第4章《因式分解》暑假复习巩固综合练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 以因式分解为核心，构建“概念辨析-方法应用-综合拓展”三阶训练体系，融合提公因式、公式法、分组与换元等方法，渗透几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-5|定义判断、公式适用性分析|从因式分解概念出发，关联整式乘法逆运算| |方法应用|解答17-18|提公因式法、平方差与完全平方公式|基础方法阶梯训练，强化运算能力| |综合拓展|解答22-25|分组分解法、换元法、几何模型应用|结合图形面积与代数推理，发展创新意识与模型观念|

北师大版八年级下册暑假综合练习 第4章 因式分解 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（        ） A. B. C. D. 2.下列分解因式正确的是（        ） A. B. C. D. 3.多项式中，各项的公因式是（       ）． A. B. C. D. 4.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A. B. C. D. 5.下列不能用公式法因式分解的多项式是（       ） A. B. C. D. 6.若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（     ） A. B. C. D. 7.若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值为() A.12 B. C.6 D. 8.多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（       ） A. B.1 C. D.2025 9.在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（        ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 10.已知多项式，下列四个结论： ①若为完全平方式，则； ②若，且，则； ③若，则关于的分式方程的解为或； ④若，则． 其中正确的个数是（       ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.若多项式有一个因式为，那么____________． 12.若多项式可分解因式为的形式，则的值为____________． 13.边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为________ ． 14.已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是________三角形． 15.对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，求的最大值为________。 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（6分）利用因式分解进行计算：． 17.(8分) 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 18.（8分）分解因式： (1)； (2)．  19.(8分) 已知 ，． （1）求的值； （2）求的值． 20.(10分) 学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：解：        …………第一步        …………第二步        …………第三步 小红：解：        …………第一步        …………第二步        …………第三步 思考： （1）在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是       （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫       ． （2）用你自己喜欢的方法因式分解：． （3）结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议． 21.(10分) 解决问题 （1）已知为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． （2）已知n为整数，代数式的值一定能被12整除吗？作出判断，并说明理由．  22.(10分) 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）先因式分解，再求值：，其中． 23.(10分) 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． （1）观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； （2）将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 24.(10分) 数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． （1）小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； （2）小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； （3）深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 25.(10分) 阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． （1）请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①___________．（填空） ②．（写过程） （2）小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． （3）请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册暑假综合练习 第4章 因式分解 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 抓住因式分解的两个核心条件：等号左边为多项式，等号右边为几个整式的积的形式，据此判断各选项即可. 【解答】 解：A. 等号左边 是单项式，不符合要求，不是因式分解； B. 变形是从整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合要求，不是因式分解； C. 等号左边 是多项式，等号右边 是两个整式的积的形式，符合要求，是因式分解； D. 等号右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不符合要求，不是因式分解. 故选：C. 2.下列分解因式正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 综合应用多种因式分解方法可解。 【解答】 A、 ，A错误； B、 ，B错误； C、 ，C错误； D、 ，D正确； 故选：D. 3.多项式中，各项的公因式是（       ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查多项式公因式的确定方法。确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合。 【解答】 解：：各项系数2、3、6的最大公约数是1， 多项式各项都含有的相同字母为 、 , 的最低次幂是2, 的最低次幂是1, 各项的公因式是 . 故选：B. 4.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 将各项分解因式即可。 【解答】 解：A、，结果含有因式 ，不符合题意； B、，结果含有因式 ，不符合题意； C、，结果含有因式 ，不符合题意； D、，结果不含有因式 ，符合题意； 故选：D.  5.下列不能用公式法因式分解的多项式是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查公式法因式分解,关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式. 【解答】 解： 公式法因式分解常用平方差公式 和完全平方公式 对各选项分析如下： A选项： ，可用平方差公式因式分解， B选项: , 可用完全平方公式因式分解, C选项: 不符合平方差公式或完全平方公式的形式, 不能用公式法因式分解, D选项: , 可用完全平方公式因式分解, 故选：C. 6.若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 平方差公式的形式为 ，将每个选项代入多项式，判断是否能转化为两个有理数范围内的平方项的差的形式. 【解答】 解：当 时，多项式为 ，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当 时，多项式为 ， 是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当 时，多项式为 ，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当 时，多项式为 ，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意. 故选：D.  7.若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值为() A.12 B. C.6 D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了完全平方公式因式分解；多项式能用完全平方公式因式分解，需匹配形式 ，通过比较系数求k. 【解答】 解： 多项式 能用完全平方公式因式分解， 故k的值为 故选：B.  8.多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（       ） A. B.1 C. D.2025 【答案】 B 【解析】 本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键先对多项式进行因式分解，求出a和b的值，再计算 ，最后代入求解即可. 【解答】 解： 故选B. 9.在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（        ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】 B 【解析】 将已知等式移项后分组因式分解，结合三角形三边的性质即可判断 的形状. 【解答】 解： ， 移项得 ， 分组得 ， 分解得 ， 提取公因式得 ， 是 的三边长， ，即 ， ，即 ， 是等腰三角形. 故选：B. 10.已知多项式，下列四个结论： ①若为完全平方式，则； ②若，且，则； ③若，则关于的分式方程的解为或； ④若，则． 其中正确的个数是（       ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 D 【解析】 本题考查完全平方式,多项式乘以多项式,负整数指数幂,解分式方程. 熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 结论①由完全平方式定义推导；结论②由多项式乘法及指数运算验证；结论③通过分式方程转化为二次方程求解；结论④通过多项式除法比较系数得出。 【解答】 ① 为完全平方式， 设 ，故①正确； ② 故②正确； 或 （且 ），故③正确； 故④正确. 故选：D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.若多项式有一个因式为，那么_____3_________． 【答案】 【解析】 设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出和的值． 【解答】 解：假设另一个因式为，则． ， ， 解得：， 故答案是：3. 12.若多项式可分解因式为的形式，则的值为____-2________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．由题意得，按照系数对应，即可求解． 【解答】 解：， ， 解得：， 故答案为：． 13.边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_____70___ ． 【答案】 70 【解析】 首先根据长方形周长和面积的条件，推导得到 与 的值，对待求式 进行因式分解，再将 和 的值代入分解后的式子，即可求出结果. 【解答】 解： 长方形的周长为 ， ； 长方形面积为 . 则 . 故答案为：70．  14.已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是___等腰_____三角形． 【答案】 等腰 【解析】 先把等式左边进行因式分解可化为，移项提取公因式可得，根据三角形三边之间的关系两边之和大于第三边，可得，即可得出答案. 【解答】 解：由， ， 三角形两边之和大于第三边，即 ，即 即一定是等腰三角形. 故答案为：等腰. 15.对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，求的最大值为____ ____． 【答案】 【解析】 本题考查了因式分解的应用，根据题意，p和q均为矩数，且 ， ，其中t和s为正整数， 。由 ，可得方程 ，整理得 。由于t和s为正整数且 ，因此 和 均为正整数，且 。枚举8的正整数因子对，满足条件的仅(1,8)一组，解得 ， ，故 。由于只有一组解，最大值即为 。 【解答】 解：由已知， ， ，且 展开得 即 因式分解得 由于t和s是正整数，且 ，故 ， 又 ，且 因此可能因子对为（1，8）或（2，4）. 当 时，解得 . 当 时，解得 ，不满足正整数条件，舍去. 故唯一解为 ， ，此时 因此， 的最大值为 . 故答案为: . 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（6分）利用因式分解进行计算：． 【答案】 90000 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：   17.(8分) 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18.（8分）分解因式： (1)； (2)． 【答案】 5(x+1)(x-9); 【解析】 此题考查了分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式是解答的关键. (1) 原式运用平方差公式进行因式分解即可； (2) 原式运用完全平方公式进行因式分解即可. 【解答】 解：原式 (2) 解：原式  19.(8分) 已知 ，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】 4 4 【解析】 （1）先利用平方差公式进行分母有理化，再求和即可； （2）先求出 与 ，再对所求代数式因式分解，代入求值即可. 【解答】 （1）解： ， ， （2）解： ， ， ， . 20.(10分) 学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：解：        …………第一步        …………第二步        …………第三步 小红：解：        …………第一步        …………第二步        …………第三步 思考： （1）在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是       （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫    提公因式法   ． （2）用你自己喜欢的方法因式分解：． （3）结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议． 【答案】 ，提公因式法 建议：学习因式分解时要牢记分解步骤，先观察多项式是否有公因式，有公因式一定要先提取，再用公式法继续分解，分解完成后要检查是否分解彻底．（合理即可） 【解析】 （1）根据两人的解题步骤即可判断； （2）利用提公因式法结合平方差公式，即可完成因式分解； （3）结合因式分解的解题要求，提出合理可行的学习建议即可. 【解答】 （1）解：小明第二步将 变形为 ，再分解为两个因式的乘积，依据的公式是平方差公式： 小红第二步提取了公因式25，因此第二步的因式分解的方法是提公因式法. （2）解： （3）建议：学习因式分解时要牢记分解步骤，先观察多项式是否有公因式，有公因式一定要先提取，再用公式法继续分解，分解完成后要检查是否分解彻底．（合理即可）  21.(10分) 解决问题 （1）已知为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． （2）已知n为整数，代数式的值一定能被12整除吗？作出判断，并说明理由． 【答案】 是等腰三角形． 代数式的值一定能被12整除． 【解析】 （1）观察题中等式可以发现，得，据此能判断出三角形的形状； （2）整理式子得，即可得到结论． 【解答】 （1）解：是等腰三角形．理由如下： ， ， ． 是的三边长， ， ， ， 即是等腰三角形． （2）解：代数式的值一定能被12整除；理由如下： ； 代数式的值一定能被12整除．  22.(10分) 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）先因式分解，再求值：，其中． 【答案】 ，77 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： ； （2）解： ， ， 原式 23.(10分) 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． （1）观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； （2）将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 【答案】 的值为 【解析】 （1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，即可得出答案. 【解答】 （1）解：由图形可知，大长方形的长为，宽为 大长方形的面积为， 大长方形中，有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形， 大长方形的面积为 代数式可因式分解为 . （2）解：由图形可知，， 整理得，，即   24.(10分) 数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． （1）小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； （2）小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； （3）深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 【答案】 图见解析， k所有可能的取值为7或8或13. 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：根据图形得： （2）解：画出图形如下： （3）解：设 ，其中m、p是4的正因数，n、q是3的正因数， (4a+3b) (a+b) = 4a²+7ab+3b², k=7; (2a+b)(2a+3b) = 4a² + 8ab + 3b², k = 8; 综上，k所有可能的取值为7或8或13.  25.(10分) 阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． （1）请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①_____ ______．（填空） ②．（写过程） （2）小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． （3）请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 【答案】 ① ; ; ①x(x+9)(x2+9x+38)②(x2+4x-1)2 【解析】 （1）利用换元法进行求解即可; （2）先利用多项式乘以多项式的法则进行展开，再利用换元法进行因式分解即可; （3）仿照(2)的思路进行求解即可. 【解答】 （1）解：①令， 则②令， 则 （2）解：原式 令， 则原式 （3）解：①(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)-360=(x+3)(x+6)(x+4)(x+5)-360 ②(x2-1)(x+3)(x+5)+16=(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)+16 = (x+1)(x+3)(x-1)(x+5)+16 = (x2+4x+3)(x2+4x-5)+16 = (x2+4x)2-2(x2+4x)-15+16 = (x2+4x)2-2(x2+4x)+1 = (x2+4x-1)2. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $