝2p，则＝，所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为 m.故选A. 5.AD　由抛物线方程y＝4x2得其标准方程x2＝y，其中p＝，焦点F（0，），准线方程为y＝－，抛物线开口向上，关于y轴对称. 6.ABD　将A（－2，4）代入抛物线方程可得p＝4，因此抛物线方程为y2＝－8x，所以准线方程为x＝2，焦点坐标为（－2，0），故A、B正确；易知AF⊥x轴，所以B（－2，－4），故C错误；又因为｜AB｜＝8，所以S△OAB＝×8×2＝8，故D正确.故选A、B、D. 7.　解析：如图，直线4kx－4y－k＝0过定点，抛物线y2＝x的焦点F（，0），设弦AB的中点为M，分别过点A，M，B作准线x＝－的垂线，垂足分别为点P，Q，R，则｜MQ｜＝（｜AP｜＋｜BR｜）＝｜AB｜＝2，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝. 8.　解析：设抛物线上点的坐标为（x，±），此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为. 9.2　解析：由y2＝4x知：焦点F（，0），准线x＝－.设P点坐标为（x0，y0），则x0＋＝4，∴x0＝3，∴＝4×3＝24，∴｜y0｜＝2，∴S△POF＝××2＝2. 10.解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0）， 设A（x0，y0），由题意知M， ∵｜AF｜＝3，∴y0＋＝3， ∵｜AM｜＝，∴＋＝17， ∴＝8，代入方程＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 11.B　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.所以直线OA的方程为y＝x.由方程组得或不妨设A，B两点的坐标分别为（2p，2p）和（2p，－2p）.所以｜AB｜＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2. 12.B　由题意知，抛物线的准线方程为x＝－1，如图，过点P作PQ垂直准线于点Q，由抛物线的定义知｜PQ｜＝｜PF｜，∴＝＝sin∠PAQ.由正弦函数的性质知，要使最小，则∠PAQ最小，即∠PAF最大，即直线PA斜率的绝对值最大，即直线PA与抛物线相切.设PA所在的直线方程为y＝k（x＋1），联立整理得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0，则Δ＝（2k2－4）2－4k4＝0，解得k＝±1，即x2－2x＋1＝0，解得x＝1，代入y2＝4x得y＝±2.∴P（1，2）或P（1，－2）.利用焦半径公式得｜PF｜＝2. 13.ACD　∵以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得｜AB｜＝｜AF｜＝｜BF｜，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为｜BF｜2＝9，∴｜BF｜＝6.又点F到准线的距离为｜BF｜sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x. 14.　　解析：设点P（x0，y0）是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为. 15.解：（1）设d为点P到x＝－的距离，则由抛物线定义知，｜PF｜＝d， 所以当点P为过点M且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，｜PM｜＋｜PF｜取得最小值， 即3＋＝5，解得p＝4， 所以抛物线C的标准方程为y2＝8x. （2）证明：由题可设直线l的方程为：x＝my＋2p，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得y2－2pmy－4p2＝0， 由根与系数的关系可得：y1y2＝－4p2， 所以·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－4p2＝0， 所以当直线l过定点（2p，0）时，·＝0. 16.解：（1）如图，以经过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）. 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线. 设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. （2）要使架设电路所用电线长度最短，即使｜MA｜＋｜MB｜的值最小. 如图，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜， 所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M（2，）. 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $