5.4.1 二项式定理的推导 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦二项式定理，以牛顿求婚时思考二项式定理的情境故事导入，通过问题引导学生探究定理内容，结合多项式运算法则和计数原理推导定理，构建从情境到定义、公式再到应用的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算为核心素养，通过“通性通法”总结正用逆用定理、求特定项等方法，搭配典型例题和跟踪训练，如例1正用逆用展开式、例3求常数项，帮助学生提升推理与运算能力，教师可借助结构化内容高效开展教学。

4.1　二项式定理的推导 新课程标准解读 核心素养 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发 现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩 下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟 斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　你知道这个二项式定理的内容吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　二项式定理 二项式定理 二项展开式 等号 ⁠ 二项式系数 二项式通项 an ＋ b ＋…＋ bk bn 　 右边的式子　 （ k ＝0，1，2，…， n ）　 bk 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 从二项式定理中你能体会二项式系数与项的系数、项与项数的区 别吗？ 提示：（1）二项展开式中的二项式系数是指 ， ，…， 这些 组合数，与 a ， b 无关； （2）展开式中项的系数则是展开式中关于某一个（或两个）字母的 系数，与 a ， b 有关，项的系数未必是正数； （3）项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式 中的位置. 【想一想】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（ a ＋ b ） n 的展开式中共有 n 项. （　×　） （2）在公式中，交换 a ， b 的顺序对各项没有影响. （　×　） （3） an－ kbk 是（ a ＋ b ） n 展开式中的第 k 项. （　×　） （4）（ a － b ） n 与（ a ＋ b ） n 的二项展开式的二项式系数相同. （　√　） × × × √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 二项式（ x2＋ ）10的展开式中的常数项是（　　） A. 第10项 B. 第9项 C. 第8项 D. 第7项 解析：　通项 Tk＋1＝ ·（ x2）10－ k · ＝2 k · · ，令20 － ＝0得 k ＝8，∴常数项为第9项. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 在（1－2 x ）6的展开式中， x2的系数为 （用数字作答）. 解析：（1－2 x ）6的展开式的通项 Tk＋1＝ （－2） kxk ，当 k ＝2 时， T3＝ （－2）2 x2＝60 x2，所以 x2的系数为60. 60　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 二项式定理的正用、逆用 【例1】　（1）求（3 ＋ ）4的展开式； 解：法一　 ＝ （3 ）4＋ （3 ）3· ＋ （3 ）2· ＋ （3 ） ＋ ＝81 x2＋ 108 x ＋54＋ ＋ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　 ＝ ＝ （1＋3 x ）4 ＝ ·[1＋ ·3 x ＋ （3 x ）2＋ （3 x ）3＋ （3 x ）4]＝ （1＋ 12 x ＋54 x2＋108 x3＋81 x4）＝ ＋ ＋54＋108 x ＋81 x2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）化简： （ x ＋1） n － （ x ＋1） n－1＋ （ x ＋1） n－2－… ＋（－1） k （ x ＋1） n－ k ＋…＋（－1） n . 解：原式＝ （ x ＋1） n ＋ （ x ＋1） n－1（－1）＋ （ x ＋1） n －2（－1）2＋…＋ （ x ＋1） n－ k （－1） k ＋…＋ （－1） n ＝[（ x ＋1）＋（－1）] n ＝ xn . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. （ a ＋ b ） n 的二项展开式有 n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规 律是：（1）各项的次数和等于 n ；（2）字母 a 按降幂排列，从第 一项起，次数由 n 逐项减1直到0；字母 b 按升幂排列，从第一项 起，次数由0逐项加1直到 n . 2. 逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知 多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 若（1＋ ）4＝ a ＋ b （ a ， b 为有理数），则 a ＋ b ＝ 　　. 44 解析：∵（1＋ ）4＝1＋ ×（ ）1＋ ×（ ）2＋ × （ ）3＋ ×（ ）4＝1＋4 ＋18＋12 ＋9＝28＋16 ， ∴ a ＝28， b ＝16，∴ a ＋ b ＝28＋16＝44. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 化简：（ x －1）5＋5（ x －1）4＋10（ x －1）3＋10（ x －1）2＋5 （ x －1）. 解：原式＝ （ x －1）5＋ （ x －1）4＋ （ x －1）3＋ （ x －1）2＋ （ x －1）＋ （ x －1）0－1＝[（ x －1）＋1]5－1＝ x5 －1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 二项式系数与项的系数问题 【例2】　（1）求二项式 的展开式中第6项的二项式系数 和第6项的系数； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝ （2 ）6－ r · ＝（－1） r ·26－ r · ， ∴ T6＝－12 .∴第6项的二项式系数为 ＝6， 第6项的系数为 ·（－1）5·2＝－12. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求 的展开式中 x3的系数. 解：展开式的通项为 Tr＋1＝ x9－ r · ＝（－1） r · · x9－2 r ，令9－2 r ＝3，∴ r ＝3，即展开式中第四项含 x3，其 系数为（－1）3· ＝－84. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 一个二项展开式的某一项的二项式系数 与这一项的系数（二项式 系数与数字系数的积）是两个不同的概念，二项式系数一定为正 值，而项的系数既可以是正值也可以是负值，还可以是0. 2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分 为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确 定指数，求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件（ n 为正整 数， r 为非负整数， n ≥ r ）；（2）根据所求的指数，求所求解的项 或项的系数. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 求 的展开式的第三项的系数和常数项. 解： T3＝ （ x3）3 ＝ · x5， 所以第三项的系数为 · ＝ . 通项 Tr＋1＝ （ x3）5－ r ＝ · x15－5 r ，令15－5 r ＝0，得 r ＝3，所以常数项为 T4＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 求二项展开式中的特定项 【例3】　已知在（ － ） n 的展开式中，第6项为常数项. （1）求 n ； ∵第6项为常数项， ∴ r ＝5时，有 ＝0，即 n ＝10. 解：通项公式为： Tr＋1＝ （－3） r ＝ （－3） r . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求含 x2项的系数. 解：令 ＝2，得 r ＝ （10－6）＝2， ∴所求的系数为 （－3）2＝405. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题意得，令 ＝ k （ k ∈Z）， 则10－2 r ＝3 k ，即 r ＝5－ k . ∵ r ∈Z，∴ k 应为偶数，∴ k ＝2，0，－2，即 r ＝2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为405 x2，－61 236，295 245 x－2. 【母题探究】 （变设问）本题条件不变，求展开式中所有的有理项. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 求二项展开式的特定项的常见题型 （1）求第 r 项， Tr ＝ an－ r＋1 br－1； （2）求含 xr 的项（或 xpyq 的项）； （3）求常数项； （4）求有理项. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）； （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数 恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母 的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性 来求解； （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数 应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 在（1－ x3）（1＋ x ）10的展开式中， x5的系数是 ⁠. 解析： x5应是（1＋ x ）10中含 x5项、含 x2项分别与1，－ x3相乘的结 果，∴其系数为 ＋ （－1）＝207. 2. 若（ x － ）6展开式的常数项为60，则常数 a 的值为 ⁠. 解析： 的展开式的通项是 Tr＋1＝ x6－ r · x－2 r ＝ x6－3 r （－ ） r ，令6－3 r ＝0，得 r ＝2，即当 r ＝2时， Tr＋1为 常数项，即常数项是 a ，根据已知得 a ＝60，解得 a ＝4. 207　 4　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 在（ x － ）10的展开式中，含 x6的项的系数是（　　） 解析：　含 x6的项是 T5＝ x6（－ ）4＝9 x6. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 在（ － ）8的展开式中常数项是（　　） A. －28 B. －7 C. 7 D. 28 解析：　 Tr＋1＝ · · ＝（－1） r · · · ，当8－ r ＝0，即 r ＝6时， T7＝（－1）6· · ＝7. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （2 x － ）6的展开式的中间项为（　　） A. －40 B. －40 x2 C. 40 D. 40 x2 解析：　 的展开式的通项为 Tk＋1＝ （2 x ）6－ k ，则中间项为 T4＝ （2 x ）3· ＝20×23× × ＝－40 x2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. （1－ x ）10的展开式中第7项为 ⁠. 解析： T7＝ （－ x ）6＝210 x6. 5. 化简： 2 n ＋ 2 n－1＋…＋ 2 n－ k ＋…＋ ＝ ⁠. 解析：原式＝（2＋1） n ＝3 n . 210 x6　 3 n 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $