3.4.3 课时4 点到直线的距离课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 课时4 点到直线的距离 作者编号：、32200 经历点到直线距离公式的推导过程，会用公式解决空间内的距离问题. 学习目标 作者编号：、32200 回顾：如何求平面内直线l外一点P到直线l距离？请写出大致思路. 1.综合几何法：如图(1)，过点P作直线l的垂线，垂足为点D1，一般转化为求三角形的高，即PD1的长度. 2.解析几何法：如图(2)，确定点P的坐标及直线l的方程，利用点到直线的距离公式即可得点P到直线l的距离PD2的长度. 知识回顾 作者编号：、32200 3.平面法向量法：如图(3)，先求出直线l的单位法向量n0，再求向量 在法向量n0方向上的投影向量的长度 即可. 知识回顾 作者编号：、32200 问题1：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢? 事实上，在平面向量中就是这样做的. 按照前面的思路，若能求出垂线段PP'的方向向量，则可在直线l上任取一点A，求 在向量 方向上的投影向量的长度即可. 新知讲解 作者编号：、32200 然而在空间中，求垂线段的方向向量较为困难. 然后在Rt△PP'A中运用勾股定理求得|PP'|即可. 但直线l的方向向量已知，所以可先求出 在l0方向上的投影数量， 在Rt△PP'A中， 于是，点P到直线l的距离为 思考：除了这种方法，你还能怎样推导出点到直线的距离公式呢？ 新知讲解 作者编号：、32200 问题2：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，如何在直线l上找到一点Q，使得|PQ|最小? 因此只需求λ的值，使得|PQ|最小即可. 对于直线l上任意一点Q，总存在实数λ，使得 ∴ 是关于λ的二次函数. 新知讲解 作者编号：、32200 当 时， 最小， 最小值为 ∴点P到直线l的距离为 利用向量投影求解距离主要是运用距离的几何属性，而上述利用距离的最小性求解则主要是运用代数方法. 问题2：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，如何在直线l上找到一点Q，使得|PQ|最小? 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，则点P到直线l的距离为 注意：相互平行的两条直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 新知讲解 作者编号：、32200 例1:四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离． 解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． ∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(0，4，0)， ＝(0，－4，4)． ＝(－2，0，4)，＝(0，－4，4)， 新知讲解 作者编号：、32200 ∴·＝16， ∴在上的投影的长度为＝＝2. 所以点B到直线PD的距离为 d＝＝＝2. 例1:四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离． 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 利用公式d＝求点到直线的距离的步骤： 直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式． 新知讲解 作者编号：、32200 1.已知 ， ， ，则点 到直线 的距离为( @38@ ) A. B. C. D. 2.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点 P(4,3,2)到l的距离为____. 3.Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点 P到斜边AB的距离是____. A 3 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.点到直线的距离公式是什么？如何推导？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$