精品解析：2022年河南省新乡市第十一中学九年级中考最后一模数学试题

2022年河南省普通高中招生考试《数学》模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数为分数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 奥密克戎是新型冠状病毒的一种变异株，它给全球人民带来了巨大的灾难，冠状病毒的直径约．将用科学记数法表示正确的是（ ）m． A. B. C. D. 3. 如图是某地一日气温T随时间t的变化图象．下列说法中错误的是（ ） A. 4时气温最低，最低为 B. 这一日温差为 C. 从14时至24时气温呈下降状态 D. 这天只有一个时刻气温为 4. 今年的植树节，某校组织学生参加义务植树活动．为了使每一列树都栽种在一条直线上，爱思考的小亮说：“只要在一列上定出两棵树的位置，就能保证一列上的所有树在一条直线上”．用数学知识解释其道理应是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两直线平行，同位角相等 D. 垂线段最短 5. 如图，是的直径，，则(　　) A. B. C. D. 6. 田径运动会上，有20名运动员参加了跳高比赛，其中19名运动员的成绩统计如下： 成绩（cm） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 人数 2 8 5 3 1 不论最后一位运动员的成绩如何，这组数据中不会发生改变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而减小 9. 如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，．将正六边形绕原点O顺时针旋转，每次旋转，经过第次旋转后，顶点D的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 不等式组的最小整数解是________． 13. 现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“中”、“国”．小亮从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“爱”和“国”的概率是________． 14. 如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为____． 15. 如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点F为BC边上的一个动点,把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为___. 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：． （2）解分式方程：． 17. 劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动．数学兴趣小组随机抽取该校部分学生进行问卷调查，问卷调查表如图所示，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 平均每周家务劳动时长调查表 设平均每周做家务的时间为x小时，则最符合你的选项是________（单选） A． B． C． D． 根据以上信息，解答下列问题： （1）数学兴趣小组共调查了________人． （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D所对应的圆心角度数． （3）该校有2500名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周家务劳动的时间不少于2小时的学生人数． 18. 火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角的度数范围为，点A距离地面的高度为． （1）当起重臂长度为，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度． （2）一日，某居民家突发火灾，已知该居民家距离地面的高度为．请问该云梯消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点B． （1）求k的值 （2）点C是x轴上的一点，若的面积为3，求点C的坐标． （3）若点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．根据图象直接写出时a的取值范围． 20. 如图，内接于，直线l与相切于点C． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：过点O作射线，交直线l于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若，求的长． 21. 2022年北京冬奥会如期举行，为满足大众的需求，某商店决定采购两款纪念品共100件进行零售．已知每件A款纪念品的进价比每件B款纪念品的进价多40元，4件A款纪念品的费用与6件B款纪念品的费用相等．每件A款纪念品的零售价为150元，每件B款纪念品的零售价为100元． （1）求两款纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）受政策影响，A款纪念品最多能进40件．请你用所学的函数知识说明商店应如何进货才能使销售完这批纪念品获利最大，并求出最大利润． （3）善于思考的子轩发现，无论如何进货，销售完这批纪念品的利润率是恒定的．请你用所学知识给出解释，并求出该值．（注：） 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于，，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式． （2）点是第二象限抛物线上一动点，过点P作轴于点Q．若，求m的值． （3）点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，是否存在以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知，点E是中点，点D是延长线上的一点，连接． （1）如图1，若，，，，则________． （2）如图2，过点C作交延长线于点F．若，，求证：． （3）如图3，若，是否存在实数m，使得当时，？若存在，请直接写出m的值（用含的式子表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省普通高中招生考试《数学》模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数为分数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分数的定义，判断各选项的数的类型即可求解． 【详解】解：A、是正分数； B、是整数，不是分数； C、是整数，不是分数； D、是无限不循环小数，属于无理数，因此也是无理数，不是分数． 2. 奥密克戎是新型冠状病毒的一种变异株，它给全球人民带来了巨大的灾难，冠状病毒的直径约．将用科学记数法表示正确的是（ ）m． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先进行单位换算，再根据科学记数法的要求整理即可； 【详解】解：∵， ∴． 3. 如图是某地一日气温T随时间t的变化图象．下列说法中错误的是（ ） A. 4时气温最低，最低为 B. 这一日温差为 C. 从14时至24时气温呈下降状态 D. 这天只有一个时刻气温为 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察函数图象，找出最高点与最低点的坐标以确定气温极值及温差，观察图象走势判断气温变化趋势，观察图象与横轴交点个数判断气温为的时刻数量； 【详解】解：由图象可知： 图象的最低点坐标为，最高点坐标为， 4时气温最低，最低为，故A选项说法正确；  这一日温差为，故B选项说法正确；  从14时至24时，图象从左向右呈下降趋势，  气温呈下降状态，故C选项说法正确；  图象与横轴（轴）有两个交点，  这天有两个时刻气温为，故D选项说法错误． 4. 今年的植树节，某校组织学生参加义务植树活动．为了使每一列树都栽种在一条直线上，爱思考的小亮说：“只要在一列上定出两棵树的位置，就能保证一列上的所有树在一条直线上”．用数学知识解释其道理应是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两直线平行，同位角相等 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵题干中定出两棵树的位置，本质是确定两个点，要确定所有树共线，即要通过两个点确定一条唯一的直线， ∴对应的数学道理是“两点确定一条直线”． 5. 如图，是的直径，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，先求得，进而根据圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 田径运动会上，有20名运动员参加了跳高比赛，其中19名运动员的成绩统计如下： 成绩（cm） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 人数 2 8 5 3 1 不论最后一位运动员的成绩如何，这组数据中不会发生改变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义即可解答． 【详解】∵19名运动员中成绩为1.55m的已经有8人，不论最后一位运动员的成绩如何，成绩为1.55m的人数都为最多， ∴这组数据中不会发生改变的统计量是众数． 故选C． 【点睛】本题考查平均数、中位数、众数和方差的定义．结合题意理解不论最后一位运动员的成绩如何，成绩为1.55m的人数都为最多是解题关键． 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设牧童有x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设牧童有x人，根据题意得， ， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 9. 如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，．将正六边形绕原点O顺时针旋转，每次旋转，经过第次旋转后，顶点D的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据4次一个循环，由，推出经过第次旋转后，顶点的坐标与第2次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 在正六边形中，，，， ， 在中，，， ， ， ， ， 将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转， 4次一个循环， ， 经过第次旋转后，顶点的坐标与第2次旋转得到的的坐标相同， 与关于原点对称， ∴， 经过第次旋转后，顶点的坐标， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 不等式组的最小整数解是________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：解得， 解得， 所以不等式组的解集为， 则不等式组的最小整数解是． 13. 现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“中”、“国”．小亮从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“爱”和“国”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张刮刮卡上的文字恰好是“爱”和“国”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张刮刮卡上的文字恰好是“爱”和“国”的结果有2种， 这两张刮刮卡上的文字恰好是“爱”和“国”的概率是：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 首先根据勾股定理求出，然后根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即，然后代数求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：30． 15. 如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点F为BC边上的一个动点,把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为___. 【答案】2 或9−3. 【解析】 【分析】分两种情况考虑：B′在横对称轴上与B′在竖对称轴上，分别求出BF的长即可． 【详解】当B′在横对称轴上，此时AE=EB=3，如图1所示， 由折叠可得△ABF≌△AB′F ∴∠AFB=∠AFB′,AB=AB′=6,BF=B′F， ∴∠B′MF=∠B′FM， ∴B′M=B′F， ∵EB′∥BF，且E为AB中点， ∴M为AF中点,即EM为中位线,∠B′MF=∠MFB， ∴EM=BF， 设BF=x,则有B′M=B′F=BF=x,EM=x,即EB′=x， 在Rt△AEB′中,根据勾股定理得：3 +(x) =6， 解得：x=2 ,即BF=2； 当B′在竖对称轴上时，此时AM=MD=BN=CN=4，如图2所示： 设BF=x,B′N=y，则有FN=4−x， 在Rt△FNB′中,根据勾股定理得：y+(4−x) =x， ∵∠AB′F=90°， ∴∠AB′M+∠NB′F=90°， ∵∠B′FN+∠NB′F=90°， ∴∠B′FN=∠AB′M， ∵∠AMB′=∠B′NF=90°， ∴△AMB′∽△B′NF， ∴ ,即， ∴y= x， ∴(x) +(4−x) =x， 解得x=9+3 ,x=9−3， ∵9+3>4，舍去， ∴x=9−3 所以BF的长为2或9−3， 故答案为2 或9−3. 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于作辅助线 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用负整指数幂法则、绝对值法则、二次根式的加减法则计算即可； （2）利用解分式方程的方法求解即可． 【详解】解：（1） （2）， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即分式方程的解是． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，负整指数幂，二次根式的加减，解分式方程，掌握实数运算的法则和解分式方程的步骤是解题的关键． 17. 劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动．数学兴趣小组随机抽取该校部分学生进行问卷调查，问卷调查表如图所示，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 平均每周家务劳动时长调查表 设平均每周做家务的时间为x小时，则最符合你的选项是________（单选） A． B． C． D． 根据以上信息，解答下列问题： （1）数学兴趣小组共调查了________人． （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D所对应的圆心角度数． （3）该校有2500名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周家务劳动的时间不少于2小时的学生人数． 【答案】（1） （2）； （3）1300人 【解析】 【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比求出调查的总学生人数； （2）根据总人数求出C等级的人数，即可补全条形统计图；根据D等级的人数求出D等级的百分比，即可求出D所对应的圆心角度数； （3）计算出C等级和D等级所占的百分比，再乘以2500即可． 【小问1详解】 解：本次问卷调查的学生数是：（人）； 【小问2详解】 解：C等级人数为（人）， D所对应的圆心角度数为， 补全条形统计图略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生有1300人． 18. 火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角的度数范围为，点A距离地面的高度为． （1）当起重臂长度为，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度． （2）一日，某居民家突发火灾，已知该居民家距离地面的高度为．请问该云梯消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 【答案】（1） （2）该云梯消防车能实施有效救援， 理由：如图：当，时，消防车能实施救援的高度最大， 过点作，垂足为， 则，， ， 在中，， ， ， ， 该云梯消防车能实施有效救援． 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，进而可得，然后进行计算即可解答； （2）当，时，消防车能实施救援的高度最大，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， ， 云梯消防车最高点距离地面的高度为； 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点B． （1）求k的值 （2）点C是x轴上的一点，若的面积为3，求点C的坐标． （3）若点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．根据图象直接写出时a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由正比例函数解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得的值； （2）利用三角形面积公式求得，即可求得点的坐标； （3）根据题意轴，结合函数的图象即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：正比例函数经过点， ， ， 点在反比例函数图象上， ； 【小问2详解】 解：点是轴上的一点，的面积为3， ，即， ， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：正比例函数与反比例函数相交于点和点， ， 点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 轴， 由图象可知，当时，的取值范围或． 20. 如图，内接于，直线l与相切于点C． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：过点O作射线，交直线l于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线即可； （2）连接，如图，先利用勾股定理计算出，再利用切线的性质得到，利用平行线的性质得到，接着证明，则可判断，然后利用相似比可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 则有， ， ， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 21. 2022年北京冬奥会如期举行，为满足大众的需求，某商店决定采购两款纪念品共100件进行零售．已知每件A款纪念品的进价比每件B款纪念品的进价多40元，4件A款纪念品的费用与6件B款纪念品的费用相等．每件A款纪念品的零售价为150元，每件B款纪念品的零售价为100元． （1）求两款纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）受政策影响，A款纪念品最多能进40件．请你用所学的函数知识说明商店应如何进货才能使销售完这批纪念品获利最大，并求出最大利润． （3）善于思考的子轩发现，无论如何进货，销售完这批纪念品的利润率是恒定的．请你用所学知识给出解释，并求出该值．（注：） 【答案】（1） A款纪念品每件进价为元，B款纪念品每件进价为元 （2） 购进A款件，B款件时获利最大，最大利润为元 （3） 设购进A款纪念品件，则购进B款纪念品件，其中且为整数， 总成本为， 总利润为， 则利润率为：， 化简后可得利润率与的取值无关，因此无论如何进货，利润率都是恒定的，该恒定利润率为． 【解析】 【分析】 （1）根据A、B两款纪念品的进价差和费用相等的关系，列一元一次方程求解即可； （2）设A款进货数量，得到总利润关于进货数量的一次函数，根据一次函数的增减性结合A款的进货数量限制，求出最大利润及对应进货方案； （3）设A款进货数量，分别表示出总成本和总利润，代入利润率公式化简，可得结果与进货数量无关，进而得到恒定利润率； 【小问1详解】 解：设B款纪念品每件进价为元，则A款纪念品每件进价为元， 根据题意得， 解得， 则， 答：A款纪念品每件进价为120元，B款纪念品每件进价为80元； 【小问2详解】 解：设购进A款纪念品件，总利润为元，则购进B款纪念品件， 由题意得， A款每件利润为元，B款每件利润为元， 则， ， 随的增大而增大， 当取最大值时，最大，最大元， 此时， 答：购进A款40件，B款60件时销售完获利最大，最大利润为2400元； 【小问3详解】 略 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于，，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式． （2）点是第二象限抛物线上一动点，过点P作轴于点Q．若，求m的值． （3）点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，是否存在以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）由，知当时，，即可得，然后求解即可； （3）设，，又，，，分三种情况：①若，为对角线，则，的中点重合，可得，②若，为对角线，则，的中点重合，可得，③若，为对角线，则，的中点重合，可得，分别解方程组可得答案． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解∶ 如图： 在中，令得， ∴，， ∵点是第二象限抛物线上一动点， ∴， ∵， ∴当时，， 此时， 解得（增根，舍去）或， ∴m的值是； 【小问3详解】 解∶存在以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设，，又，， ①若，为对角线，则，的中点重合， ∴， 解得（M与C重合，舍去）或， ∴； ②若，为对角线，则，的中点重合， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ③若，为对角线，则，的中点重合， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述，N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质与应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 23. 已知，点E是中点，点D是延长线上的一点，连接． （1）如图1，若，，，，则________． （2）如图2，过点C作交延长线于点F．若，，求证：． （3）如图3，若，是否存在实数m，使得当时，？若存在，请直接写出m的值（用含的式子表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：连接， ∵， ∴，， ∵点E是中点， ∴， ∴， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，结合题目条件可推得是等边三角形，则，根据点E是中点，可知，利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）连接，根据平行的性质可证得，从而推得，，然后根据平行的性质，推得，结合，得是等边三角形，从而推得，即可得证； （3）延长至点，使得，连接，，，则可得，从而推得，则，证明,即，过点作于，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是中点， ∴， 则， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 详解见答案； 【小问3详解】 解:存在，； 延长至点，使得，过点作于，连接，，， ∵点E是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ，， ， （）， ， ． 【点睛】本题（3）问涉及倍长中线模型，根据中点条件构造“8”字全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $