28.2.1 中心对称及其性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦旋转与中心对称，先梳理旋转三要素及性质，通过钟表指针转动等实例导入，再以△OCD绕点O旋转180°等探究活动，衔接中心对称概念，构建从一般旋转到特殊旋转的知识支架。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过对比中心对称与旋转、轴对称的区别发展推理意识，结合作图步骤和分层练习强化空间观念。如“牛刀小试”判断对称图形，“探究”归纳对称点连线性质，助力学生夯实基础，教师可高效开展分层教学。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月22日 28.2.1 中心对称及其性质 第二十八章 旋转 人教版九年级上册旋转的概念及性质练习题 一、核心知识点梳理 1. 旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着一个定点按照某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转。其中，定点为旋转中心，转动的角度为旋转角，旋转的三要素为：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度。 2. 旋转的基本性质：第一，旋转前后的图形形状、大小不变，两图形全等；第二，对应点到旋转中心的距离相等；第三，任意一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角，所有旋转角都相等；第四，对应线段相等、对应角相等。旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 二、基础练习题（含解析） （一）选择题 1. 下列生活现象中，属于旋转变换的是（ ） A. 电梯上下升降 B. 汽车直线行驶 C. 钟表指针转动 D. 国旗缓缓上升 答案：C 解析：A、B、D均为平移变换，只有钟表指针绕定点转动，符合旋转的定义。 2. 将△ABC绕点O逆时针旋转60°得到△A′B′C′，下列说法错误的是（ ） A. OA=OA′ B. ∠AOA′=60° C. AB=A′B′ D. ∠BOB′≠60° 答案：D 解析：根据旋转性质，所有对应点与旋转中心的连线夹角均等于旋转角，故∠BOB′=60°，D选项错误。 （二）填空题 3. 图形旋转的三要素是________、________、________。 答案：旋转中心、旋转方向、旋转角度 4. 一个图形绕定点旋转180°后与自身重合，这种图形叫做________图形，旋转前后图形的对应角________，对应线段________。 答案：中心对称、相等、相等 （三）解答题 5. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，已知∠A=35°，求∠CDE和∠BED的度数。 解析与解答：由旋转性质可知，△ABC≌△DEC，因此∠CDE=∠A=35°。 ∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°−35°=55°，即∠DEC=55°。 图形旋转角度为90°，∴∠BCE=90°，又BC=EC，△BCE为等腰直角三角形，∠CEB=45°。 ∴∠BED=∠DEC−∠CEB=55°−45°=10°。 综上，∠CDE=35°，∠BED=10°。 6. 已知正方形ABCD，将正方形绕顶点A逆时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，求证：BB′=DD′。 证明：由旋转性质得AB=AB′，AD=AD′，旋转角∠BAB′=∠DAD′=45°。 ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，故AB′=AD′。 在△ABB′和△ADD′中，AB=AD，∠BAB′=∠DAD′，AB′=AD′， ∴△ABB′≌△ADD′（SAS），∴BB′=DD′，得证。 三、拓展提升题 7. 将△OAB绕点O顺时针旋转80°得到△OCD，若∠AOB=30°，求∠BOC的度数。 解答：由旋转定义可知，旋转角∠BOD=80°，又∠AOB=30°， ∴∠BOC=∠BOD−∠COD=80°−30°=50°。 四、易错总结 1. 混淆平移与旋转：旋转必须有定点转动，平移无定点、无角度转动；2. 误认为旋转角度不统一，所有对应点与旋转中心的夹角均为相等的旋转角；3. 忽略旋转的全等性质，解题时需优先利用对应边、对应角相等的规律解题。 五、旋转作图专项（重点考点） （一）旋转作图核心原理与步骤 作图原理：依据旋转两大核心性质，一是对应点到旋转中心距离相等，二是对应点与旋转中心连线的夹角等于指定旋转角，精准确定图形所有关键点的对应点，再顺次连线即可得到旋转后的图形。 标准作图四步骤：①定要素：明确旋转中心、旋转方向、旋转角度；②找关键点：找出原图形的顶点、端点等核心关键点；③作对应点：连接关键点与旋转中心，以连线为边，按指定方向作对应旋转角，截取等长线段，得到对应点；④连图形：按原图形顺序，顺次连接所有对应点，标注对应字母，完成作图。 （二）作图注意事项 1. 作图需保留痕迹，所有旋转角、等长线段的辅助线不可擦除，是阅卷得分关键；2. 旋转方向必须严格区分顺时针、逆时针，方向错误整图作废；3. 多边形作图只需找准所有顶点对应点，无需绘制多余线条，保证图形简洁规范；4. 旋转中心在图形内部、边上、外部时，作图方法一致，仅位置不同。 （三）典型作图例题 例题：已知△ABC，点O为三角形外一点，请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A′B′C′。 作图步骤：1. 连接OA、OB、OC，确定三个顶点与旋转中心的连线；2. 分别以OA、OB、OC为一边，绕点O逆时针作90°角；3. 在角的另一边上分别截取OA′=OA、OB′=OB、OC′=OC，得到A、B、C的对应点A′、B′、C′；4. 顺次连接A′B′、B′C′、C′A′，所得△A′B′C′即为所求旋转图形。 （四）专项作图练习题 1. 画出线段AB绕端点A顺时针旋转60°后的线段AB′。 2. 已知正方形ABCD，绕顶点D逆时针旋转45°，画出旋转后的正方形A′B′C′D。 3. 以点P为旋转中心，将△MNP顺时针旋转180°，作出旋转后的图形，并说明所得图形与原图形的位置关系。 第3题参考答案：按照旋转作图步骤找到各顶点对应点，连线可得旋转后图形；旋转180°后的图形与原图形关于旋转中心P中心对称，对应点连线经过旋转中心，且被旋转中心平分。 六、28.2.1 中心对称及其性质（新课专项） （一）中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 核心区分：中心对称是两个图形的位置关系，是旋转角为180°的特殊旋转变换，隶属于旋转变换范畴。 （二）中心对称的核心性质 1. 对应点：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分（对称中心是对应点连线的中点）。 2. 图形关系：中心对称的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等，图形的形状、大小均不发生改变，仅位置改变。 3. 线段特征：对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角完全相等。 （三）中心对称与轴对称的区别（高频易错） 轴对称：沿一条直线折叠重合，核心要素是对称轴（直线）；中心对称：绕一个点旋转180°重合，核心要素是对称中心（点），二者变换方式、判定依据完全不同。 （四）中心对称作图方法 1. 定点：确定题目要求的对称中心；2. 找点：找出原图形所有顶点、关键点；3. 作对称点：连接关键点与对称中心，延长线段，截取等长线段，得到对应对称点；4. 顺次连接各对称点，标注字母完成作图。 （五）典型例题解析 例题：已知△ABC和点O，画出△ABC关于点O中心对称的图形△A′B′C′。 解答步骤：①连接AO并延长至A′，使OA′=OA；②连接BO并延长至B′，使OB′=OB；③连接CO并延长至C′，使OC′=OC；④顺次连接A′B′、B′C′、C′A′，△A′B′C′即为所求图形。 例题变式：若两个图形关于点O中心对称，已知一组对应点A、A′，OA=4，则OA′=____，线段AA′=____。 答案：4、8 解析：对称中心平分对应点连线，OA′=OA=4，AA′=OA+OA′=8。 （六）专项练习题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 中心对称图形一定不是轴对称图形 B. 中心对称的两个图形不一定全等 C. 对称中心是对应点连线的中点 D. 旋转任意角度重合都是中心对称 答案：C 解析：中心对称图形可同时为轴对称图形（如正方形）；中心对称图形一定全等；只有旋转180°重合才是中心对称。 2. 已知△DEF与△ABC关于点P中心对称，若∠A=60°，DE=5，则∠D=____，AB=____。 答案：60°、5（中心对称图形对应角、对应线段相等） 3. 简答题：简述中心对称与普通旋转的关系。 参考答案：中心对称是特殊的旋转，是旋转角固定为180°的旋转变换，具备旋转的所有性质，同时拥有自身专属性质：对应点连线过对称中心且被其平分。 学习目标 1.通过具体实例认识中心对称，弄清楚中心对称及其有关概念的含义. 2.探究并归纳出中心对称的性质. 3.会作与一个图形关于某个点成中心对称的另一个 图形． 学习目标 复习回顾 旋转 三要素 性质 旋转中心 旋转角 旋转方向 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3.旋转前、后的图形全等. 探索新知 思考1：如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ 旋转后两个图案能够互相重合. O 思考2：如图，线段 AC，BD 相交于点O，OA=OC，OB =OD. 把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ O A B D C 旋转后的△OCD与△OAB重合. 思考3：上面两个旋转有什么共同点？ ①旋转中心都是点O； ②旋转角度都是180°； ③旋转后都能与另一个图形完全重合. 归纳小结 像这样，一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）. △OCD与△OAB关于点O对称 这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点 . 思考4：中心对称与旋转的联系与区别是什么？ 联系：中心对称与旋转都是绕着某一点转动； 区别：中心对称的旋转角度是180°，旋转的旋转 角度不固定，中心对称是特殊的旋转. 1.下列图案中，点 O 为正方形的中心，阴影部分的两 个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点 O 对称的是（ ） 牛刀小试 C 如图，△ABC和△A′B′C′ 关于点 O 对称. （1）对称中心O与对称点的连线AA′有什么关系？点O与BB′，CC′ 呢？ A B C B′ A′ C′ O A，O，A′三点共线，且OA=OA′.同理OB=OB′， OC=OC′. （2） △ABC和△A′B′C′ 有什么关系？ 全等. 你能从这个探究中得到什么结论？ 归纳小结 中心对称的性质 1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. 对称点与对称中心三点共线 对称中心是对称点连线的中点 2.中心对称的两个图形是全等图形. 如何确定“对称中心”呢？ 一组对称点连线的中点 或 两组对称点连线的交点. 2.如图，△ABC 和 △DEF 关于点 O 对称，则下列结论不成立的是（ ） A. CO=FO B. ∠OBC=∠OEF C. AB∥ EF D.点 B 与点 E 是对称点 牛刀小试 C 3.图中的两个四边形关于某点对称，标出它们的对称中心. 【选自教材第101页 练习 第1题】 解：如图所示，连接对称点，对称点所连线段相交于一点O，点O即为对称中心. O O A 解：第一步：连接 AO，并延长； 第二步：在 AO 的延长线上截取OA′=OA. A′ 点A′就是所求作的点. 试一试：如图，选择点 O 为对称中心，画出点 A 关于点 O 的对称点 A′. O B C A 例1 如图，选择点 O 为对称中心，作出与 △ABC 关于点 O 对称的△A′B′C′. 解：连接 AO，在AO的延长线上截取 OA′=OA，即可以得到点 A 关于点 O 的对称点A′. A′ 以同样的方法分别作出点B，C关于点O的对称点B′，C′. B′ C′ 依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就得到与△ABC关于点O对称的△A′B′C′. A′ D′ C′ B′ 牛刀小试 4.如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O对称. O A B C D 解：如图所示. 归纳小结 作已知图形关于某一点对称的图形的一般步骤： 找关键点 确定对称中心及原图形上的关键点 作对称点 将各关键点与对称中心连接并延长，在相应延长线上作出各关键点关于对称中心的对称点 顺次连接 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到原图形关于对称中心对称的图形 中心对称和轴对称的区别与联系 轴对称 中心对称 图示 区别 至少有一条对称轴 只有一个对称中心 图形沿对称轴折叠 图形绕对称中心旋转180° 折叠后与另一个图形重合 旋转后与另一个图形重合 联系 都是图形变换，并且变换前、后的两个图形全等 A B C C′ A′ B′ O 随堂练习 1.判断正误： （1）轴对称的两个图形一定是全等图形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形. （ ） （2）成中心对称的两个图形一定是全等图形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形. （ ） （3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形. （ ） √ √ × 随堂练习 2.分别作出已知图形关于点O对称的图形. 【选自教材第101页 练习 第2题】 O O 解：如图所示. 解：如图所示. 随堂练习 3.如图，矩形的长为10，宽为4，已知点O是三角形①②、三角形③④、三角形⑤⑥的对称中心，则图中阴影部分面积和为______. 20 随堂练习 4.如图，在△ABC中AB=5，AC=13，AD=6，△ADC和△EDB关于点D对称，求BC的长. 解：∵△ADC 与△EDB 关于点D对称，∴△ADC≌△EDB. ∴AC=EB=13，CD=BD，AD=ED=6.∴AE=AD+ED=12. 在△ABE中，AB2+AE2=52+122=169，EB2=132=169，∴AB2+AE2=EB2. ∴△ABE 是直角三角形，且∠BAD=90°.在Rt△ABD 中，BD===. ∴BC=2BD=2. 随堂练习 知识点1 中心对称的概念和性质 1. 若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线必经过对称中心； ②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定相等； ④将一个图形绕对称中心旋转 后必与另一个图形重合． 其中正确的有( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 23 （第2题） 2. 如图， 与 关于点 成中心对称，下 列说法： ； ； ； 与 D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 的面积相等. 其中正确的有( ) 中考考法 24 （第3题） 3. 如图，在平面直角坐标系中，若 与关于点 成中心对称， 则对称中心点 的坐标是( ) A A. B. C. D. 中考考法 25 知识点2 中心对称作图 4.如图，在的正方形网格中，点，，， 都在格点 上，请你按要求画出图形． 中考考法 26 （1）在图①中作出，使和关于点 成中心对称； 【解】如图①， 即为 所求. 中考考法 27 （2）在图②中分别找两个格点，，使得以，， ， 为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为 面积的4倍． 如图②，, 为满足条件的 格点.（答案不唯一） 中考考法 28 5.如图，是的边 上的中线. 中考考法 29 （1）画出以点为对称中心且与 成中心对称的三角形 （不要求尺规作图）; 【解】如图所示的 即 是符合条件的三角形. 中考考法 30 （2）若，，求 的取值范围. 中考考法 31 由（1）知，和关于点 成中心对称， 由中心对称的性质可知 . ， . 在中， ， ，即 . ，即 . 中考考法 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考 虑构造以中点为对称中心的图形，把分散的已知条件和所求 集中到同一个三角形中. . . . . . . 中考考法 33 （第6题） 6. 如图，在 的方格纸中，画格点三角 形（顶点均在格点上）与 关于方格 纸中的一个格点成中心对称，这样的三角 形有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 34 【点拨】如图所示, 即为所求. 则这样的 有2个. 中考考法 35 7.将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点,,, 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是___ . 9 （第7题） 中考考法 36 中心对称 概念 性质 作图 两个图形 其中一个图形绕某一点旋转180° 与另一个图形重合 对称点所连线段经过对称中心且被对称中心平分 中心对称的两个图形是全等图形 作中心对称图形 找出对称中心 课堂小结 $