第13讲 认识二次函数（知识点+3题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

第13讲 认识二次函数（知识点+3题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 列二次函数关系式 题型2 二次函数的识别 题型3 根据二次函数的定义求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的定义 二次函数的一般形式二次函数的识别 根据实际问题列二次函数关系式 二次函数自变量的取值范围 1. 经历从具体问题抽象出二次函数概念的过程，理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c(a≠0)，能准确识别二次函数，正确确定二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 能分析简单实际问题中的数量关系，找出变量之间的二次函数关系，列出对应的二次函数关系式，体会二次函数是刻画现实世界变量关系的重要数学模型。 3. 能根据实际问题的背景和意义，确定二次函数自变量的取值范围，并能根据自变量的值求出对应的函数值。 4. 感受二次函数与现实生活的密切联系，在探索概念的过程中发展抽象思维和数学建模能力。 学习重点：二次函数的概念与识别，二次函数的一般形式，根据实际问题列二次函数关系式。 学习难点：准确分析复杂实际问题中的数量关系，建立正确的二次函数模型，根据实际意义确定自变量的取值范围。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的定义 一般定义：形如（是常数，）的函数叫做二次函数。 三个必备条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数。 几何语言： 若函数满足，且，则是的二次函数。 即时即练 1．下列函数中，一定属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、一次函数和反比例函数的概念，熟练掌握二次函数的定义及一般形式中二次项系数不为0的条件是解题的关键．根据二次函数的定义，即形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，逐一分析选项即可． 【详解】∵二次函数的定义为形如（、、是常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A选项：中未明确，当时，不是二次函数，故A不符合题意； B选项：是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； C选项：是反比例函数，不符合二次函数定义，故C不符合题意； D选项：满足的二次函数形式，故D符合题意； 故选：D． 【易错提醒】 判断时极易忽略三点：分式、根式形式不是整式，不属于二次函数；最高次数为2但a=0时退化为一次/常数函数；含x2但被抵消也不是二次函数。 知识点02 二次函数的特殊形式 函数类型 具体解析式 字母取值要求 对应易错提醒 标准一般式 ，任意 可以等于0，仅限制不为0 缺一次项 不要误判为一次函数，仍属于二次函数 缺常数项 图像必过原点，做题常漏该特征 最简纯二次式 顶点在原点，对称轴为y轴，区分正比例函数 即时即练 2．下列关于的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，需根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数且的整式函数，自变量最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A选项：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义； B选项：，是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义； C选项：，符合（，，）的形式，是整式函数且自变量最高次数为2，属于二次函数； D选项：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义， 故选：C． 知识点03 二次函数各项名称 解析式中： ：二次项，为二次项系数； ：一次项，为一次项系数； ：常数项（不含自变量）。 即时即练 3．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【易错提醒】 系数自带前面符号，如y=2x2-3x+1中b=-3，易漏掉负号；常数项是单独数字，不含x。 知识点04 实际情境列二次函数关系式 建模思路：找出等量关系，用含代数式表示，整理成整式形式，注明自变量取值范围。 即时即练 4．用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 【易错提醒】 整理等式时移项符号出错；忘记化简整理成y=ax2+bx+c标准形式；不标注自变量实际取值范围。 题型1 列二次函数关系式 【例1】一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 【技巧归纳】 通用四步：审清题意→设两个变量（自变量，因变量）→找等量关系→整理成一般式 高频模型： 面积问题：用含的式子表示长和宽，面积=长×宽 利润问题：总利润=单件利润×销售量（同一元二次方程） 几何动点：用运动时间表示线段长度，再表示面积 必做步骤：标注自变量的取值范围（如边长>0，销量≥0），这是最易遗漏的点 【变式1-1】 1．设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由圆的面积公式写出函数关系式即可； （2）根据函数关系式，列表描点连线，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由圆的面积公式可得，； （2）解：由（1）得， 列表可得， 描点连线，图象略 【变式1-2】 2．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 题型2 二次函数的识别 【例2】下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【技巧归纳】 条件1：必须是整式函数（分母、根号下不含自变量） 条件2：只含有1个自变量 条件3：自变量的最高次数是2 隐含条件：二次项系数 技巧：先化简再判断，化简后二次项系数为0的不是二次函数 【变式2-1】 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【变式2-2】 2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 题型3 根据二次函数的定义求参数 【例3】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 【技巧归纳】 第一步：令自变量的最高次数等于2，解出参数的所有可能值 第二步：必须检验，将参数值代入二次项系数，舍去使的解 若参数只出现在一次项或常数项，不影响二次函数的判定 若题目注明“关于的二次函数”，则默认二次项系数≠0 【变式3-1】 1．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 【变式3-2】 2．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 3．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 4．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 5．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 7．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 8．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 9．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 10．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，且， 故选：A． 11．若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2且二次项不能为0是解题的关键． 根据二次函数的定义列方程计算即可． 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 12．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 【答案】C 【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键. 二、填空题 1．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 2．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 3．若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件． 【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即， 解方程得， 所以或 ， 又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去， 因此．当时，函数为，满足二次函数定义． 故答案为：2． 4．___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 5．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 6．若是关于的二次函数，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键． 根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数是否非零． 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零． 令，得方程， 因式分解，得 ， 解得，或， 当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义； 当时，二次项系数 ，符合要求． 故答案为：1． 7．当_____时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义明确“自变量最高次数为2且二次项系数不为0”这两个条件． 根据二次函数的定义，列出关于的条件：一是自变量的次数，二是二次项系数，求解并结合条件确定的值． 【详解】解：要使函数是关于的二次函数， 则的最高次数必须为2， 即， 且二次项系数． 解方程， 得， 所以． 当时，，函数化为，不是二次函数； 当时，，且指数，满足条件． 因此，． 故答案为． 8．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 【答案】 或或或或或 【分析】（1）根据一次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值； （2）根据二次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值． 【详解】解：（1）要使该函数为关于的一次函数，则化简后含的最高次项的次数为，原式中存在项，因此必须使二次项系数之和为，且不存在更高次项， 故需满足，解得， 当时，原函数为，是一次函数， 故答案为：． （2）可分以下四种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； ④当时，解得． 综上所述，当的值为4或或或或0或1时，它是关于的二次函数． 故答案为：或或或或或． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题关键是根据函数定义，分情况讨论各项的次数和系数的取值条件，确保函数符合一次或二次函数的形式． 9．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将点代入，得，再将x与y的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k的取值范围. 【详解】将点代入， 得36a+k=2， ∴， 当时，当时得， 解得， ∴， 故填. 【点睛】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式组，注意将点代入，得36a+k=2是解题的关键，可将不等式组中的a用含k的代数式表示，解不等式组即可求解. 三、解答题 1．已知是二次函数，求a的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的核心是紧扣二次函数的两个关键条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0． 根据已知可得且，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ， 解得或， 又， ． 2．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值， 对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n； 对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． 3．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙说法正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 4．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 5．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 6．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 7．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 8．【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 9．已知：如图，在矩形中，，，点为边的中点，连接，交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿AB方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)连接，设的面积为，求与的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)存在；的值为或或 【分析】（1）根据勾股定理求出，解直角三角形得出，根据，得出，根据，得出，求出t的值即可； （2）过作于，根据，得出，根据三角形面积公式求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点为边的中点， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， 根据题意可得：，， ∴， 解得：； ∴当时，； （2）解：过作于，如图所示： 则， 根据解析（1）可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴y与t的函数式为：； （3）解：存在； 当时，， 解得：； 当时，过点P作于点G，如图所示： ∴，， 根据解析（1）可知：， 在中，， ∴， 解得：； 当时，过点Q作于点H，如图所示： ∴，， 根据解析（1）可得：， 在中，， ∴， 解得：； 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的相关计算、求函数解析式，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是用速度时间表示线段长，根据题意列出方程或比例式． 10．如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】当点在上时，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，从而可得，所以可得； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知，当时，重叠部分的面积为的面积；当时，重叠部分的面积为 等腰梯形的面积；当时，重叠部分的面积为 五边形的面积．分情况求出与之间的函数关系式即可； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知：的中点运动的路径为线段，利用勾股定理求出矩形的对角线的长度即可． 【详解】（1）解：如下图所示，当点在上时， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 故答案为； （2）解：当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为的面积， 是等腰直角三角形， 点到边上的高为， ； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 等腰梯形的面积， 是等腰直角三角形，， ， 在中，， ， ， ， 整理得：； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 五边形的面积， 此时， ， ， 整理得：； 综上所述，与之间的函数关系式是； （3）解：如下图所示， 当点在上时，， ， ， ， 点是的中点， 的中点运动的路径为线段， ， 点 移动的距离． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，求分段函数关系式，勾股定理等，解决本题的关键是要利用分类讨论的思想分情况求关系式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 认识二次函数（知识点+3题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 列二次函数关系式 题型2 二次函数的识别 题型3 根据二次函数的定义求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的定义 二次函数的一般形式二次函数的识别 根据实际问题列二次函数关系式 二次函数自变量的取值范围 1. 经历从具体问题抽象出二次函数概念的过程，理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c(a≠0)，能准确识别二次函数，正确确定二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 能分析简单实际问题中的数量关系，找出变量之间的二次函数关系，列出对应的二次函数关系式，体会二次函数是刻画现实世界变量关系的重要数学模型。 3. 能根据实际问题的背景和意义，确定二次函数自变量的取值范围，并能根据自变量的值求出对应的函数值。 4. 感受二次函数与现实生活的密切联系，在探索概念的过程中发展抽象思维和数学建模能力。 学习重点：二次函数的概念与识别，二次函数的一般形式，根据实际问题列二次函数关系式。 学习难点：准确分析复杂实际问题中的数量关系，建立正确的二次函数模型，根据实际意义确定自变量的取值范围。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的定义 一般定义：形如（是常数，）的函数叫做二次函数。 三个必备条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数。 几何语言： 若函数满足，且，则是的二次函数。 即时即练 1．下列函数中，一定属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】 判断时极易忽略三点：分式、根式形式不是整式，不属于二次函数；最高次数为2但a=0时退化为一次/常数函数；含x2但被抵消也不是二次函数。 知识点02 二次函数的特殊形式 函数类型 具体解析式 字母取值要求 对应易错提醒 标准一般式 ，任意 可以等于0，仅限制不为0 缺一次项 不要误判为一次函数，仍属于二次函数 缺常数项 图像必过原点，做题常漏该特征 最简纯二次式 顶点在原点，对称轴为y轴，区分正比例函数 即时即练 2．下列关于的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 二次函数各项名称 解析式中： ：二次项，为二次项系数； ：一次项，为一次项系数； ：常数项（不含自变量）。 即时即练 3．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【易错提醒】 系数自带前面符号，如y=2x2-3x+1中b=-3，易漏掉负号；常数项是单独数字，不含x。 知识点04 实际情境列二次函数关系式 建模思路：找出等量关系，用含代数式表示，整理成整式形式，注明自变量取值范围。 即时即练 4．用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】 整理等式时移项符号出错；忘记化简整理成y=ax2+bx+c标准形式；不标注自变量实际取值范围。 题型1 列二次函数关系式 【例1】一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【技巧归纳】 通用四步：审清题意→设两个变量（自变量，因变量）→找等量关系→整理成一般式 高频模型： 面积问题：用含的式子表示长和宽，面积=长×宽 利润问题：总利润=单件利润×销售量（同一元二次方程） 几何动点：用运动时间表示线段长度，再表示面积 必做步骤：标注自变量的取值范围（如边长>0，销量≥0），这是最易遗漏的点 【变式1-1】 1．设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 【变式1-2】 2．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 题型2 二次函数的识别 【例2】下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 条件1：必须是整式函数（分母、根号下不含自变量） 条件2：只含有1个自变量 条件3：自变量的最高次数是2 隐含条件：二次项系数 技巧：先化简再判断，化简后二次项系数为0的不是二次函数 【变式2-1】 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】 2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 题型3 根据二次函数的定义求参数 【例3】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 第一步：令自变量的最高次数等于2，解出参数的所有可能值 第二步：必须检验，将参数值代入二次项系数，舍去使的解 若参数只出现在一次项或常数项，不影响二次函数的判定 若题目注明“关于的二次函数”，则默认二次项系数≠0 【变式3-1】 1．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【变式3-2】 2．函数是关于的二次函数，则______． 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 5．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 8．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 9．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 10．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 11．若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 12．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 二、填空题 1．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 2．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 3．若是关于x的二次函数，则m的值为______． 4．___________时，是关于的二次函数． 5．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 6．若是关于的二次函数，则_______． 7．当_____时，是关于的二次函数． 8．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 9．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________. 三、解答题 1．已知是二次函数，求a的值． 2．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 3．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 4．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 5．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 6．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 7．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 8．【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 9．已知：如图，在矩形中，，，点为边的中点，连接，交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿AB方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)连接，设的面积为，求与的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值． 10．如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $