暑假专项作业：三角形的证明及其应用-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦三角形证明核心方法，以“概念辨析-性质应用-综合探究”为逻辑主线，融合几何直观与推理能力，实现从基础到复杂场景的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、填空11|命题真假判断、多边形内角和公式、反证法步骤|从三角形定义到特殊三角形性质，构建“概念-判定-性质”认知链| |性质应用|选择6-8、填空12-15|三线合一、垂直平分线性质、角平分线模型|以等腰/直角三角形为载体，强化“性质-等量转化-角度计算”推理路径| |综合探究|解答17-21|全等判定（SAS/HL）、动态几何分类讨论、折叠问题|通过实际场景（通信光缆设计）与动态问题，培养空间观念和模型意识|

暑假专项作业：三角形的证明及其应用-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列命题中，假命题的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合 B．面积相等的两个三角形是全等三角形 C．有两个内角是的三角形是等边三角形 D．直角三角形的两个锐角互余 2．内角和等于的多边形是（   ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 3．如图，已知，当于点，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．手工社团正在筹备校园文化节，要设计一面独特的三角形活动旗帜，为了让旗帜更有设计感，社员们在底边上选了一点，让，已知旗帜的，现在需要精算出的度数，才能保证成品美观规整．则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．若的三个内角满足：，则为直角三角形 B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 C．“对顶角相等”的逆命题是假命题 D．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角” 6．如图，等腰中，，，点、、、在同一直线上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，点是的中点，是的垂直平分线，点是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆（图示中的实线），以城镇中心为出发点设计了三种连接方案，记所需光缆的长度分别为，对于，它们之间的关系正确的是．（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，平分交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧的交点，分别交，于点，，连接，．若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个多边形的内角和为，则这个多边形有________条边． 12．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 13．如图，在中，，，平分交于，于．请直接写出线段、、的数量关系_________ 14．如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 15．如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为______． 16．如图，在三角形纸片（）中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图）． （1）若，则________°； （2）若，，则的长为________． 三、解答题 17．如图，在中，，是的高，，求的度数． 18．如图，在中，，是的角平分线． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：． 19．如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 20．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 21．【问题呈现】在中，，点D是直线上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点D在线段上时，若； ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，，当点D是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点D在线段BC上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：三角形的证明及其应用-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A C B A C A C 1．B 【分析】由三线合一定理可判断A；由全等三角形的定义可判断B；由等边三角形的判定定理可判断C；由三角形内角和定理可判断D． 【详解】解：A、根据三线合一定理可得等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，原命题是真命题，不符合题意； B、面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为的三角形与底为高为的三角形面积都是，但不全等，原命题是假命题，符合题意； C、三角形有两个内角为，则第三个内角的度数为，故该三角形是等边三角形，原命题是真命题，不符合题意； D、直角三角形两个锐角的度数之和为，即两个锐角互余，原命题是真命题，不符合题意； 2．B 【详解】解：设该多边形的边数为， ∵边形的内角和公式为， ∴根据题意可得方程， 解得，即， ∴内角和为的多边形是六边形. 3．C 【分析】先结合垂线的定义得，再运用三角形内角和性质得，又因为，得出两直线平行，内错角相等，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．A 【分析】根据等边对等角得出，，再结合三角形的外角性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 5．C 【详解】解：A：设，由题意得，，∵三角形内角和为，∴，解得，∴不是直角三角形，A错误． B：∵三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，只有三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，∴B错误． C：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两个独立的直角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，C正确． D：用反证法证明命题时，需先假设结论的否定成立，“至多有一个内角是直角”的否定是“至少有两个内角是直角”，因此应先假设“至少有两个内角是直角”，∴D错误． 6．B 【分析】先利用等腰三角形的性质求出底角的度数；再根据等腰的性质和三角形外角的性质，求出的度数；最后同理利用等腰的性质和三角形外角的性质，求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 同理可得：． 7．A 【分析】连接，，根据垂直平分线的性质得出，可得，根据可得的最小值为，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当点，，三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为的长， ∵，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 8．C 【分析】先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．A 【分析】根据题意设等边三角形的边长为，分别计算三种方案的各线段的和，进而比较大小． 【详解】解：设等边三角形的边长为， 如图（1），； 如图（2），∵为的中点，为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 如图（3），∵ 为三边的垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， 设， ∴中，， 解得， ∴， 则， ∵， ∴ ． 10．C 【分析】如图，设交于点，由作图过程知垂直平分，得，，，根据角平分线的定义及直角三角形两锐角互余推出，继而得到，可得答案． 【详解】解：如图，设交于点， 由作图过程知：垂直平分， ∴，，， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即四边形的周长为． 11．7 【分析】设多边形边数为，再代入已知内角和，即可解出结果. 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得 ， 解得 . 12．或 【分析】当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 13． 【分析】根据角平分线的定义得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，，进而得出． 【详解】解：中，，，， ，， 平分交于， ， ， ， ，， ． 14． 【分析】根据垂直的定义可得 ，由线段中点的定义可得，根据直角三角形全等的判定定理“HL”可知，已知一条直角边对应相等，需添加斜边对应相等． 【详解】 和均为直角三角形 点是的中点 若利用“”证明 已知直角边对应相等根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等则需添加斜边． 15．6 【分析】利用线段垂直平分线的性质得到，再进行等量代换，最终求出答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ， ∴． 16． 【分析】（1）先求解，再结合折叠的性质可得答案． （2）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ∴，， ∴． （2），，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ， ， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是， ，， ， ， ∴， ， ， ， ． 17． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的高平分顶角，结合已知的的度数即可求出的度数 【详解】解：∵在中，，是的高， ∴平分， ∵， ∴ ． 18．(1)如图，即为所求； (2)证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在和中 ， ， ． 【分析】（1）按照角平分线标准尺规作图步骤，以顶点为圆心画弧交、于两点，再分别以两交点为圆心画等半径弧，两弧交点与连线交得到点，保留作图痕迹即可． （2）先由推出，再结合、分别为两角平分线得到，利用公共角证明，由全等三角形对应边相等证出． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ， ． (2)102° 【分析】(1) 由利用等式的性质得，结合已知和，利用判定，得到对应角，再通过内错角相等证明． (2) 由全等性质得，结合求得，再利用三角形外角定理得． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， ． 20．(1) (2) (3)1或或 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵为等腰三角形，且的周长为， ， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过1或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． 21．(1)①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． ②； (2)与平行 (3)，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①由结合角的和差可得，再结合即可证明结论； ②根据三角形内角和性质以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质，得出，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质，得出，再结合同旁内角互补，得出两直线平行，即，； （3）由（1）可知，则根据全等三角形的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：①略； ②由①得， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，是中点， ∴， 即 又， ， ∴． （3）解：略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $