5.4.2二项式系数的性质课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

§4 二 项 式 定 理 第五章 第五章：计 数 原 理 4.2 二项式系数的性质 作者编号：、32200 1.了解杨辉三角.（重点） 2.掌握二项式系数的性质并灵活应用.（重点） 3.会用赋值法求系数和.（重难点） 学习目标 学习目标 作者编号：、32200 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右. 情境导入 ——P178页阅读材料《杨辉三角》 新课导入 作者编号：、32200 当n依次取1，2，3，...时，(a+b)n展开式的二项式系数如图. 观察右图，你发现什么规律？ ①对称性：在同一行中,每行两端都是1,与这两个1“等距离”的二项式系数相等. 探索新知 如图的表叫作二项系数表，历史上也称为杨辉三角（贾宪三角）. 一、用杨辉三角研究二项式系数 ②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 新知讲解 作者编号：、32200 例1：（1）根据杨辉三角，写出（a+b）7展开式的二项式系数。 典例讲解 （2） 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载. 如图所示，在杨辉三角中，第15行第15个数是____.（用数字作答） 解：由图可得（a+b）7展开式的二项式系数分别为： 1，7，21，35，35，21，7，1 解：由杨辉三角知,第0行的数为1;第1行的数依次为， ;第2行的数依次为，， ; 第3行的数依次为，，， ；第4行的数依次为，，，， . 由此可得第行第个数为 .所以第15行第15个数是 ． 15 新知讲解 作者编号：、32200 典例讲解 方法总结 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 （1）观察：对杨辉三角要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察. （2）找规律：通过观察找出每一行的数据之间、行与行之间的数据的规律. 巩固训练 “贾宪三角”又称“杨辉三角”，在 欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示）， 它揭示了为正整数 的展开式中 的各项系数的规律. 根据上述规律，回答下列问题： （1） _______________________________________； （2） 的展开式中 的系数是___； 8 （3） _________. 新知讲解 作者编号：、32200 ③增减性与最大值 即 因为 当 ，即 时， 由对称性知， 时， Cnk随k的增加而增加； Cnk随k的增加而减小. 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值. 探索新知 用杨辉三角研究二项式系数性质： 二、二项式系数变化趋势： 先增大后减小. 新知讲解 作者编号：、32200 典例讲解 例2 （改编）已知在 的展开式中第5项的二项式系数与第7项的 二项式系数相等. （1）求展开式中的二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数的绝对值最大的项. 解: （1），， 展开式共有11项，第6项的二项式系数最大， . （2）展开式的通项为，设第 项系数的绝对值最大， 即 最大， 则即 解得 ， 又，，即系数的绝对值最大的项为第8项， . 二项式系数的性质 新知讲解 作者编号：、32200 典例讲解 方法总结 （1）根据二项式系数的性质，当<m></m>为奇数时，中间两项的二项式系 数<m></m>，<m><m>相等，且同时取得最大值；当<m></m>为偶数时，中间一项的二项式 系数<m></m>最大. （2）求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根 据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式（组），解不等式（组） 的方法求解.一般地，若第<m></m>项的系数最大，则与之相邻两项（第<m></m>项， 第<m></m>项）的系数均不大于第<m></m>项的系数，由此列不等式组可确定<m></m>的 取值范围，再依据<m></m>来确定<m></m>的值，即可求出系数最大的项. 二项式系数的性质 新知讲解 作者编号：、32200 典例讲解 巩固训练 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 . （1）若第项的二项式系数最大，求 的值； （2）求二项展开式中系数最大的项. 解:（1）由题意得，即，解得 , 故二项展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，所以或 . （2）的展开式的通项为 . 设展开式中系数最大的项为 ， 则 解得，又，所以 ， 所以展开式中系数最大的项为 . 二项式系数的性质 新知讲解 作者编号：、32200 思考：在二项式定理 (1)令a=b=1； (2)令a=1,b=-1. 写出所得等式，你能得到什么结论？ 解：(1)二项式定理中中，如果令a=b=1，则有 探索新知 (2)令a=1，b=-1，则有 得 二项式系数求和方法 ——赋值法 新知讲解 作者编号：、32200 三、二项式系数和的性质： (1)二项展开式的二项式系数和为2n.即 (2)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n-1. 即 探索新知 新知讲解 作者编号：、32200 典例讲解 二项式展开式的系数——赋值法 例3 设 . （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值. 解： （1）令，得 . （3） ， ， , . （2）令，得 ， 结合（1）得 ， . 新知讲解 作者编号：、32200 典例讲解 二项式展开式的系数——赋值法 方法总结 二项展开式中系数和的求法： （1）对于形如， 的式 子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 即可； 对于形如的式子，求其展开式的各项系数之和， 只需令 即可. （2）一般地，若，则 展开式中 各项系数之和为， 奇数项系数之和为 ， 偶数项系数之和为 . 新知讲解 作者编号：、32200 典例讲解 二项式展开式的系数——赋值法 巩固训练1 （多选题）关于 的展开式，下列说法正确的是( ). BD A.所有项的系数和为0 B.二项式系数最大的项为第3项和第4项 C.所有项的二项式系数和为64 D.常数项为 巩固训练2 （多选题）已知 ，则下 列说法正确的是( ). ACD A.展开式中所有项的二项式系数的和为 B.展开式中所有奇次项系数的和为 C.展开式中所有偶次项系数的和为 D. 新知讲解 作者编号：、32200 典例讲解 整除或余数问题 例4 用二项式定理证明： 能被100整除． 解： ， 能被100整除． 新知讲解 作者编号：、32200 方法总结 整除性问题或求余数问题的处理方法 （1）解决这类问题，通常应构造一个与题目条件有关的二项式． （2）在用二项式定理处理这类问题时，通常把被除数的底数写成除数 （或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后 面（或是前面）的几项就可以了． 巩固训练 求 被8除的余数. 解： ， 其中 是8的整数倍， 故 被8除的余数为3. 典例讲解 新知讲解 作者编号：、32200 课堂小结 杨辉三角和二项式系数的关系： ①对称性： ③增减性与最大值 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值. ②. 先增大后减小. ⑤展开式中的二系数和： ——赋值法 奇数项系数之和为 ， 偶数项系数之和为 . ④展开式中的二项式系数和： 新知讲解 作者编号：、32200 课堂检测 1.使得的展开式中含有常数项的最小的 为( ). D A.6 B.5 C.4 D.3 2.设 ，则 的值为( ). A A. B.1 C.2 D. 3.已知 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数 最大的项的系数. [解析] 由题意得，得，解得或 （舍去），则第5项的二项式系数最大， ，故该项的系数 为 新知讲解 作者编号：、32200 4.当时，将 展开，可得到如图所示的展开式和“广义杨辉三角形”： …… 课堂检测 若在的展开式中， 的系数为75，求实数 的值 . …… [解析] 由“广义杨辉三角形”可得 ， 故在的展开式中， 的系数为，解得 ． 新知讲解 作者编号：、32200 $