3.4.3 第一课时 空间中的角 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦“空间中的角”，通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，实现从向量法求角到复杂几何体度量问题的递进，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|异面直线、线面、二面角的直接计算|如1-4题，直接应用向量数量积公式，强化概念理解| |中档|正方体、四棱锥等几何体中角的综合计算|如5-10题，结合几何体性质建系，提升空间想象与运算能力| |拔高|折叠、参数讨论及探究性问题|如11-16题，涉及二面角参数求解、正四面体度量，发展逻辑推理与创新意识|

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第一课时　空间中的角 1.已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两平面所成的角为（　　） A.45°　　　　　　　　 B.135° C.45°或135° D.90° 2.已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2，4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为（　　） A.　 B.－　 C.　 D.－ 3.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞＝，则l与α所成的角为（　　） A. B. C. D. 4.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.（多选）已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则（　　） A.A1D与B1D1是异面直线 B.A1D与EF所成角的大小为45° C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为 D.二面角C-D1B1-B的余弦值为 6.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝2BC＝4，E，F分别为PD，AB的中点，则下列选项中正确的是（　　） A.直线PA与直线CD所成角的余弦值为 B.直线PA与直线CD所成角的余弦值为 C.直线PA与平面EFC所成角的正弦值为 D.直线PA与平面EFC所成角的正弦值为 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞＝　　　　. 8.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为　　　　. 9.已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成二面角的余弦值为　　　　. 10.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值. 11.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为（　　） A.150°　　　　　　　B.45° C.60° D.120° 12.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成角的大小为（　　） A.45° B.90° C.135° D.180° 13.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD＝4，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且∠PAD＝，O为底面ABCD的中心，E为PD的中点，F在棱PA上，若＝λ，λ∈[0，1]，则下列说法正确的有（　　） A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为 B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为 C.若二面角O-EF-D的正弦值为，则λ＝ D.若二面角O-EF-D的正弦值为，则λ＝ 14.已知棱长为2的正四面体ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，点O为点A在底面BCD上的射影，M为线段AB的中点，则M点的坐标为　　　　，直线DM与平面ABC所成角的正弦值为　　　　. 15.四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上. （1）求证：平面AEC⊥平面PDB； （2）当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小. 16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. （1）证明：A1C＝AC； （2）已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 第一课时　空间中的角 1.A　cos＜m，n＞＝＝＝，即＜m，n＞＝45°.所以两平面所成的角为45°. 2.A　∵＝（2，－2，－1），＝（－2，－3，－3），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直线AB，CD所成角的余弦值为. 3.C　线面角的范围是.∵＜a，n＞＝，∴l与法向量所在直线所成角为，∴l与α所成的角为. 4.B　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.于是＝（0，1，0），取PD的中点E，则E，∴＝（0，，），易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos＜，＞＝，∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为45°. 5.AD　对A：∵A1∈平面A1B1C1D1，D∉平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，A1∉B1D1，∴根据异面直线的定义可得A1D与B1D1是异面直线，故选项A正确；对B：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（1，0，1），D（0，0，0），E，F，B（1，1，0），A（1，0，0），C1（0，1，1），C（0，1，0），∴＝（－1，0，－1），＝，∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线A1D与EF所成的角为60°，故选项B错误；对C：∵＝，＝（0，1，0），又显然是平面B1EB的法向量，则cos＜，＞＝＝＝，∴A1F与平面B1EB所成角的正弦值为，故选项C错误；对D：由正方体性质可知，＝（－1，1，1）为平面CD1B1的法向量，＝（－1，1，0）为平面D1B1B的法向量，∴cos＜，＞＝＝＝，∴二面角C-D1B1-B的余弦值为，故选项D正确；故选A、D. 6.AD　设AD的中点为O，连接OC，OP.因为侧面PAD为等边三角形，所以OP⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.又因为OC⊂平面ABCD，所以OP⊥OC.由已知可得BC＝AO，BC∥AO，AB⊥AD，所以四边形ABCO是矩形，可得CO⊥AD，则OC，OD，OP两两垂直，以O为原点，分别以OC，OD，OP所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，2），A（0，－2，0），C（4，0，0），D（0，2，0），F（2，－2，0），E（0，1，）.设直线PA与直线CD所成角为α，因为＝（0，－2，－2），＝（－4，2，0），所以cos α＝＝＝，即直线PA与直线CD所成角的余弦值为，故选项A正确，选项B错误.设直线PA与平面EFC所成角为β，平面EFC的法向量为n＝（x，y，z），又＝（2，－3，－），＝（2，2，0），所以令x＝，得y＝－，z＝5，所以n＝（，－，5），又＝（0，－2，－2），所以sin β＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝，所以直线PA与平面EFC所成角的正弦值为，故选项C错误，选项D正确.故选A、D. 7.　解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2.则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1）.∴＝（2，－2，1），＝（2，2，－1）.cos＜，＞＝＝－.∴sin＜，＞＝. 8.　解析：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝a，＝（－a，0，a），可求得平面PBC的法向量为n＝，所以cos＜，n＞＝＝，设OD与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝. 9.　解析：如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1），平面AEF的法向量为n2＝（x，y，z）.所以A（1，0，0），E（1，1，），F（0，1，），所以＝，＝，则即取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝（1，－1，3）.所以cos＜n1，n2＞＝＝.所以平面AEF与平面ABC所成二面角的余弦值为. 10.解：以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则B（2，0，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4）， ∴＝（2，0，－4），＝（1，－1，－4）， ∴cos＜，＞＝＝， ∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. 11.C　如图所示，二面角的大小就是＜，＞.∵＝＋＋，∴＝＋＋＋2（·＋·＋·）＝＋＋＋2·，∴·＝[（2）2－62－42－82]＝－24.∴·＝24，cos＜，＞＝＝，又＜，＞∈（0°，180°），∴＜，＞＝60°，故二面角的大小为60°. 12.B　建立空间直角坐标系，如图所示.由题意知△ABE为等腰直角三角形.设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE＝.设BC＝DE＝2a，则E（0，0，0），A（1，0，1），N（1，a，0），D（0，2a，0），M（ ，a，），所以＝（ ，0，－），＝（－1，0，－1），所以·＝（ ，0，－）·（－1，0，－1）＝0，故⊥，从而MN与AE所成角的大小为90°. 13.BC　∵∠PAD＝，∴PA⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥平面ABCD，∵底面ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直.以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A（0，0，0），B（2，0，0），O（1，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），∴＝（1，2，－4），＝（0，4，0），∴｜cos＜，＞｜＝＝＝，即异面直线PO与AD所成角的余弦值为，故A错，B对.由题易得E（0，2，2），AB⊥平面PAD，取平面PAD的一个法向量m＝（1，0，0）.∵＝λ，λ∈[0，1]，PA＝4，∴FA＝4λ，∴F（0，0，4λ），设平面OEF的一个法向量为n＝（x，y，z），易知＝（－1，0，2），＝（1，2，－4λ），则即令x＝2，得y＝2λ－1，z＝1，此时n＝（2，2λ－1，1），若二面角O-EF-D的正弦值为，则｜cos＜m，n＞｜＝＝，而｜cos＜m，n＞｜＝＝， ∴＝，解得λ＝，故C对，D错.故选B、C. 14.（ －，－，）　 解析：如图所示，延长DO交BC于点E，则DE⊥BC，E为BC的中点，∵正四面体ABCD的棱长为2，∴BE＝1，DE＝，OE＝DE＝，OD＝DE＝，∴OA＝＝，∴B（ －1，－，0），A（ 0，0，）.∵M是AB的中点，∴M（ －，－，）.∵D（ 0，，0），C（1，－，0），∴＝（ －，－，），＝（2，0，0），＝（ 1，，）.设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则即设z＝1，可得n＝（0，－2，1），∴cos＜，n＞＝＝＝，∴直线DM与平面ABC所成角的正弦值是. 15.解：（1）证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 设AB＝a，PD＝h， 则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，h）， ∴＝（－a，a，0），＝（0，0，h），＝（a，a，0）， ∴·＝0，·＝0， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，DP，DB⊂平面PDB， ∴AC⊥平面PDB， 又AC⊂平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB. （2）当PD＝AB且E为PB的中点时， P（0，0，a），E， 设AC∩BD＝O，则O， 连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB， ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角， ∵＝，＝， ∴cos∠AEO＝＝， ∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成角的大小为45°. 16.解：（1）证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴A1C⊥BC， 又∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1， ∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC. （2）如图，连接A1B，由（1）易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝. 建立空间直角坐标系C-xyz如图所示，则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，，0），B1（－，，），C1（－，0，）， ∴＝（0，，0），＝（－，0，），＝（－2，，）， 设平面BCC1B1的法向量为n＝（x，y，z）， 则即取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝（1，0，1）. 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， 则sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝＝. ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $