精品解析：2022年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级中考第三次模拟数学试题

2021—2022学年下期九年级数学三质检练习题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几何体中，其俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为人，的原数是（ ） A. 440000000 B. 44000000000 C. 440000000000 D. 4400000000 4. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 春节期间，由于新冠变异毒株奥密克戎在全球的传播，各地都加大了疫情防控力度，在疫情防控指挥部组织的下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查某市市民平均每日废弃的口罩数量 B. 调查某厂家生产的防护口罩的合格率 C. 调查某市中小学生春节期间去往新冠疫情高风险地区的情况 D. 调查某市各中小学生对防护新冠肺炎知识的了解程度 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　) A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ） A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 9. 九年级（3）班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳60个，小王跳120个所用的时间和小张跳180个所用的时间相等．设小王跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为1，以为直径作半圆，点P是中点，与半圆交于点Q，连接，给出如下结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 12. 甲乙两人参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 __． 13. 如图，，，．若，，则的值为______． 14. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，将扇形OAB绕边OB的中点D顺时针旋转90°得到扇形O，A，B，，弧A，B，交OA于点E，则图中阴影部分的面积为_______． 15. 小航用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：|﹣4|﹣（）﹣2tan30°+． （2）化简：． 17. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）： b．甲滑雪场游客消费额的数据在这一组的是： 410 430 430 440 440 440 450 450 520 540 c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲滑雪场 420 m 乙滑雪场 390 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）一名被调查的游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由； （3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额． 18. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． 图1 （1）求的度数； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）将直线BC向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上的动点，当的值最小时，请直接写出点P的坐标． 20. 欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________． 求证：___________． 证明： 21. 为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗．经咨询，这两种花苗的价格都有零售价和批发价之分（若按批发价购买，则每种花苗购买数量不少于100株），零售时每株甲种花苗比每株乙种花苗多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，所用费用分别是100元、50元． （1）求甲、乙两种花苗的零售价； （2）该校预计批发这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株．设甲种花苗的批发数量为m株，相比按零售价购买可节约的资金总额为W元，求W与m之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值． 22. 已知二次函数． （1）求出二次函数图象的对称轴： （2）若该二次函数的图象经过点，且整数a，b满足．求二次函数的表达式； （3）在（2）的条件下且，当时有最小值，求t的值． 23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作的平分线，交点为E；（3）作直线．直线即为线段的垂直平分线． 简述作图理由： 由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线． 小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段上截取；（3）连接，交点为E；（4）作直线．直线即为线段的垂直平分线． …… 任务： （1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是__________； （2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由； （3）如图3，已知，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年下期九年级数学三质检练习题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几何体中，其俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上边看到的图形，即可得解． 【详解】A.球体的俯视图是圆，故不符合题意； B.正方体的俯视图是正方形，故不符合题意； C.三棱柱的俯视图是三角形，故符合题意； D.圆柱的俯视图是圆，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题的关键． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为人，的原数是（ ） A. 440000000 B. 44000000000 C. 440000000000 D. 4400000000 【答案】D 【解析】 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解： 故选D． 【点睛】此题考查的是将科学记数法还原,掌握乘方的意义是解决此题的关键． 4. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A、∵，选项A不正确，不符合题意； B、∵，选项B不正确，不符合题意； C、∵，选项C正确，符合题意； D、∵，选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及完全平方公式，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2． 5. 春节期间，由于新冠变异毒株奥密克戎在全球的传播，各地都加大了疫情防控力度，在疫情防控指挥部组织的下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查某市市民平均每日废弃的口罩数量 B. 调查某厂家生产的防护口罩的合格率 C. 调查某市中小学生春节期间去往新冠疫情高风险地区的情况 D. 调查某市各中小学生对防护新冠肺炎知识的了解程度 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项调查某市市民平均每日废弃的口罩数量、D选项调查某市各中小学生对防护新冠肺炎知识的了解程度，均因调查范围广、无需绝对精准，适合抽样调查，不符合题意． B选项调查某厂家生产的防护口罩的合格率，数量大且具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意． C选项调查某市中小学生春节期间去往新冠疫情高风险地区的情况，事关疫情防控，需精准排查且范围可控，适合全面调查，符合题意． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出来，其公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式3x－1>－4，得x＞－1， 解不等式2x≤x＋2，得x≤2， 故原不等式组的解集为－1＜x≤2． 其解集在数轴上表示如D选项． 故选D. 【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0三个条件，取公共部分求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即． ∵二次根式有意义， ∴，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 8. 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ） A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°， ∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°， ∴∠3=∠4=35°， ∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 9. 九年级（3）班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳60个，小王跳120个所用的时间和小张跳180个所用的时间相等．设小王跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小王跳绳速度为x个每分钟，根据所用的时间相等列出分式方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为1，以为直径作半圆，点P是中点，与半圆交于点Q，连接，给出如下结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，得到，则可证明，再证明，可判断①；过点Q作于点H，证明，得到，进而得到；设，则，在中，由勾股定理列出方程，解得，从而得到，可判断②；由，可判断③；证明，则由，可判断④． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，； ∵以为直径作半圆，点P是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点Q作于点H， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 12. 甲乙两人参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 __． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】画树状图，展示所有4种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：把“做社区志愿者”和“做交通引导员”分别记为A、B， 画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“做社区志愿者”的结果有1种， ∴两人同时选择“做社区志愿者”的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率，解题的关键是用树状图列出所有等可能的结果以及熟记概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，，，．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，通过角的和差关系证明，结合已知角相等证明，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 14. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，将扇形OAB绕边OB的中点D顺时针旋转90°得到扇形O，A，B，，弧A，B，交OA于点E，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长EO交O'A'于P，分S阴影OPO′和S阴影A′PE两部分来求，之后加起来即可． 【详解】解：延长EO交O'A'于P，则由∠AOB=90°，OA=OB=2，D为OB中点，可得 S阴影OPO′=12-； ∵O′P=OE，∠EPO'=90°， ∴cos∠EO'P=， ∴∠EO'P=60°，EP= ∴S阴影A′PE=S扇形O′A′E-S△O′PE = ∴S阴影═1-． 故答案为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，特殊角的三角函数及扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 15. 小航用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】因为点D′恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D′落在AB边上和BC边上两种情况分析，勾股定理求解即可． 【详解】解：当D′落在AB边上时，如下图， 设DD′交AB于点E， 由折叠知：∠ =∠=∠A=45°， AD=A′D=A′D′，DD′⊥A′E，A′C=AC， ∵∠ACB=90°，BC=AC= ， ∴AB=1，∠B=45°， 设=x，则在Rt△中， ， 在Rt△ECB中，EC=BC=1， ∵A′C=AC=， ∴+1=， 即x=2−； 当D′落在BC边上时，如下图， 因为折叠，∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°， ∠A=∠=∠CA′D′=45°， 作⊥， 设 =x，则 ，CE=， ∵A′C=AC=， ∵+=， 解得：x=， 故答案为：2−或 【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30°的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：|﹣4|﹣（）﹣2tan30°+． （2）化简：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，负整数指数幂，乘方，开方，正切值，然后进行加减运算即可； （2）对各分式先进行因式分解，然后通分运算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了绝对值，负整数指数幂，乘方，开方，正切值，分式的化简．解题的关键在于正确的计算与因式分解的熟练运用． 17. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）： b．甲滑雪场游客消费额的数据在这一组的是： 410 430 430 440 440 440 450 450 520 540 c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲滑雪场 420 m 乙滑雪场 390 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）一名被调查的游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由； （3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额． 【答案】（1）430 （2）乙滑雪场的游客， ∵甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元， ∴他不是甲滑雪场的游客，而是乙滑雪场的游客； （3）5850000 【解析】 【分析】（1）根据题意得到位于第25位和第26位的分别为430和430，即可求解； （2）根据甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元，可得他不是甲滑雪场的游客，即可求解； （3）用乙滑雪消费的平均数乘以每天的人数，再乘以时间，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：位于第25位和第26位的分别为430和430， ∴m=430； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意得：乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额为：元． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和统计表，求中位数，中位数和平均数的应用，明确题意，准确从统计图和统计表中获取信息是解题的关键． 18. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． 图1 （1）求的度数； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 【答案】（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析 【解析】 【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解； （2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断． 【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形， ∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)， 在Rt△BMK中， ， ∴∠BMK， ∴∠MBK=90-=23.6， ∴∠ABC=23.6+90=113.6， 答：∠ABC的度数为113.6； （2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90， ∴∠BMN，∠BMK， ∴∠NMH， 在Rt△NMH中， ， ∴(cm)， ∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)， ∵， ∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）将直线BC向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上的动点，当的值最小时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】(1)将点B，点C坐标代入反比例函数解析式可求m，n的值，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； (2)根据函数图象的交点坐标可求得不等式的解集； (3)平移后的函数解析式为y=-x，如图：过点C作直线l的垂线，垂足为Q，交x轴于点P，此时P C+P Q的值最小，过点C作轴于点D，可得CD=1，OD=4，，可得，据此即可解答． 【小问1详解】 解：点B(1，4)在反比例函数的图象上 反比例函数的解析式为 点C(n， 1)在反比例函数的图象上 点C(4，1) 将点B(1，4)，C(4，1)代入y=k x+b中， 得 解得 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点B(1，4)，C(4，1) 由图象可得不等式的解集为； 【小问3详解】 解：把的图象向下平移5个单位长度后，得到的函数解析式为y=-x 如图：过点C作直线l的垂线，垂足为Q，交x轴于点P，此时P C+P Q的值最小，过点 C作轴于点D， CD=1，OD=4，， ， ， ， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了利用待定系数一次函数及反比例函数的解析式，由两函数图象的交点求不等式的解集，点到直线的距离，采用数形结合的思想是解决此类题的关键 20. 欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________． 求证：___________． 证明： 【答案】，是小圆O的切线，证明见解析 【解析】 【分析】通过证明三角形全等即可得到，从而证明切线． 【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， ∴． 在和中, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是小圆O的切线． 【点睛】本题考查切线的证明，找准判断切线的三个因素是解题的关键． 21. 为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗．经咨询，这两种花苗的价格都有零售价和批发价之分（若按批发价购买，则每种花苗购买数量不少于100株），零售时每株甲种花苗比每株乙种花苗多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，所用费用分别是100元、50元． （1）求甲、乙两种花苗的零售价； （2）该校预计批发这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株．设甲种花苗的批发数量为m株，相比按零售价购买可节约的资金总额为W元，求W与m之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值． 【答案】（1）甲、乙两种花苗的零售价分别为10元/株、5元/株 （2）与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元 【解析】 【分析】（1）设乙种花苗的零售价为x元/株，则甲种花苗的零售价为（x＋5）元/株，根据数量＝总价÷单价，结合该单位以零售价分别用100元和50元采购了相同株数的甲、乙两种花苗，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲种花苗m株，则购买乙种花苗（1000−m）株，根据购进甲种花苗的株数不少于乙种花苗株数的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额＝甲种花苗的批发价×购进数量＋乙种花苗的批发价×购进数量，即可得出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 设乙种花苗的零售价为元/株，则甲种花苗的零售价为元/株． 由题意，可得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲、乙两种花苗的零售价分别为10元/株、5元/株． 【小问2详解】 由题意，可得． ∵甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的， ∴， 解得， 故当时，取得最大值，为2750． 答：与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m的函数关系式． 22. 已知二次函数． （1）求出二次函数图象的对称轴： （2）若该二次函数的图象经过点，且整数a，b满足．求二次函数的表达式； （3）在（2）的条件下且，当时有最小值，求t的值． 【答案】（1）直线x=2；（2）y=2x2-8x+9或y=-3x2+12x-6或y=-4x2+16x-9；（3）或 【解析】 【分析】（1）由对称轴公式即可求解； （2）观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式； （3）分，，三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于t的方程，解之即可． 【详解】解：（1）二次函数图象的对称轴是x＝=2； （2）该二次函数的图象经过点（1，3）， ∴a-4a+3+b=3， ∴b=3a， 把b=3a代入4＜a+|b|＜9， 得4＜a+3|a|＜9． 当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜a＜， 而a为整数， ∴a=2，则b=6， ∴二次函数的表达式为y=2x2-8x+9； 当a＜0时，4＜-2a＜9，则＜a＜−2． 而a为整数， ∴a=-3或-4， 则对应的b=-9或-12， ∴二次函数的表达式为y=-3x2+12x-6或y=-4x2+16x-9； （3）∵a＞0， 则函数表达式为， 则函数顶点坐标为（2，1），开口向上， 当，即时，y在上随x的增大而减小， 则当时，y有最小值， 即， 解得：t=或t=（舍）； 当时，y在上随x的增大而增大， 则当时，y有最小值， 即， 解得：t=（舍）或t=； 当时，y在上的最小值为1，故不符合； 综上：t的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，求二次函数的对称轴，关键是灵活应用二次函数的性质解题． 23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作的平分线，交点为E；（3）作直线．直线即为线段的垂直平分线． 简述作图理由： 由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线． 小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段上截取；（3）连接，交点为E；（4）作直线．直线即为线段的垂直平分线． …… 任务： （1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是__________； （2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由； （3）如图3，已知，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 （2）是线段的垂直平分线，理由见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． （2）证明APDBPC（SAS），得出∠PAD=∠PBC，证出AE=BE，则可得出结论； （3）分两种情况，①点E在AB上方，②点E在AB下方，由三角函数解直角三角形可得出结论． 【小问1详解】 解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 证明：由作图可知： PA=PB，PC=PD 在APD和BPC中 ∴APDBPC（SAS） ∴∠PAD=∠PBC ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 ∠PAB=∠PBA ∴∠PAB−∠PAD=∠PBA−∠PBC 即∠DAB=∠CBA ∴AE=BE ∴点E在线段AB的垂直平分线上 ∴PE是线段AB的垂直平分线 【小问3详解】 解：如图3，在过点E作EMAB于点M 由（2）可知， EA=EB ∵ADBC ∴∠EAB=∠EBA=45 又∵AB= ∴AM=AB= 如图3,当点E在AB上方时， 在RtEMA中， cos∠EAM=，即 AE＝= ∵∠P=30，PA=PB ∴∠PAB=∠PBA==75 ∴∠CAE=∠PAB−∠EAB=75−45=30 ∴在RtCEA中， cos∠CAE=，即 如图4，当点E在AB下方时， 同理可得AE= ∵∠P=30，PA=PB ∴∠PAB=∠PBA==75 ∴∠CAE=180−（∠PAB+∠EAB）=180−（75+45）=60 ∴在RtCEA中， cos∠CAE=，即 AC= ∴综上所述，线段AC的长为2或． 【点睛】本题考查三角形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角函数解直角三角形等．理解题意掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $