第三十章 直线与圆的位置关系（解答题30题）热点题型专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系，以30道解答题构建“概念-推理-应用”体系，融合几何直观与推理能力，突出模型化解题思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-6题|切线性质判定、弧长计算、三角函数应用|从圆的基本性质到直线与圆位置关系，形成“定义-性质-计算”链条| |作图探究|7-12题|尺规作切线、内心外心定位|通过作图实践深化对圆与三角形位置关系的理解| |综合模型|13-30题|定弦定角、四点共圆、实际问题建模|结合生活场景（筒车、石磨），培养应用意识与空间观念|

第三十章 直线与圆的位置关系（解答题30题） 活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域． (1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东，同时在监测点O测得C位于南偏东，求监测点O到C船的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 2．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 3．如图，已知内接于，为直径，延长至D，过D作切线，切点为E，且，连接．，，求的半径． 4．（1）计算：|﹣|+（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1． （2）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6． ①求正六边形ABCDEF的边长； ②以A为圆心，AF为半径画弧BF，求弧BF的长．（结果保留π） 5．如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合． (1)计算：劣弧PQ的长； (2)思考：点M与AB的最大距离为 　 　，此时点P，A间的距离为 　 　；点M与AB的最小距离为 　 　． (3)探究：当半圆M与AB相切时，求的长．（注：结果保留π，cos35°＝，cos55°＝） 6．筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为的筒车按逆时针方向，每秒旋转4度，筒车与水面分别交于、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，水筒与点重合时开始计算时间． (1)3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是多少米? (2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上?（参考数据：，，） 7．如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 8．如图，BA切⊙O于点A，过B、O的直线交⊙O于点C、D． (1)用尺规作图作出过点D的弦DE，使DE∥AB（保留作图痕迹，不写作法） (2)若AB＝8、BC＝4，求弦DE的长； 9．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 黄金三角形与五角星 当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形． 按下面的步骤画一个五角星（如图）： ①作一个以AB为直径的圆，圆心为O； ②过圆心O作半径OC⊥AB； ③取OC的中点D，连接AD； ④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E； ⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧， 正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）； ⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星． 任务： (1)求出的值为 ； (2)如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形． 10．如图，在中，，平分，交边于点，点为边上一点，经过点、并且交于另一点． (1)作出并标出点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下， ①证明：直线是的切线； ②若与交于点，且，，求的长． 11．如图，一个含有角的直角三角形内接于圆，点是上的点，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．    (1)在图1中作直角三角形的外心； (2)在图2中作直角三角形的内心． 12．如图，已知内接于，且是的直径，    (1)实践与操作： 请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)推理与计算： 连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长． 13．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 14．问题提出 如图1，在中，，，，则的面积为________； 问题探究 如图2，在中，，，．点是三个内角角平分线的交点．点在边上，且．在边找一点，使得四边形面积是面积的．求出此时的长度； 问题解决 如图3，某开发区将设计改造一块五边形空地．已知，，按照设计需求，且满足．现设计规划在阴影部分区域种植花卉．公司为了节约成本，满足设计需求，种植花卉阴影部分即区域的面积尽可能小．请你计算出种植花卉面积的最小值． 15．【问题提出】 (1)如图①，为的一条弦，连接，若，为上一点，且满足，求劣弧的长； 【问题解决】 (2)在2025年全国两会政府工作报告中，“好房子”首次被明确提出，标志着中国住房政策从“量”到“质”的转型，并且提出提高得房率的要求．某开发商为满足这一要求，为每套住宅配套了如图②所示的正方形多功能赠送区域．小明家买了一套这样的房子，在装修这个多功能区域时，以为腰向正方形内部作等腰为妈妈留作花房，且，剩下区域留作阳台晾衣区．在花房内部，过点作于点，点是的内心，连接，将分为肥料区，种植区，剩余部分方便活动．若米，连接，在处铺设水管，为减少材料浪费，需要水管尽可能短，求水管的最小值． 16．如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． (1)与相似吗？为什么？ (2)如图2，弦交x轴于点P，且，求； (3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由． 17．提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 18．如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 19．如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 20．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点． （1）求证：DE⊥BC； （2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径． 21．如图，在中，，以为直径的交于点，的切线交于点． (1)求证：是中点； (2)若，，连接，，交点为，求的长． 22．如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，且，过D作，垂足为F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 23．矩形内接于，点、分别在边、上，连接、、，且，与的度数比为2:3． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，过点作的切线，连接，于点，若的面积为，求的正切值； （3）在（2）条件下，作于点，连接，若，求线段的长． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过点F作AB的垂线FG，垂足为M，交AD于点P，交⊙O于点G，连接GE． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若，AB＝16，求⊙O的直径． 25．如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ． (2)在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝，求BF的长 ． 26．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C＝50°． (1)求∠B的度数； (2)求的长． 27．如图，中，，点I是的内心． (1)O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值； (2)过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值． 28．问题提出 （1）如图①，内接于半径为4的，是的中位线，则的最大值是_________； 问题探究 （2）如图②，在等腰中，，，边上的中线，求等腰外接圆的半径； 问题解决 （3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为的部件，已知的部件要满足，边上的中线，且边与边之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出的最大值；若不能，请说明理由． 29．【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【应用】 (1)若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______． (2)如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________． 30．定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗? I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）； II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）； III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． 【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证． 【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题： （3）证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高． （4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系（解答题30题） 1．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域． (1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东，同时在监测点O测得C位于南偏东，求监测点O到C船的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 【答案】(1) (2)不会 【分析】（1）过点C作轴于点D，由题意可知，，即可得，设，则，再利用解直角三角形，即可求得与的长，据此即可求解； （2）过点C作正北方向线，过圆的圆心作轴于点E，交正北方向线于点F，交圆于点M，根据矩形的判定与性质即可求得，再根据相似三角形的判定与性质，即可求得长，根据勾股定理即可求得直径的长，即可求得的长，再与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作轴于点D， 由题意可知，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， 即，， ， 故监测点O到C船的距离为； （2）解：如图：过点C作正北方向线，过圆的圆心作轴于点E，交正北方向线于点F，交圆于点M， 四边形是矩形，， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 可疑船只不会闯入安全警戒区域． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，圆周角定理，直线与圆的位置关系，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键． 2．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析 【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可； （2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可； （3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 3．如图，已知内接于，为直径，延长至D，过D作切线，切点为E，且，连接．，，求的半径． 【答案】半径 【分析】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度． 【详解】解：连接，作于H， ∵是的切线， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， ∴半径． 4．（1）计算：|﹣|+（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1． （2）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6． ①求正六边形ABCDEF的边长； ②以A为圆心，AF为半径画弧BF，求弧BF的长．（结果保留π） 【答案】（1）5；（2）①6；② 【分析】（1）根据零指数幂，负整指数幂以及特殊角的三角函数值求解即可； （2）①连接OB，可得△OAB是等边三角形，即可求解； ②根据弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）解：原式； （2）①连接OB，如图： ∵O是正六边形ABCDEF的中心 ∴∠AOB＝60°，OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴AB=OA=6， ②∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴∠BAF＝120° ∴弧BF的长= 【点睛】此题考查了零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质以及弧长的计算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及相关几何性质． 5．如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合． (1)计算：劣弧PQ的长； (2)思考：点M与AB的最大距离为 　 　，此时点P，A间的距离为 　 　；点M与AB的最小距离为 　 　． (3)探究：当半圆M与AB相切时，求的长．（注：结果保留π，cos35°＝，cos55°＝） 【答案】(1) (2)，2， (3)或 【分析】（1）分别连接OP、OQ，则易得△OPQ是等边三角形，从而可求得劣弧PQ的长； （2）过点M作MC⊥AB于C，连接OM、AP，由垂径定理可求得OM为定长，当点C与点O重合时，点M到AB的距离最大；当Q点与B点重合时，M到AB的距离最小，分别未出最大值与最小值即可； （3）当半圆M与AB相切时，此时可求得MC=1，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）分别连接OP、OQ，如图1所示 ∵AB=4 ∴OQ=OP=2 ∵PQ=2 ∴△OPQ是等边三角形 ∴∠POQ=60゜ ∴ （2）如图2，过点M作MC⊥AB于C，连接OM、AP 由垂径定理知OM⊥PQ，且PM=QM=1 由勾股定理得： ∵MC≤OM ∴当点C与点O重合时，点M到AB的距离最大，此时最大值为OM的长 ∴M到AB的最大值为 ∵OM⊥AB， ∴∠AOP=60゜ ∵OA=OP=2 ∴△OAP是等边三角形 ∴AP=2 如图3，当Q点与B点重合时，M到AB的距离最小 ∵∠OBP=60゜，BM=1 ∴ 故答案为：，2， （3）当半圆M与AB相切时，此时MC=MP=MQ=1，有两种情况 ①当点C在线段OA上时，如图4 在Rt△MCO中，由勾股定理得： ∴ ∴∠AOM=35゜ ∵∠POM=30゜ ∴∠AOP=∠AOM−∠POM=35゜−30゜=5゜ ∴的长度为： ②当点C在线段OB上时，如图5 由对称性知，的长度与①中的的长度相等，故长度为 由（1）知，的长度为，半圆弧长为2π 的长度为 综上，的长度为或 【点睛】本题是圆的综合问题，考查了勾股定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式，圆的切线的性质，解直角三角形知识，综合性强，需要熟练掌握各部分内容，对学生的综合能力要求较高；关键是根据题意画出图形，并作出适当的辅助线，同时注意分类讨论． 6．筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为的筒车按逆时针方向，每秒旋转4度，筒车与水面分别交于、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，水筒与点重合时开始计算时间． (1)3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是多少米? (2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上?（参考数据：，，） 【答案】(1)3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是 (2)盛水筒从最高点开始，至少经过恰好在直线上 【分析】（1）连接，，过点作，垂足为，可得，根据三角函数求出，在中求出的长解题即可； （2）延长交于点，则点为最高点，先在中求出，在中求得解题即可． 【详解】（1）连接，，过点作，垂足为， 由题意得：， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是； （2）延长交于点，则点为最高点， ∵点在上，且与相切， ∴当点在上，此时点是切点，连接，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴盛水筒从最高点开始，至少经过恰好在直线上． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】答案见解析． 【分析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求． 方法二：根据等腰三角形的性质三线合一作的切线，作射线，交于点，以为圆心，为半径作,以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接,交于点，则是等腰三角形，，则，即为所求． 【详解】 解： 作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求． 作法：作射线，交于点，以为圆心，为半径作,以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接,交于点，则是等腰三角形，，则，即为所求． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 8．如图，BA切⊙O于点A，过B、O的直线交⊙O于点C、D． (1)用尺规作图作出过点D的弦DE，使DE∥AB（保留作图痕迹，不写作法） (2)若AB＝8、BC＝4，求弦DE的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接AO并延长作射线AO，过点D作射线AO的垂线，交⊙O于点E，连接DE，则DE∥AB． （2）连接AO，CE，先在中利用勾股定理求得⊙O的半径，然后证得，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解： 如图所示， （2）解：连接AO，CE，设⊙O的半径为，则， ∵， ∴ ∵AB是⊙O的切线， ∴AO⊥AB， ∴ ，   在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴，． ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵AB∥DE， ∴， ∴， ∴， ∴，解得 【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，作出适当的辅助线是解题的关键． 9．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 黄金三角形与五角星 当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形． 按下面的步骤画一个五角星（如图）： ①作一个以AB为直径的圆，圆心为O； ②过圆心O作半径OC⊥AB； ③取OC的中点D，连接AD； ④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E； ⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧， 正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）； ⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星． 任务： (1)求出的值为 ； (2)如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意可知OD=OC=OA，运用勾股定理可求AD，再表示AE即可求得； （2）连接OH，OI，点F，G，B，H，I为五等分点可得∠G=36°，同理∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°，由∠BMN是△MHF的外角可得∠BMN=72°，同理∠BNM=72°，可得BM=BN，从而结论可证. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D为OC中点， ∴OD=OC=OA， 设OD=x，则OA=2x， 在中，由勾股定理可得 ， ∴， ∴AD=x， ∴AE=AD-DE=x-x， ∴， 故答案为：； （2）证明：连接OH，OI， ∵点F，G，B，H，I为五等分点， ∴∠HOI=360°=72°， ∴∠G=36°， 同理∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°， 又∵∠BMN是△MHF的外角， ∴∠BMN=∠F+∠GHF=72°， 同理∠BNM=72°， ∴∠BMN=∠BNM， ∴BM=BN， ∵∠FBI=36°， ∴△BMN是黄金三角形. 【点睛】本题考查了黄金三角形，掌握圆和等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键. 10．如图，在中，，平分，交边于点，点为边上一点，经过点、并且交于另一点． (1)作出并标出点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下， ①证明：直线是的切线； ②若与交于点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②10． 【分析】作的中垂线，交于点，以点为圆心、为半径作圆即可得，交于点； 连接，证，由得于点，据此即可得证； 作于点，可得四边形是矩形，据此知，由知，再根据垂径定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，与点即为所求． （2）解：①如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即， 是上一点， 直线是的切线； 过点作于点， 则，， 四边形是矩形， ， ， ， 则， ． 【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定与中垂线的性质及切线的判定、垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点． 11．如图，一个含有角的直角三角形内接于圆，点是上的点，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．    (1)在图1中作直角三角形的外心； (2)在图2中作直角三角形的内心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形外心的性质，直角三角形的外心在斜边上，且与斜边的中点重合，即可得到答案； （2）根据三角形内心的定义：三角形的内心为三条角平分线的交点，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求，   ， 连接并延长与圆交于点，延长交于点，连接与交于点，点即为所求； （2）解：如图2，点即为所求，    连接并延长与圆交于点，延长交于点，连接与交于点，延长与圆交于点，连接与交于点，点即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—直角三角形的内心、外心，熟练掌握三角形内心、外心的定义与性质，是解题的关键． 12．如图，已知内接于，且是的直径，    (1)实践与操作： 请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)推理与计算： 连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可； （2）根据是的直径，，，得，然后根据勾股定理求出，再根据角的等量代换得，即可求的长． 【详解】（1）解：如图1，点I为所求，    （2）解：如图2，连接，，，    ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是的内心I以及圆的基本性质、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识内容，正确掌握的内心I是角平分线的交点以及圆的基本性质是解题的关键． 13．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【答案】(1)扇叶最外端P与地面的距离为 (2)点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【分析】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． （2）解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 14．问题提出 如图1，在中，，，，则的面积为________； 问题探究 如图2，在中，，，．点是三个内角角平分线的交点．点在边上，且．在边找一点，使得四边形面积是面积的．求出此时的长度； 问题解决 如图3，某开发区将设计改造一块五边形空地．已知，，按照设计需求，且满足．现设计规划在阴影部分区域种植花卉．公司为了节约成本，满足设计需求，种植花卉阴影部分即区域的面积尽可能小．请你计算出种植花卉面积的最小值． 【答案】问题提出：； 问题探究：； 问题解决： 【分析】问题提出：过点C作交的延长线于点D，得到，进而求出面积；问题探究：连接,,过点O作于点D,作于点E，作于点F，根据内心的性质可得，表示出，的值，根据四边形面积是面积的解题即可；问题解决：延长交的延长线于点F，连接，设，则，过点C作交的延长线于点T，根据求出函数关系式求最小值． 【详解】解：问题提出 如图，过点C作交的延长线于点D， 则， ∴， 故答案为：． 问题探究 如图，连接,,过点O作于点D,作于点E，作于点F， ∵点是三个内角角平分线的交点， ∴ 设 ∴ ; ∵ ∵四边形面积是面积的 ∴，解得， ∴， 问题解决 如图，延长交的延长线于点F，连接，设，则，过点C作交的延长线于点T， ∵求，，， ∴四边形为菱形， ∵ ∴，， ∴，∵， ， ∴， ∴， 同理可得 由（1）的结论可得, ∵， 即, ∵ ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题考查解直角三角形，二次函数的最值，一元一次方程的应用，掌握用三角函数表示三角形的高是解题的关键． 15．【问题提出】 (1)如图①，为的一条弦，连接，若，为上一点，且满足，求劣弧的长； 【问题解决】 (2)在2025年全国两会政府工作报告中，“好房子”首次被明确提出，标志着中国住房政策从“量”到“质”的转型，并且提出提高得房率的要求．某开发商为满足这一要求，为每套住宅配套了如图②所示的正方形多功能赠送区域．小明家买了一套这样的房子，在装修这个多功能区域时，以为腰向正方形内部作等腰为妈妈留作花房，且，剩下区域留作阳台晾衣区．在花房内部，过点作于点，点是的内心，连接，将分为肥料区，种植区，剩余部分方便活动．若米，连接，在处铺设水管，为减少材料浪费，需要水管尽可能短，求水管的最小值． 【答案】（1）；（2）米 【分析】（1）过作，垂足为，根据已知得出，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，求得半径，再根据弧长公式，即可求解． （2）根据三角形内心的性质得出，进而证明，得出，作的外接圆，连接，，，设的半径为，的最小值即为．过点作交的延长线于点，然后求得的长，即可求解． 【详解】解：如图①，过作，垂足为． ，， ． ，， ． 劣弧的长为 （2）， ． ． 点是的内心， ，分别平分，． ． ． ，，， ． ， 如图②，作的外接圆，连接，，，设的半径为， 则的最小值即为．过点作交的延长线于点． ， 优弧所对的圆心角为． ． ， ． ， ． 四边形是正方形， ，． 又， ． ． ， ． ． ． ． 水管的最小值为米． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内心的性质，圆周角定理的应用，勾股定理，熟练掌握定弦定角模型是解题的关键． 16．如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． (1)与相似吗？为什么？ (2)如图2，弦交x轴于点P，且，求； (3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) (3)的值不变， 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角得，根据即可得； （2）连接，，，根据点M的坐标为得，根据5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D得，根据得，在中，根据勾股定理得，，根据和是的圆周角得，根据和是的圆周角得，即可得，则，计算得，在中，根据勾股定理得，，则，根据，即可得； （3）连接，根据为切线得，可得，根据得，则，即，计算得，当G点与A点重合时，；当G点与B点重合时，；当G点不与A、B重合时，根据得，则，即，而，可得，根据得，可得，即可得． 【详解】（1），理由如下： 解：如图1所示， ∵和是的圆周角， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接，，， ∵点M的坐标为， ∴， ∵5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵和是的圆周角， ∴， ∵和是的圆周角， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3所示，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当G点与A点重合时，； 当G点与B点重合时，； 当G点不与A、B重合时， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的值不变． 【点晴】本题考查了圆的综合题，掌握圆周角定理，切线得性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线是解题的关键． 17．提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）利用直角三角形内切圆半径公式即可得解； （2）参照（1）中思路可得，所以要使的周长最小，则求最小值即可，由，识别定角定高模型，进而作的外接圆求解即可． 【详解】（1）解：如图，内切圆圆心为O，过O分别作的垂线段，垂足分别为D、E、F，连接，则， ， 设，则，， 由内切圆可得，， ，， ， ， 解得， ，即斜边长为， 故答案为：； （2）解：由题意可知大与相切，如图，过O作的垂线段，垂足分别为M、N、P，连接， 大的直径为， ， ， ，， ， ，， ， 要使的周长最小，则求最小值即可， 如图，作的外接圆，连接，过Q作于点H， ， ， 设，则，， ， ， ， ，即当时，有最小值， 此时， 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、三角形的外接圆、定角定高模型等内容，最后一问对定角定高模型的掌握是解题的关键． 18．如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，标记点，由切线的性质可得，由题意可得，从而得出，再由圆周角定理计算即可得出结果； （2）设的半径为，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接，标记点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由圆周角定理可得， ∴； （2）解：设的半径为，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 19．如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，三角函数综合等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由切线的性质得，而，所以，则，所以，则平分； （2）连接，由，得，则，再证明，，则，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ∵直线与相切于点，点，点都在直线上， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， ， ， ， ，是的直径，， ， ， ， ， ， 的长为． 20．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点． （1）求证：DE⊥BC； （2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）2.5 【分析】（1）连接OD，则OD⊥DE，利用中位线定理证明OD∥BC即可； （2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，正切的定义，求解即可； 【详解】（1）证明：连接OD． ∵DE为⊙O的切线， ∴DE⊥OD ∵AO＝OB，D是AC的中点， ∴OD∥BC． ∴DE⊥BC （2）解：连接DB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴DB⊥AC， ∴∠CDB＝90°． ∵D为AC中点， ∴AB＝BC， 在Rt△DEC中，∠DEC＝90°， ∵DE＝2，tanC＝， ∴， 由勾股定理得：DC＝， 在Rt△DCB中，∠BDC＝90°， ∴BD＝DC·tanC＝ 由勾股定理得：BC＝5， ∴AB＝BC＝5， ∴⊙O的半径为2.5． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角函数，熟练掌握切线的性质，灵活运用三角形中位线定理和锐角三角函数是解题的关键． 21．如图，在中，，以为直径的交于点，的切线交于点． (1)求证：是中点； (2)若，，连接，，交点为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1.8 【分析】（1）连接，根据切线的性质，就可以证出，从而证明； （2）求出，根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接， ，为直径， 为切线， 切于点， ， ； ， ， ， ， 即为的中点； （2）解：连接， ， 为的切线， 是的切线， 平分， ，为的中点， 点、分别为、的中点， ， 在中，，，，由勾股定理得：， 在中，为的中点， ， 在中，，，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大． 22．如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，且，过D作，垂足为F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为5 【分析】（1）连接，由，，得到为的中位线，得到，根据，得到，即可得证； （2）由直角三角形两锐角互余求出的度数，利用两直线平行同位角相等求出的度数，再由，利用等边对等角求出，的度数，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出圆的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， 则的半径为5． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 23．矩形内接于，点、分别在边、上，连接、、，且，与的度数比为2:3． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，过点作的切线，连接，于点，若的面积为，求的正切值； （3）在（2）条件下，作于点，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）设，求得，根据可证得，从而可得结论； （2）连接，证明得出为直径，进一步证明，作于，可证明，设，则，得，优化大师可得结论； （3）延长、交于点，延长交于点，可证明为的中位线，可求得，，，求出，解得，代入即可得到结论． 【详解】解：（1）设，则， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴平分； （2）连接， ∵， ∴为直径， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴． （3）延长、交于点，延长交于点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵、分别是线段、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵t，， ∴，解得， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理、垂径定理以及锐角三角函数的应用，正确作出辅助线是解答此题的关键． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过点F作AB的垂线FG，垂足为M，交AD于点P，交⊙O于点G，连接GE． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若，AB＝16，求⊙O的直径． 【答案】(1)证明见解析； (2)12． 【分析】（1）连接OD，根据切线的判断，只要证出OD⊥BC即可； （2）根据圆周角定理和平行线的性质可得∠G＝∠BAC＝∠BOD，利用sinG＝，得到sin∠BOD＝，进而求出tan∠BOD＝，再在Rt△BOD中，由勾股定理，设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵AD⊥DE， ∴AE是⊙O的直径，即点O在AE上， 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵OD∥AC， ∴∠DOB＝∠EAF， ∵∠G＝∠EAF， ∴∠DOB＝∠G， ∴sin∠DOB＝sin∠G＝， ∴tan∠DOB＝tan∠G＝， 设OD＝3k，则BD＝4k，OB＝5k， ∵OB＝AB−OA，   ∴5k＝16−3k， ∴k＝2， 因此OD＝3k＝6， ∴⊙O的直径为12． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法和直角三角形的边角关系是解决问题的前提． 25．如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ． (2)在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝，求BF的长 ． 【答案】(1)①②，③（答案不唯一）理由见解析 (2)4 【分析】（1）根据切线的性质与判定任选2个作为条件，剩下的一个作为结论； （2）连接，在直角三角形ODF中利用勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：选择条件是①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；结论是③直线EF是⊙O的切线．理由如下， 连接， AD平分∠EAF； ， ， ， ， ， ， ， ， 直线EF是⊙O的切线． 故答案为：①②，③ 选择条件是①AD平分∠EAF；③直线EF是⊙O的切线；结论是②∠AEF＝90°．理由如下， 连接， AD平分∠EAF； ， ， ， ， ， 直线EF是⊙O的切线． ， ， ， 选择条件是②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线；结论是①AD平分∠EAF．理由如下， 连接，直线EF是⊙O的切线，， ，， ， ， ， ， ， AD平分∠EAF； （2）连接，直线EF是⊙O的切线， ， 在直角三角形ODF中，由勾股定理得， AO＝2，DF＝， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 26．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C＝50°． (1)求∠B的度数； (2)求的长． 【答案】(1)∠B＝40° (2)的长为 【分析】（1）由AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A可证明∠BAC=90°，而∠C=40°，由直角三角形的两个锐角互余得∠B=90°-∠C=50°； （2）连结OD，由圆周角定理可得∠AOD=2∠B=100°，而⊙O的半径为6，由弧长公式即可求出答案． 【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A， ∴AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵∠C＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝40°． （2）如图，连结OD， ∵∠AOD＝2∠B＝2×40°＝80°，⊙O的半径为6， ∴的长为＝π， 【点睛】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 27．如图，中，，点I是的内心． (1)O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值； (2)过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值． 【答案】(1)r的值为 (2)②正确，定值为 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，等边对等角得到，内心得到是的角平分线，推出，三线合一推出，证明，得到，设，则：，进行求解即可； （2）连接并延长，交于点，作，连接，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的值，等积法求出为定值，三角函数求出，进行判断即可． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，连接，则：， ∴， ∵点I是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， 解得：； （2）②正确，理由如下： 连接并延长，交于点，作，连接， ∵点I是的内心， ∴点I是的三条角平分线的交点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在中，， ∴在中，， ∵， ∴， 即：， ∴； 故为定值； 在中，， 在中，， ∴，， ∴， ∵，随着的变化而变化，不是定值， ∴不是定值． 【点睛】本题考查与三角形的内心有关的计算，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等积法求线段的长等知识点，熟练掌握内心是三角形的三条角平分线的交点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 28．问题提出 （1）如图①，内接于半径为4的，是的中位线，则的最大值是_________； 问题探究 （2）如图②，在等腰中，，，边上的中线，求等腰外接圆的半径； 问题解决 （3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为的部件，已知的部件要满足，边上的中线，且边与边之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出的最大值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）等腰外接圆的半径为4；（3）的最大值为 【分析】（1）利用三角形的中位线定理解决问题即可． （2）由题意AD垂直平分线段BC，推出△ABC的外接圆的圆心在线段AD上，设圆心为O，连接OB，OC．由题意∠BOC=2∠BAC=90°，设OA=OB=OC=r，则BC=r，OD=BD=CD=r，根据，构建方程求出r即可． （3）延长AD到E，使得DE=AD，连接EC，延长AC到F，使得CF=CE，连接EF，证明∠F=60°，因为，推出AE=30，推出点F的运动轨迹是图中优弧AE，由题意，推出当AF是直径时，AB+AC的值最大，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）∵是的中位线， ∴MN=BC， ∵BC是⊙O的弦，且圆的半径为4， ∴BC≤8， ∴BC是最大值为8， ∴MN的最大值为4． 故答案为：4； （2）∵，是边上的中线， ∴垂直平分线段． ∴的外接圆的圆心在线段上． 如图，设圆心为，连接，． ∴，设， 则，， ∵，∴，解得． ∴等腰外接圆的半径为4； （3）如图，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接． ∵，，， ∴． ∴，，∴， ∴． ∵，∴是等边三角形． ∴． ∵，∴． ∴点的运动轨迹是解图中的优弧． ∵， ∴当为直径时，的值最大， 此时． ∴，∴． ∴，即， ∴，∴． ∴的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的中位线定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 29．【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【应用】 (1)若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______． (2)如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________． 【答案】(1)； (2)①；②PC的最小值为． 【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，求得，进而求得，根据可求得，根据即可求出劣弧的长度； （2）①根据已知条件可得，证明，即可求得； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值． 【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作， ，， ， ， ，， ， ， ∴劣弧的长为 故答案为：； （2）①， ， ， 点是的内心， 平分， ， ， ， ， ； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点， 由题意的由“定弦定角”模型，可知，， 作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为， ， 设优弧所对的圆心角优角为， 则， ， ， ， ， ， ，四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键． 30．定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗? I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）； II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）； III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． 【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证． 【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题： （3）证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高． （4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积． 【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）；；（3）见解析；（4）时，有最大值为，此时 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论II可得：，根据得出，根据三角形的外角大于与它不相邻的任一个内角得出，相互矛盾，即可证明点在上； （3）以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，，推得，根据对顶角相等可得，根据三角形内角和定理得出，即可证明； （4）连接，作中点，连接，过作轴交于，先求出点、、的坐标，根据勾股定理求出，根据中点坐标的公式求出点的坐标，根据等腰直角三角形的定义可推得，根据结论III可得，，，，共圆，即在的外接圆上，推得点为的外接圆圆心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据待定系数法求出直线的解析式为，根据坐标系中两点间的距离公式列出方程，求出的值，得出点的坐标；根据待定系数法求出直线的解析式为，根据点的横坐标得出，，求出，根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接、，如图： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，， ∴， 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （2）解：假设点落在外，交于点，连接， 根据结论II可得：， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，相互矛盾， 故点在上； 故答案为：；． （3）证明：以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接， ∵，，，四点共圆， ∴， ∵以，，，四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的边上的高． （4）解：连接，作中点，连接，过作轴交于，如图： ∵的图象与轴交于、两点，与轴交于点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，，共圆，即在的外接圆上， ∵， ∴点为的外接圆圆心， ∴， 设直线为，将点和点的坐标代入得：， 解得：， 直线为， 设，， 解得：或（舍去）， ∴， 设直线为，将点和点的坐标代入得：， 解得：， 直线为， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， 此时． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角性质，圆与四边形的综合应用，待定系数法求一次函数的解析式，两点间的距离，中点坐标，二次函数的综合应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $