3.4.3 第二课时 空间中的距离问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间距离问题，系统讲解点线距、点面距、线面距的向量求法，通过情境导入明确距离定义，衔接空间向量基础知识，构建从概念到方法的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，通过典型例题精研析（如正方体中求点到平面距离）、通性通法总结（点面距三步骤），培养直观想象与数学运算能力。采用坐标法与向量法结合，学生能深化空间观念，教师可依托分层训练提升教学实效。

第二课时　 空间中的距离问题 新课程标准解读 核心素养 能用向量的方法解决点线距、点面距、线面距的计算 问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与 另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离. 　　空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平 面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离 等.计算距离是空间度量最基本的问题.  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【问题】　如何用向量方法求解这些距离呢？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　空间距离及向量求法 1. 点 P 到平面α的距离 点 P 到平面α的距离，等于点 P 与平面α内任意一点 A 连线所得向量 ，在平面α的单位法向量 n0方向上所作投影向量的长度，即 d ＝ ⁠. ｜ · n0｜　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 点 P 到直线 l 的距离 若点 P 是直线 l 外一点， l0是直线 l 的单位方向向量，点 A 是直线 l 上 任意一点，则点 P 到直线 l 的距离为 d ＝ ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）可以用｜ ｜＝ ＝ ，求空间两点 A ， B 的距离. （　√　） （2）设 n 是平面α的法向量， A 是平面α内一点， AB 是平面α的一条 斜线，则点 B 到α的距离为 d ＝ . （　√　） （3）若直线 l 与平面α平行，直线 l 上任意一点与平面α内任意一点 的距离就是直线 l 与平面α的距离. （　×　） √ √ × 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 在四面体 P - ABC 中， PA ， PB ， PC 两两垂直， M 是平面 ABC 内一 点，且点 M 到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点 M 到顶点 P 的距离是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 解析：　以 P 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），由题意，得｜ MP ｜＝ ＝7. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知平面α的一个法向量 n ＝（1，0，1），点 A （－1，1，0）在α 内，则平面外点 P （－1，1，1）到平面α的距离为 ⁠. 解析： ＝（0，0，1）， n ＝（1，0，1）， d ＝ ＝ ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 点面、线面、面面的距离问题 【例1】　已知正方形 ABCD 的边长为1， PD ⊥平面 ABCD ，且 PD ＝ 1， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点.求点 D 到平面 PEF 的距离. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：建立以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则 D （0，0，0）， P （0，0，1）， A （1，0，0）， C （0，1， 0）， E ， F ， ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ . 设 n ＝（ x ， y ， z ）是平面 PEF 的法向量， 则 n · ＝ x ＋ y － z ＝0， ① n · ＝ x ＋ y － z ＝0， ② 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ①－②并整理得 x － y ＝0. 令 x ＝ y ＝1，则 z ＝ .∴ n ＝ . ∴点 D 到平面 PEF 的距离 d ＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【母题探究】 （变设问）本例条件不变，求直线 AC 到平面 PEF 的距离. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：∵ E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则 AC ∥ EF ， ∴ AC ∥平面 PEF ，∴点 A 到平面 PEF 的距离等于直线 AC 到平面 PEF 的距离. 由本例知，平面 PEF 的法向量 n ＝ ， A （1，0，0）， ＝（1，0，－1）. d ＝ ＝ ＝ . 因此直线 AC 到平面 PEF 的距离为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平 面的距离的前提是线面、面面平行. 点面距的求解步骤： （1）求出该平面的一个法向量； （2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向 量的模，即可求出点到平面的距离. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 如图，△ BCD 与△ MCD 都是边长为2的正三角形，平面 MCD ⊥平面 BCD ， AB ⊥平面 BCD ， AB ＝2 .求点 A 到平面 MBC 的距离. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：取 CD 的中点 O ，连接 OB ， OM ，则 OB ⊥ CD ， OM ⊥ CD ，又平面 MCD ⊥平面 BCD ，所以 MO ⊥平面 BCD . 以 O 为坐标原点，分别以直线 OC ， BO ， OM 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图所示. 因为△ BCD 与△ MCD 都是边长为2的正三角形，所以 OB ＝ OM ＝ ，则 O （0，0，0）， C （1，0，0）， M （0，0， ）， B （0，－ ，0）， A （0，－ ，2 ），所以 ＝（1， ，0）， ＝（0， ， ）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 设平面 MBC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），由 得 即取 x ＝ ，可得平面 MBC 的一个法向量为 n ＝（ ，－1，1）. 又 ＝（0，0，2 ），所以所求距离 d ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 点到直线的距离 【例2】　在长方体 OABC - O1 A1 B1 C1中， OA ＝2， AB ＝3， AA1＝2， 求 O1到直线 AC 的距离. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：法一　建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， O1 （0，0，2）， C （0，3，0），过 O1作 O1 D ⊥ AC 于点 D ，设 D （ x ， y ，0），则 ＝（ x ， y ，－2）， ＝（ x －2， y ，0）. ∵ ＝（－2，3，0）， ⊥ ， ∥ ， ∴解得∴ D （ ， ，0）， ∴｜ ｜＝ ＝ . 即 O1到直线 AC 的距离为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　连接 AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （2，0， 0）， O1（0，0，2）， C （0，3，0），∴ ＝（－2，0， 2）， ＝（－2，3，0），∴ · ＝（－2，0，2）·（－ 2，3，0）＝4， ∴ ＝ ，∴ O1到直线 AC 的距离 d ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用向量法求点到直线的距离的两种思路 （1）将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题.过已知点作直 线的垂线段，建立适当的空间直角坐标系，利用待定系数法求 出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法； （2）直接套用点线距公式求解，其步骤为： 直线的方向向量 a →所求点到直线上一点的向量 及 在直线 的方向向量 a 上的投影→代入公式. 另外，注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知直三棱柱 ABC - A1 B1 C1，过 A1， B ， C1三点的平面和平面 ABC 的交线为 l . （1）判断直线 A1 C1和 l 的位置关系，并加以证明； 解：A1 C1∥ l .证明如下： ∵ A1 C1∥ AC ， A1 C1⊄平面 ABC ， ∴ A1 C1∥平面 ABC . 又平面 A1 C1 B ∩平面 ABC ＝ l ，∴ l ∥ A1 C1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）如果 AA1＝1， AB ＝4， BC ＝3，∠ ABC ＝90°，求点 A1到直线 l 的距离. 解：建立空间直角坐标系 A - xyz ，如图，则 B （4，0，0）， C （4，3，0）， A1（0，0， 1）， C1（4，3，1）， ∴ ＝（4，0，－1）， ＝（4，3，0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 过点 B 作 BH ⊥ A1 C1，垂足为 H ，由（1） 知， l ∥ A1 C1， ∴ BH 即为点 A1到直线 l 的距离. ∵ · ＝16， ∴｜ ｜＝ ＝ ， ∴｜ ｜＝ ＝ ， 即点 A1到直线 l 的距离为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知 A （0， 0， 2）， B （1， 0， 2）， C （0， 2， 0），则点 A 到直线 BC 的距离为（　　） B. 1 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　∵ A （0， 0，2）， B （1， 0，2）， C （0， 2，0）， ＝（1， 0，0）， ＝（－1， 2，－2），∴点 A 到直线 BC 的 距离为 d ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 若三棱锥 P - ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA ＝ PB ＝ PC ＝1， 则点 P 到平面 ABC 的距离是（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　分别以 PA ， PB ， PC 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空 间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B （0，1，0）， C （0，0，1）. 可以求得平面 ABC 的一个法向量为 n ＝（1，1，1），则 d ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1，则平面 AB1 C 与平面 A1 C1 D 之间的距离为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：B　建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1（1，0，0）， C1 （0，1，0）， D （0，0，1）， A （1，0，1），所以 ＝（1， 0，－1）， ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，0），设平面 A1 C1 D 的一个法向量为 m ＝（ x ， y ，1）， 则 即 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解得故 m ＝（1，1，1），显然平面 AB1 C ∥ 平面 A1 C1 D ，所以平面 AB1 C 与平面 A1 C1 D 之间的距离 d ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 已知直线 l 经过点 A （2，3，1），且向量 n ＝（1，0，－1）所在直 线与 l 垂直，则点 P （4，3，2）到 l 的距离为 ⁠. 解析：因为 ＝（－2，0，－1），又 n 与 l 垂直，所以点 P 到 l 的 距离为 ＝ ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， N 分别是线段 BB1， B1 C1的中点，则直线 MN 到平面 ACD1的距离为 ⁠. 　 解析：如图，以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.则 D （0，0，0）， C （0， 1，0）， D1（0，0，1）， M ， A （1，0，0）， ＝ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ， ＝（－1，1，0）， ＝（－1，0，1）.设平面 ACD1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 即 取 x ＝1，则 y ＝ z ＝1，∴ n ＝（1，1，1）.∴点 M 到 平面 ACD1的距离 d ＝ ＝ .又 ＝ ，故 MN ∥平面 ACD1，故直线 MN 到平面 ACD1的距离为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　空间直角坐标系的构建策略 　　坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方 法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰 当的空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图 形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直 关系）建系，下面就几种常见的建系方法予以说明. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 【例1】　如图，已知直四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AA1＝2，底面 ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角， AB ∥ CD ， AB ＝4， AD ＝2， DC ＝1，求异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 建系方法　 易得 DA ， DC ， DD1三线两两垂直，如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　由题意知，在直四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，三条棱 DA ， DC ， DD1两两互相垂直且交于一点 D ，可考虑以点 D 为原点，三条棱所在 的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，此为根据题目中现有的条件， 直接建立空间直角坐标系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 【例2】　（2021·全国乙卷18题）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩 形， PD ⊥底面 ABCD ， PD ＝ DC ＝1， M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM . （1）求 BC ； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求二面角 A - PM - B 的正弦值. 建系方法　因为 PD ⊥平面 ABCD ，所以 PD ⊥ AD ， PD ⊥ DC . 在矩形 ABCD 中， AD ⊥ DC ，故可以点 D 为坐标原点建立空间 直角坐标. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　由条件中的垂直关系 PD ⊥底面 ABCD ，且四边形 ABCD 为矩形， 进而 PD ， AD ， DC 两两垂直且共点于 D ，可建立空间直角坐标系， 此为通过先证明题目中建系的条件，建立空间直角坐标系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 【例3】　（2021·新高考Ⅰ卷20题）如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥平面 BCD ， AB ＝ AD ， O 为 BD 的中点. （1）证明： OA ⊥ CD ； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）若△ OCD 是边长为1的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE ＝ 2 EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为45°，求三棱锥 A - BCD 的体积. 建系方法　 由题意知 AO ⊥平面 BCD ，显然 AO ⊥ OB . 以 O 为坐标原点， OB ， OA 所在直线分别 为 x ， z 轴，在平面 BCD 内，以过点 O 且 与 BD 垂直的直线为 y 轴建立空间直角坐标系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　由已知条件平面 ABD ⊥平面 BCD ，结合其他已知证得 AO ⊥平面 BCD ，选取 OB ， OA 所在的直线分别为 x ， z 轴后， y 轴就可由以下三 个限制条件确定：（1）必须在平面 BCD 内且过点 O ；（2）必须垂直 于 OB ；（3）方向必须符合右手直角坐标系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 四、利用正棱锥的底面中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系 【例4】　已知正四棱锥 V - ABCD 中， E 为 VC 的中点，正四棱锥的底 面边长为2 a ，高为 h ，若 BE ⊥ VC ，则∠ DEB 的余弦值为 　　. 建系方法　如图所示，以 V 在底面 ABCD 内的投影 O 为坐标原点建立 空间直角坐标系，其中 Ox ∥ BC ， Oy ∥ AB . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　解决有关正棱锥的题目时，一般要利用正棱锥的底面的中心与正 棱锥的高所在的直线构建空间直角坐标系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 五、利用底面正三角形构建空间直角坐标系 【例5】　如图，在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AB ＝ AA1＝2，点 P ， Q 分别为 A1 B1， BC 的中点. （1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值； （2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 建系方法　 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， 设 AC ， A1 C1的中点分别为 O ， O1，连接 OB ， OO1， 则 OB ⊥ OC ， OO1⊥ OC ， OO1⊥ OB ， 以 ， ， 为一组基， 建立空间直角坐标系 O - xyz . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　解决底面为正三角形的几何体建系时，一般将正三角形底边中线 和与底边中线垂直的直线作为空间直角坐标系的 x 轴， y 轴，再结合其 他条件确定 z 轴. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　　综上五类常见几何图形的建系特征，即从直接利用具有公共顶点 的三条棱构建空间直角坐标系，到利用线面垂直、面面垂直构建空间 直角坐标系，再到利用立体图形的对称性等构建空间直角坐标系，有 些题目可直接建立空间直角坐标系，而有些题目需先证明存在垂直关 系后，再建立空间直角坐标系.无论利用哪种关系建系，都应遵循与求 解问题相关的元素尽可能多的在坐标轴上或坐标平面上，这样便于计 算点的坐标（空间向量的坐标），减少计算量. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $