第3章 3.3 导数与函数的极值、最值（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，依据高考要求构建“定义-条件-求法-应用”知识体系，涵盖极值判断、求解及已知极值求参数等角度，通过考点梳理、方法总结与真题演练，帮助学生系统掌握极值最值问题的解题逻辑。 资料采用分层突破策略，如通过导函数图象分析极值点培养数学眼光，结合参数分类讨论（如例1-3求c值）发展数学思维，设置基础判断、综合解答等分层练习。精准对接高考题型，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§3.3　导数与函数的极值、最值 ★[考试要求] 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧　f′(x)<0　，右侧　f′(x)>0　，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧　f′(x)>0　，右侧　f′(x)<0　，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为　极值点　，极小值和极大值统称为　极值　. 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　连续不断　的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的　极值　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　端点处的函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×) 2．[多选]如图是导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 B．(4,5)为函数y＝f(x)的单调递增区间 C．函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝4处取得极小值 解析：AC　[由图象可知，x∈(3,5)时，f′(x)＜0， 所以(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间，故A正确；由图象可知，x∈(4,5)时，f′(x)＜0，所以(4,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间，故B错误；由图象可知，f′(3)＝0，且当x∈(0,3)时，f′(x)＞0，当x∈(3,5)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，故函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，故C正确；由图象可知，f′(4)≠0，故x＝4不是函数的极值点，故D错误．] 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e　　　　　　 B．－1 C．－e D．0 解析：B　[因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.] 4．若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________. 解析：∵f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值， ∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意． 答案：－e2 　　　利用导数求解函数极值问题 ►[角度1]　函数极值的判断　 [例1－1]　[多选]已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列结论不正确的是(　　) A．a，c分别是极大值点和极小值点 B．b，c分别是极大值点和极小值点 C．f(x)在区间(a，c)上是增函数 D．f(x)在区间(b，c)上是减函数 [解析]　由极值点的定义可知，a是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间(a，＋∞)上是增函数． [答案]　ABD ►[角度2]　求已知函数的极值　 [例1－2]　(1)已知f(x)＝，则f(x)(　　) A．在(－∞，＋∞)上单调递增 B．在(－∞，1)上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 [解析]　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝，当x>1时，f′(x)<0，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；当x<1时，f′(x)>0，f(x)在区间(－∞，1)上单调递增，故B错误；当x＝1时，f(x)＝取得极大值，无极小值，故C正确，D错误． [答案]　C (2)已知函数f(x)＝sin 2x－x，x∈(0，π)，则f(x)的极大值点为　________. [解析]　f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)>0，得0<x<或<x<π；令f′(x)<0，得<x<，∴f(x)在，上单调递增，在上单调递减，∴f(x)的极大值点为. [答案]　 ►[角度3]　已知函数的极值(点)求参数　 [例1－3]　若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处有极小值，则c＝(　　) A．－6　　　　　　　 B．－2 C．－6或－2 D．－4 [解析]　由函数f(x)＝x(x－c)2，可得f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)， 因为函数在x＝－2处取得极小值，可得f′(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6， 当c＝－2时，令f′(x)＞0，解得x＜－2或x＞－；令f′(x)＜0，解得－2＜x＜－， 函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以f(x)在x＝－2处有极大值，不符合题意，舍去； 当c＝－6时，令f′(x)＞0，可得x＜－6或x＞－2；令f′(x)＜0，可得－6＜x＜－2， 函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)单调递增， 所以f(x)在x＝－2处有极小值，符合题意， 综上可得，c＝－6. [答案]　A 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值． (2)由函数极值求参数的值或范围． 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 1．若函数f(x)＝有最大值，则k的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[分析：利用导数求出函数f(x)在[2，＋∞)上的极大值，根据函数f(x)有最大值可得出关于实数k的不等式组，即可得出实数k的最大值． 当x≥2时，f(x)＝，则f′(x)＝， 当2≤x＜e时，f′(x)＞0，此时，函数f(x)单调递增， 当x＞e时，f′(x)＜0，此时，函数f(x)单调递减， 则函数f(x)在x＝e处取得极大值，且极大值为f(e)＝， 因为函数f(x)＝有最大值，则，解得0≤k≤， 因此，实数k的最大值为.] 2．函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[∵f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)， ∴f′(x)＝＋x－a， ∵函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点， ∴y＝f′(x)在上只有一个变号零点． 令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x. 设g(x)＝＋x，则g(x)在上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝2， 又g＝，g(3)＝， ∴当≤a<时，y＝f′(x)在上只有一个变号零点． ∴实数a的取值范围为.] 　　　利用导数求函数的最值 [例2]　(2025· 全国二卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2－kx3，其中0＜k＜. (1)证明：f(x)在区间(0，＋∞)存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设x1，x2分别为f(x)在区间(0，＋∞)的极值点和零点． (ⅰ)设函数g(t)＝f(x1＋t)－f(x1－t)，证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减； (ⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论． [解]　(1)因为f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2－kx3，k∈， 所以f′(x)＝－1＋x－3kx2 ＝ ＝. 当x＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝－1＞0， 所以当0＜x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞－1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以x＝－1是f(x)在(0，＋∞)上唯一的极值点，是极大值点． 因为f＞f(0)＝0，f＝ln－＋－＝ln－＜0. 所以∃x0∈，f(x0)＝0， 所以x0是f(x)在(0，＋∞)上唯一的零点． (2)(ⅰ)因为g(t)＝f(x1＋t)－f(x1－t)， 所以g′(t)＝f′(x1＋t)＋f′(x1－t)＝(x1＋t－x1)＋(x1－t－x1)＝3kt ＝. 因为t∈(0，x1)，所以t2－x－2x1＜0，(1＋x1)2－t2＞0， 所以g′(t)＝＜0， 即g(t)在区间(0，x1)上单调递减． (ⅱ)由(ⅰ)得，g(t)在(0，x1)上单调递减， 所以g(x1)＜g(0)， ∵g(x1)＝f(2x1)－f(0)， g(0)＝f(x1)－f(x1)＝0 ∴f(2x1)－f(0)＜f(x1)－f(x1)＝0， 又f(0)＝0，所以f(2x1)＜0， 因为x2是f(x)的零点，所以f(x2)＝0， 所以f(2x1)＜f(x2)， 又x2＞x1,2x1＞x1，且f(x)在(x1，＋∞)上单调递减， 所以2x1＞x2. 1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值 一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，利用图象求解． 注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论． 1．已知函数f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为________． 解析：由f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]可得f′(x)＝1－cos x， 令f′(x)＝0可得cos x＝， 又x∈[0，π]，所以x＝， 当x∈时，f′(x)＜0，此时f(x)在上单调递减， 当x∈时，f′(x)＞0，此时f(x)在上单调递增； 易知f(0)＝0，f(x)max＝f(π)＝π， f(x)min＝f＝－1， 因此f(x)的最大值为π. 答案：π 2．已知函数f(x)＝＋ln x在区间[1，e]上的最小值为，则a的值为(　　) A．1　　 B. C.　　 D. 解析：D　[因为f(x)＝＋ln x(x＞0)，所以f′(x)＝－＝， 当a≤0时，则f′(x)≥0，所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增， 此时函数最小值为f(1)＝a＋ln 1＝，解得a＝，不符合题意，舍去； 当a＞0时，令f′(x)＜0，得0＜x＜a；令f′(x)＞0，得x＞a； 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增， ①当0＜a≤1时，f(x)在区间[1，e]上单调递增， 所以最小值为f(1)＝a≤1，不符合题意舍去； ②当1＜a＜e时，f(x)在[1，e]上先减后增， 所以最小值为f(a)＝1＋ln a＝，解得a＝； ③当a≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减， 所以最小值为f(e)＝＋ln e＝，解得a＝e，不符合题意，舍去． 综上所述a＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $