5.1.3 基本计数原理的简单应用 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦基本计数原理的应用，通过组数、涂色及综合问题的典型例题，从基础密码问题逐步过渡到复杂的无重复数字、整除条件的组数问题，搭建递进式学习支架，帮助学生掌握分类分步策略与特殊元素处理方法。 其亮点在于注重通性通法总结（如组数原则、涂色策略）和母题变式训练，结合拼车限行、试验田种植等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理逻辑的核心素养。提供系统题型与检测题，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

1.3　 基本计数原理的简单应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 组数问题 【例1】　用0，1，2，3，4五个数字. （1）可以排出多少个三位数字的密码？ 解：三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复， 每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125个. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）可以排成多少个三位数？ 解：三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考 虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因 此，共有4×5×5＝100个. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此， 可以分两类，第1类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；第2 类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位， 因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有 2×3×3＝18种排法.根据分类加法计数原理，共有12＋18＝30种 排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. （变设问）由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位 奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第1步 定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第2步定首位，把 1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第 3步，第4步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再 排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有3×3×2×2＝36个. 【母题探究】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. （变设问）在本例条件下，能组成多少个能被3整除的四位数？ 解：一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组 成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类，每一类 的排法有3×3×2×1＝18个， 所以满足题设的四位数共有36个. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 对于组数问题应掌握以下2个原则 （1）明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关 键.一般按特殊位置（末位或首位）分类，分类中再按特殊位置 （特殊元素）优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采 用间接法求解； （2）要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（　） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 解析：　个位数只能是1或3，所以有2种选择，首位不能为0， 则有2种选择；百位数字有2种选择；十位数字只有1种选择；由 分步乘法计数原理，用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数 为奇数的有2×2×2×1＝8个. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 涂色问题 【例2】　如图，用5种不同色的颜料给 A ， B ， C ， D 四部分涂色， 要求共边的两部分颜色互异，有多少种不同的涂色方法？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：法一　按涂色种数进行分类. 第一类：涂4种颜色，则 A ， B ， C ， D 颜色各不相同，所以 A 有5种 涂法， B 有4种涂法， C 有3种涂法， D 有2种涂法. 所以共有5×4×3×2＝120种不同的涂法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 第二类：涂3种颜色，则 A ， C 颜色相同或 B ， D 颜色相同. 若 A ， C 颜色相同，则 A ， C 有5种涂法， B 有4种涂法， D 有3种涂法. 所以共有5×4×3＝60种不同的涂法. 若 B ， D 颜色相同，则同理也有60种不同的涂法. 所以共有60＋60＝120种不同的涂法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 第三类：涂2种颜色， 则 A ， C 颜色相同且 B ， D 颜色也相同， 所以 A ， C 有5种涂法； B ， D 有4种涂法. 所以共有5×4＝20种不同的涂法. 根据分类加法计数原理，共有120＋120＋20＝260种不同的涂色方法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　按 A ， C 颜色相同或不同进行分类. 第一类：若 A ， C 颜色相同，则 A ， C 有5种涂法， B 有4种涂法， D 有 4种涂法，故共有5×4×4＝80种不同的涂法. 第二类：若 A ， C 颜色不同，则 A 有5种涂法， C 有4种涂法， B 有3种 涂法， D 有3种涂法，故共有5×4×3×3＝180种不同的涂法. 所以根据分类加法计数原理，共有80＋180＝260种不同的涂色方法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 涂色问题的4个解答策略 　　涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉 及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要 找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常 用的方法有： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理 计算； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类 加法计数原理计算； （3）将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题； （4）对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分 类标准. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 如图所示的几何体是由一个三棱锥 P - ABC 与三棱柱 ABC - A1 B1 C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底 面 A1 B1 C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方 案共有 种. 12　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：先涂三棱锥 P - ABC 的三个侧面，再涂三棱柱的三个侧 面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2×1×1＝12种不同 的涂法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 两个计数原理的综合应用 【例3】　将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试 验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同 的种植方法共有 种. 解析：法一　分别用 a ， b ， c 代表3种农作物. 先安排第1块田（从左往右数，下同），有3种种植方法， 不妨设种植 a . 再安排第2块田，可种植 b 或 c ，有2种种植方法，不妨设种植 b . 42　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 再安排第3块田，若第3块田种植 c ，则第4，5块田各有2种种植方法， 即此时第4，5块田的种植方法种数为2×2＝4；若第3块田种植 a ，则 第4块田可种植 b 或 c ，①若第4块田种植 c ，则第5块田有2种种植方 法，②若第4块田种植 b ，则第5块田只能种植 c ，有1种种植方法. 综上所述，不同的种植方法种数为3×2×（4＋2＋1）＝42. 法二（间接法）　从左往右5块试验田分别有3，2，2，2，2种种植方 法，所以不同的种植方法种数为3×2×2×2×2＝48，这些方法中包 含“5块试验田只种植2种农作物”的情况种数为3×2×1×1×1＝6.所以 满足题意的不同的种植方法种数为48－6＝42. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 综合运用两个计数原理的技巧 　　解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，可能同 时应用两个计数原理，即分类时，某类的方法可能要运用分步完成； 而分步时，某步的方法可能会采用分类的思想求得.分类的关键在于要 做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的流程，即合理分 类，准确分步. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）“类中有步”计数问题：用流程图描述计数问题，“类中有步”的情 形如图所示.完成从 A 到 B 这件事的方法数为 m1· m2· m3＋ m4· m5； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）“步中有类”计数问题：用流程图描述计数问题，“步中有类”的情 形如图所示. 从计数的角度看，由 A 到 D 视为完成一件事的方法数为 m1（ m2 ＋ m3＋ m4） m5. 提醒　有时采用间接法求解计数问题，即先求出方法总数，再 减去不符合条件的方法数或重复计数的方法数. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋 友的车牌尾数分别是0，2，1，5.为遵守当地5月1日至5日这5天 的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾 数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合 规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数 为 ⁠. 64　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：由题意，1日、3日、5日这三天，只有车牌尾数为1，5的 车通行，则每天有2种用车方案，所以这三日的不同的用车方案 种数为23＝8；2日、4日这两天，只有车牌尾数为0，2的车通 行，且甲的车最多只能用一天，若用甲的车，则不同的用车方 案种数为2×2＝4，若不用甲的车，则不同的用车方案种数为22 ＝4.因此总的用车方案种数为8×（4＋4）＝64. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的半身裙，另有2套不同 样式的连衣裙.若“五一”节需选择1套服装参加歌舞演出，则李芳不 同的选择方式有（　　） A. 24种 B. 14种 C. 10种 D. 9种 解析：　由题意可得，李芳不同的选择方式的种数为4×3＋2＝ 14.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位 数的个数是（　　） A. 72 B. 60 C. 48 D. 12 解析：　分两种情况：当十万位为偶数时，有2×3×2×2＝24 （个）数；当十万位为奇数时，有3×3×2×2＝36（个）数，因此 总共有24＋36＝60（个）数. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环 不能涂相同的颜色，共有不同的涂色方案种数为（　　） A. 1 140 B. 1 520 C. 1 400 D. 1 280 解析：　从左到右依次涂色（也可以任选一个环作为开始），第 一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择， 所以总数为5×4×4×4×4＝1 280.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接 点 A ， B ， C ， D ， E ， F ，如果焊接点脱落，整个电路就会不通. 现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有 种. 解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个 焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63（种）可能情况. 63　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形 有公共边的三角形有 个. 解析：满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三 角形有8个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有8×4＝ 32（个），所以满足条件的三角形共有8＋32＝40（个）. 40　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $