精品解析：2022年河南省安阳市林州市世纪学校九年级中考模拟二数学试题

林州市世纪学校九年级模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的． 1. 下列各数中，小于的是（ ） A. B. C. D. 2. 2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功发射！飞船绕地球飞行的速度约为27.6万公里/时．数据“27.6万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将等腰直角三角形的直角顶点C放置在矩形的边上，顶点A放置在边上，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体由5个大小相同的小正方体搭建而成．移走小正方体①后，下列说法正确的是（ ） A. 主视图发生变化 B. 左视图发生变化 C. 俯视图发生变化 D. 主视图、左视图、俯视图均未变化 6. 某校九年级（5）班开展“读一本好书，伴自己成长”活动，对本班学生一周的阅读时长进行了统计并绘制成如图所示的条形统计图，则该班学生一周阅读时长的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 随着生活水平的提高，人们对鲜花的喜爱程度日益增加．据调查，某花店的鲜花销售额由2019年的32万增加到2021年的46.08万．设该店2019年到2021年鲜花销售额的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在重阳节来临之际，某学校准备从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名学生作为代表去敬老院看望孤寡老人，则选择甲、乙两名学生作为代表的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图.按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线交于点.则点的坐标为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 已知关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的任意一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C是y轴上一动点．，则k的值为__________． 14. 如图，在等腰三角形中，，为边的中点，点为边上任意一点，连接，则的最小值为__________． 15. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，将沿折叠，当点A的对应点F落在矩形一边的垂直平分线上时，的长为 ______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与解方程组： （1）计算： （2）解方程组： 17. 分餐制是在用餐过程中避免交叉感染的一项重要举措，对于实行分餐制的家庭来说，能很好地量化食物，减少浪费．为号召大家养成“文明就餐，健康饮食”的习惯，某校从七、八两个年级各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩m（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级成绩频数分布表 成绩m/分 频数 频率 a b c 4 7 2 七、八年级成绩的平均数、中位数、众数、方差如下： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 77 89 八年级 80 n 其中，八年级20名学生成绩的数据如下： 54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91 请根据所给信息，解答下列问题： （1）______，______． （2）八年级成绩扇形统计图中，这一组成绩所在扇形的圆心角度数是______． （3）在此次测试中，小明的成绩是79分，他的成绩在他所属年级处于中等偏下水平，由表中数据，可知小明是______（填“七”或“八”）年级的学生，请说明理由． （4）若该校八年级600名学生都参加此次测试，成绩80分及以上为优秀；请估计该校八年级有多少名学生成绩优秀． 18. 如图，是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，的平分线交半圆于点，过点的半圆的切线交的延长线于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 19. 如图所示，我国某海域海岸观测点位于观测点正东方向60海里处．某天观测点在其北偏东方向发现一可疑船只，同时观测点测得可疑船只在其北偏西方向，并沿着方向逐渐向处靠近． （1）如图1，求观测点到可疑船只的距离．（结果保留根号） （2）如图2，一段时间后，观测点测得可疑船只已位于其北偏东方向的处，观测点测得船只仍在其北偏西方向，求此时的距离．（结果保留一位小数．参考数据：,） 20. 冬天是流感高发的季节，在今年冬天来临之际，为了预防流感，某学校购买了一批消杀用品．其中，购买A品牌消毒液共花费9000元，购买B品牌消毒液共花费6000元，且购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍．已知购买一瓶A品牌消毒液比购买一瓶B品牌消毒液少用5元． （1）求A，B两种品牌的消毒液每瓶各是多少元． （2）该校决定再购买A，B两种品牌的消毒液共600瓶，且B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍，则学校应该怎样购买可以使花费最少，最少花费为多少元？ 21. 学习过函数图象的画法后，小明同学探究了函数的图象与性质，以下是他的探究过程，请帮助小明同学对未完成的部分进行补充． （1）函数的自变量的取值范围是__________． （2）按照“先定自变量取值范围、再列表、接着描点、最后连线”的原则，小明同学制作了表格．下表是与的几组对应值． … 0 2 3 4 5 6 … … … 表格中的__________，__________． （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点（网格中每个小正方形的边长为1），请你补全剩余的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：__________． （4）若函数的图象上有三个点，，且，，则，，之间的大小关系为__________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（b为常数）与直线（m为常数，且）交于点和点C，直线与y轴交于点B． （1）求抛物线和直线的解析式． （2）若抛物线（c，d为常数，且）过点A，且其顶点在的内部，求c的取值范围． （3）将（1）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新函数W．若直线和函数W的图象有4个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围． 23. 综合与探究 （1）在中，分别以的边为边向三角形外作正方形和正方形，连接． ①如图1，在中，若，过点A作边上的高，延长交于点N，则和的数量关系是__________，和的关系是__________； ②若为任意三角形，则①中和的关系是否仍成立？若成立，请仅就图2的情形给予证明；若不成立，请说明理由． （2）如图3，在中，，分别以为边向外作正方形，连接，请直接写出六边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 林州市世纪学校九年级模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的． 1. 下列各数中，小于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先估算的近似值，再根据负数比较大小的法则判断，负数比较大小，绝对值越大的数越小； 【详解】解：， ， 比较各选项数的绝对值： ，，，， 根据负数比较大小的规则，绝对值越大的负数越小，可得 ， 小于的数是． 2. 2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功发射！飞船绕地球飞行的速度约为27.6万公里/时．数据“27.6万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：数据“27.6万”用科学记数法表示为． 3. 如图，将等腰直角三角形的直角顶点C放置在矩形的边上，顶点A放置在边上，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由等腰三角形的性质可得，，则可求得，再由矩形的性质得，则有，利用补角的定义即可求的度数． 【详解】解：是等腰三角形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方、同类项合并、单项式乘法、完全平方公式的法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项 A错误； B．与不是同类项，不能合并，即选项B错误； C．，即选项C正确； D．，即选项D错误． 5. 如图所示的几何体由5个大小相同的小正方体搭建而成．移走小正方体①后，下列说法正确的是（ ） A. 主视图发生变化 B. 左视图发生变化 C. 俯视图发生变化 D. 主视图、左视图、俯视图均未变化 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出移走小正方体①前后的三视图，然后判断即可． 【详解】解：移走小正方体①前，主视图，左视图，俯视图分别为： ，， 移走小正方体①后，主视图，左视图，俯视图分别为： ，， ∴主视图，左视图没有发生变化，俯视图发生变化． 6. 某校九年级（5）班开展“读一本好书，伴自己成长”活动，对本班学生一周的阅读时长进行了统计并绘制成如图所示的条形统计图，则该班学生一周阅读时长的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据条形统计图得出各组的频数，求出总人数，再根据众数和中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知，阅读时长为的人数最多，有11人， ∴众数为； 总人数为（人）， ∴中位数为第20个和第21个的平均数， ∵，， ∴第20个和第21个在第这一组， ∴中位数为， 综上所述，该班学生一周阅读时长的中位数和众数分别是，． 7. 随着生活水平的提高，人们对鲜花的喜爱程度日益增加．据调查，某花店的鲜花销售额由2019年的32万增加到2021年的46.08万．设该店2019年到2021年鲜花销售额的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均增长率的规律，推导得到2021年销售额的表达式，结合已知条件即可列出方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2019年销售额为32万， ∴2020年销售额为， ∴2021年销售额为， 又∵2021年实际销售额为46.08万， ∴可列方程为 8. 在重阳节来临之际，某学校准备从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名学生作为代表去敬老院看望孤寡老人，则选择甲、乙两名学生作为代表的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法列出所有等可能结果，统计满足条件的结果数，代入概率公式即可求解 【详解】解：从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名，所有等可能的结果为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共种， ∵其中恰好选择甲、乙两名学生作为代表的结果只有种， ∴ 9. 如图，在菱形中，，，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图.按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线交于点.则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长BC交y轴于点D可求OD，CD的长，进一步求出BD的长，再解直角三角形BPE，求得BP的长，从而可确定点P的坐标. 【详解】延长BC交y轴于点D，MN与AB将于点E，如图， ∵四边形OABC是菱形，∠AOC=30°, ∴OA=OC=AB=BC=4，BC∥OA，∠ABC=30°, ∴∠OCD=∠AOC=30°， ∴OD=OC=2，即点P的纵坐标是2. ∴DC=2, ∴BD=BC+CD=4+2, ∵MN是AB的垂直平分线， ∴BE=AB=2， ∴BP=， ∴DP=BD-BP=4+2-=4+. ∴点P的坐标为 故选C. 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，也考查了菱形的性质和解直角三角形． 10. 如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据A的运动路径，计算前几次的路线长，探究一般性规律，然后计算求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动第五次A的路线长是：， 以此类推，每四次为1个循环， ∴顶点A转动四次经过的路线长为：， ∵， ∴这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 已知关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】首先表示出不等式组的解集，然后由数轴得到不等式组的解集，然后比较得到，进而求解即可． 【详解】解：解不等式组得， 由数轴得，关于的不等式组的解集为， ∴， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的任意一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C是y轴上一动点．，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析点A的位置和三角形的面积，可以推导出k的具体数值． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，垂足为B， ∴， ∴，即， ∵点C是y轴上一动点．， ∴， ∴，解得或， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 14. 如图，在等腰三角形中，，为边的中点，点为边上任意一点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接 ，过点作于点，得到，此时取得最小值，利用相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接 ，过点作于点，  点与点关于对称 ，  ， ，此时取得最小值，  是等腰三角形，，  ， ∵ ，  ， 在中， ， 点与点关于对称，  ，  ，    ，  ， ∴， ∴， 为的中点 ， ，   ， ，   ， 在中， ， 的最小值为 ． 15. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，将沿折叠，当点A的对应点F落在矩形一边的垂直平分线上时，的长为 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①过F作交于M，交于N，则直线是矩形的对称轴，得出，由勾股定理得到，求得，再由勾股定理解得即可；②过F作交于P，交于Q；求出，由三角函数求出． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，过F作交于M，交于N， 则直线是边的垂直平分线， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②如图2，过F作交于P，交于Q，连接， 则直线是边的垂直平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴设，则， 在， 即， 解得：或（舍去） 综上所述：的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，正确画出图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与解方程组： （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，算术平方根和零指数幂，然后计算加减； （2）利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为：． 17. 分餐制是在用餐过程中避免交叉感染的一项重要举措，对于实行分餐制的家庭来说，能很好地量化食物，减少浪费．为号召大家养成“文明就餐，健康饮食”的习惯，某校从七、八两个年级各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩m（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级成绩频数分布表 成绩m/分 频数 频率 a b c 4 7 2 七、八年级成绩的平均数、中位数、众数、方差如下： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 77 89 八年级 80 n 其中，八年级20名学生成绩的数据如下： 54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91 请根据所给信息，解答下列问题： （1）______，______． （2）八年级成绩扇形统计图中，这一组成绩所在扇形的圆心角度数是______． （3）在此次测试中，小明的成绩是79分，他的成绩在他所属年级处于中等偏下水平，由表中数据，可知小明是______（填“七”或“八”）年级的学生，请说明理由． （4）若该校八年级600名学生都参加此次测试，成绩80分及以上为优秀；请估计该校八年级有多少名学生成绩优秀． 【答案】（1），87 （2） （3）八 （4）估计该校八年级有330名学生成绩优秀 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）算出样本容量，再算出a， 将样本容量减去其他 4 组的频数即可求出，直接得出； （2）根据给定的八年级成绩，统计出组频数， 再除以 20 ， 乘以即可； （3）根据七、八年级的中位数即可作出判断； （4）先求出样本中八年级成绩80分及以上所占比例， 再乘以 600 即可． 【小问1详解】 七年级样本容量为：人， ， ， ； 八年级成绩87分出现3次，是出现次数最多的， ， 故答案为：，87； 【小问2详解】 八年级样本容量为：人， 八年级成绩中，有3个， 这一组成绩所在扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 七年级中位数是77分，八年级中位数是80分，79分在所属年级处于中等偏下水平， 小明是八年级的学生， 故答案为：八； 【小问4详解】 八年级样本中成绩80分及以上有11人， 估计该校八年级成绩优秀有：（名）， 答：估计该校八年级有330名学生成绩优秀． 18. 如图，是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，的平分线交半圆于点，过点的半圆的切线交的延长线于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由等边对等角和角平分线得到，得到，由切线得到，进而求解即可； （2）如图，过点D作于点F，连接，得到，然后由求出，证明，得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，连接， ∵，， ∴， ∵， ， ∵，是半圆的直径， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图所示，我国某海域海岸观测点位于观测点正东方向60海里处．某天观测点在其北偏东方向发现一可疑船只，同时观测点测得可疑船只在其北偏西方向，并沿着方向逐渐向处靠近． （1）如图1，求观测点到可疑船只的距离．（结果保留根号） （2）如图2，一段时间后，观测点测得可疑船只已位于其北偏东方向的处，观测点测得船只仍在其北偏西方向，求此时的距离．（结果保留一位小数．参考数据：,） 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】（1）过点作，根据等腰三角形的性质和三角函数进行求解即可； （2）过点作，利用三角函数求解即可； 【小问1详解】 过点作， 由题意可得：， 是等腰三角形， ， 点是的中点， （海里）， （海里）， （海里）； 【小问2详解】 过点作， 由题意可得：， 设，则， 在中，， ， 在，， ， ， ， ， ， ， ， ， （海里）． 20. 冬天是流感高发的季节，在今年冬天来临之际，为了预防流感，某学校购买了一批消杀用品．其中，购买A品牌消毒液共花费9000元，购买B品牌消毒液共花费6000元，且购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍．已知购买一瓶A品牌消毒液比购买一瓶B品牌消毒液少用5元． （1）求A，B两种品牌的消毒液每瓶各是多少元． （2）该校决定再购买A，B两种品牌的消毒液共600瓶，且B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍，则学校应该怎样购买可以使花费最少，最少花费为多少元？ 【答案】（1）A品牌消毒液每瓶15元，B品牌消毒液每瓶20元 （2）购买A品牌消毒液200瓶，B品牌消毒液400瓶时花费最少，最少花费为11000元 【解析】 【分析】（1）设A品牌消毒液每瓶x元，则B品牌消毒液每瓶元，根据“购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍”列分式方程求解； （2）设购买A品牌消毒液m瓶，则购买B品牌消毒液瓶，总花费为w元，根据“B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍”列不等式求出，然后表示出w，利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A品牌消毒液每瓶x元，则B品牌消毒液每瓶元， 根据题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解， ∴（元） 答：A品牌消毒液每瓶15元，B品牌消毒液每瓶20元； 【小问2详解】 解：设购买A品牌消毒液m瓶，则购买B品牌消毒液瓶，总花费为w元， 根据题意得， 解得 ∴ ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，w取得最小值，最小值为（元） ∴（瓶） 答：购买A品牌消毒液200瓶，B品牌消毒液400瓶时花费最少，最少花费为11000元． 21. 学习过函数图象的画法后，小明同学探究了函数的图象与性质，以下是他的探究过程，请帮助小明同学对未完成的部分进行补充． （1）函数的自变量的取值范围是__________． （2）按照“先定自变量取值范围、再列表、接着描点、最后连线”的原则，小明同学制作了表格．下表是与的几组对应值． … 0 2 3 4 5 6 … … … 表格中的__________，__________． （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点（网格中每个小正方形的边长为1），请你补全剩余的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：__________． （4）若函数的图象上有三个点，，且，，则，，之间的大小关系为__________． 【答案】（1） （2），5 （3）图象见解析，当时，；当时，（答案不唯一） （4） 【解析】 【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）将和代入函数解析式求解即可； （3）连点成线即可画出函数图象；观察函数图象即可求解； （4）根据函数图象得到函数的增减性，进而求解． 【小问1详解】 解：∵函数 ∴， 解得； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：如图所示， 写出该函数的一条性质：当时，；当时，（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：由函数图象得，当时，随增大而增大，且；当时，， ∵，， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（b为常数）与直线（m为常数，且）交于点和点C，直线与y轴交于点B． （1）求抛物线和直线的解析式． （2）若抛物线（c，d为常数，且）过点A，且其顶点在的内部，求c的取值范围． （3）将（1）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新函数W．若直线和函数W的图象有4个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用待定系数法将点A分别代入抛物线和直线的解析式中求得b和m的值，即可得出结果； （2）先确定出新抛物线的解析式，再求出顶点坐标，紧接着分析的范围，建立不等式求解即可得出结果； （3）先分析函数W的图象，再分析直线与图象的交点，最终确定出范围． 【小问1详解】 解：抛物线（b为常数）经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵直线（m为常数，且）经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线（c，d为常数，且）过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线与直线交于点E， ∵当时，， ∴， ∵抛物线顶点在的内部， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（1）知：， ∴直线， 当直线与新函数W有3个公共点时， 即直线与直线重合，直线和函数W的图象有3个公共点， 将直线沿着y轴的正方向向上平移，则直线与新函数W有4个公共点， ∴， 当直线与原抛物线只有一个公共点时，直线与新函数W有3个公共点， 此时方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线和函数W的图象有4个公共点时，k的取值范围是． 23. 综合与探究 （1）在中，分别以的边为边向三角形外作正方形和正方形，连接． ①如图1，在中，若，过点A作边上的高，延长交于点N，则和的数量关系是__________，和的关系是__________； ②若为任意三角形，则①中和的关系是否仍成立？若成立，请仅就图2的情形给予证明；若不成立，请说明理由． （2）如图3，在中，，分别以为边向外作正方形，连接，请直接写出六边形的面积． 【答案】（1）①，；②仍成立，理由见详解 （2）926 【解析】 【分析】（1）①通过证明三角形全等得出线段关系和面积关系； ②通过构造全等三角形来证明面积关系仍然成立； （2）先求出的面积，再根据前面得出的面积关系求出六边形的面积． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ②仍成立， 理由：如图2，延长至点H，使得，连接， ∴， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图3，过点A作交于点Q， 设， ∵， ∴， ∵，， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 由②知：， 同理可得：， ∵，，，分别以，，为边向外作正方形，，， ∴ ． 第1页/共1页 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