暑假复习巩固3 2025-2026学年北师大版数学八年级下学期

**基本信息** 北师大版八年级下学期暑假复习卷，通过选择、填空及多层次解答题，覆盖几何（中心对称、平行四边形）与代数（不等式、分式运算）核心知识，融合生活情境（银行图案、太阳能支架）与探究性问题，提升抽象能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、不等式性质、平行四边形性质|结合银行图案等生活情境，考查几何直观与抽象能力| |填空题|5/15|正多边形内角和、垂直平分线、坐标变换|基础概念与几何性质结合，强化空间观念| |解答题（一）|3/21|分式运算、不等式求解、化简求值|基础运算与推理，培养运算能力| |解答题（二）|3/27|工程问题、全等三角形证明（太阳能支架）|真实情境应用，发展应用意识与推理能力| |解答题（三）|2/27|平行四边形存在性、角平分线夹角探究|综合探究，提升创新意识与逻辑推理|

暑假复习巩固3 2025-2026学年北师大版八年级下学期 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列图案是几大银行图案，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 4．已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线经过点和； 直线过点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若一个正多边形的内角和为，则该正多边形一个外角的度数为___________． 12．如图，在中，垂直平分线段，则的度数为____________ 13．如图，在中，，高，交于点H．若，，则_______． 14．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换： ①； ②； ③， 按照以上变换，例如：，则等于______． 15．如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是______．    三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算： (1)； (2)． 17．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 18． 先化简， 再求值： ，其中 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．化简求值：其中x是不等式组的整数解． 20．如图1是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，受大人民的喜爱，它的支架我们可以看作如图2所示，为了使其更加牢面．小明增加了如图2所示的两根支架．若，与的夹角为， (1)求的度数； (2)在不添加辅助线的前提下写出一对全等三角形，并进行证明． 21．在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，在图中画出点的位置，点的坐标为______； (2)在图中，求证：是直角三角形； (3)在图中过点画一条直线平分的面积． 23．综合实践 在学习第一章《问题解决策略：反思》时，我们发现适当改变题目的条件，可以得到不同的结论．小华受其启发，研究了三角形任意两个内角角平分线的夹角与第三个角之间的数量关系，以下是他的“思考与反思”，请你帮他完成． 【经典回顾】 (1)如图①，在中，、分别平分和． ①若，，则__________； ②用含有的式子表示__________． 【典例微拓】 (2)如图②，在中，在边、上任取点D、E，得到了四边形，思考四边形任意两个内角角平分线的夹角与另两个角之间的数量关系，不妨设，，、分别平分四边形的内角． ①若，，求的度数； ②用含m、n的式子直接表示的度数为__________． 【深入反思】 (3)如图③，、分别平分，射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合），直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C B A A B C D 11． 12． 13．3 14． 15． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）进行同分母分式加减运算即可； （2）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．； 将解集表示在数轴上，如图所示： 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 数轴略． 18．；18 【分析】先根据分式混合运算的运算法则进行计算，再将代入化简以后的式子中求值即可． 此题主要考查了分式的化简求值，正确通分是解题关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，从而确定不等式组的整数解，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∵当时，， ∴当时，原式． 20．(1) (2)或或，证明见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质的运用， （1）根据三角形内角和定理，直角三角形的性质即可求解； （2）根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：， ． 又， ． （2）解：或或(任选一对即可)， ①， 证明：由（1）可得， ， ， ， 又， ， ， 又， ． ②， 证明：由（1）可得， 又， ， 又， ， 平分， 又， ， ． ③, 证明：由（1）可得, 又 ． 21．(1)甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天 (2)打通这条隧道的施工费用是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用； （1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，根据“甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天”列分式方程求解即可； （2）结合（1）的答案，先求出甲、乙两个工程队合作完成需要的天数，再乘以每天施工费用之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天， 可得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 所以，甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天． （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为：天， （元）， 所以打通这条隧道的施工费用是元． 22．(1)画图见详解，，或 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质分种情况讨论，得到形成平行四边形的点的种情况，以及点的坐标． （2）根据勾股定理的逆定理，判定是直角三角形． （3）根据平行四边形的中心对称性，得到过对角线交点的任意直线都平分其面积，即可得到答案． 【详解】（1）解：以、、及点为顶点的四边形为平行四边形有种情况，如图， 当为对角线时，四边形是平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，点的坐标为， 当为对角线时，四边形是平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，点的坐标为， 当为对角线时，四边形是平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或； （2）解：， ， 是直角三角形； （3）解：如图，连接，交于点，连接并延长交于点，直线即为所求． 23．(1)①；② (2)①；② (3)当点H在内时，．当点H在外时， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （2）根据（1）的模型代入计算即可求解； （3）根据题意分类讨论，当点H在内时，当点H在外时，分别根据三角形的内角和定理，三角形外角的性质计算，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，、分别平分和， ∴，， ∴； ②∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①如图，延长，交于点F， 由（1）可知，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵，， ， ∴． （3）解：当点H在内时，， 如图，设，交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点H在外时，， 如图，设交于点G， ∴ ， ∵， ∴． 答案第6页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $