3.4.3 第一课时 空间中的角 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中的角，系统讲解线线、线面、面面角的向量求法，通过迈克尔·杰克逊45度倾斜舞步情境导入，引出核心问题，再梳理向量公式与范围，为典型例题分析搭建知识支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，例题含高考题并总结通性通法，如基向量法求线线角步骤，强化数学思维与运算能力。助力学生提升直观想象与解题能力，教师可借结构清晰的内容高效开展教学。

第一课时　空间中的角 新课程标准解读 核心素养 能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问 题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数 学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈 克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一 样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔·杰克逊早在1993年就申 请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　45度到底指的是哪个角呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　向量法求直线与直线、直线与平面所成的角 角的分类 向量求法 范围 两条直线所 成的角 设两条直线所成的角为θ，两直线的方向 向量分别为 a ， b ，则 cos θ＝ ⁠ ＝ ⁠ ⁠ ⁠ ｜ cos ＜ a ， b ＞｜　 　 ［0， ］　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角的分类 向量求法 范围 直线与平面 所成的角 设直线 l 与平面α所成的角为θ， l 的方向向 量为 l ，平面α的法向量为 n ，则 sin θ ＝ ＝ ⁠ ⁠ ⁠ ｜ cos ＜ l ， n ＞｜　 　 ［0， ］　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　向量法求平面与平面的夹角（二面角） 两个平面所成二面角的平面角可以转化为这两个平面的法向量所成的 角，如图，向量 n1⊥α， n2⊥β，则二面角α- l -β的大小为＜ n1， n2＞或 π－＜ n1， n2＞，若二面角α- l -β的大小为θ（0≤θ≤π），则｜ cos θ｜＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知向量 m ， n 分别是直线 l 和平面α的方向向量、法向量，若 cos ＜ m ， n ＞＝－ ，则直线 l 与平面α所成的角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为 （0，－1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为（　　） 解析：　∵ ＝ ，∴这个二面角的余弦 值为 或－ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为 AB ， BC 的中 点，则直线 EF 与 AB1所成角的余弦值为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　连接 AC ， B1 C （图略），∵ E ， F 分别为 AB ， BC 的中 点，∴ EF ∥ AC ，∴∠ B1 AC 为直线 EF 与 AB1所成的角.在△ AB1 C 中，∵ AB1， AC ， B1 C 均为面对角线，∴ AB1＝ AC ＝ B1 C ，∴∠ B1 AC ＝ ，∴ cos ∠ B1 AC ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 两直线所成的角 【例1】　已知四面体 OABC 的各棱长均为1， D 是棱 OA 的中点，则 直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　 ＝ － ＝ － ， ＝ － ，于是｜ ｜＝ ，｜ ｜＝1，且 · ＝ ·（ － ）＝ － ，于是 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，故直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 基向量法求直线的夹角的一般步骤 （1）找基； （2）用同一组基表示两直线的方向向量； （3）利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值； （4）结合直线的夹角范围得到直线的夹角. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，已知 AB ＝2， CC1＝ ，则直 线 AB1与 BC1所成角的正弦值为（　　） A. 1 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　设线段 A1 B1， AB 的中点分别为 O ， D ，连接 OC1， OD ，则 OC1⊥平面 ABB1 A1，以 ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 则 A （－1，0， ）， B1（1，0，0）， B （1，0， ）， C1（0， ，0），所以 ＝（2，0，－ ）， ＝（－1， ，－ ），因为 · ＝（2，0，－ ）·（－1， ，－ ）＝0，所以 ⊥ ，即直线 AB1和 BC1所成的角为直角，则其正弦值为1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 直线与平面所成的角 【例2】　（2022·全国甲卷18题）在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥底面 ABCD ， CD ∥ AB ， AD ＝ DC ＝ CB ＝1， AB ＝2， DP ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）证明： BD ⊥ PA ； 解：证明：如图所示，取 AB 中点为 O ，连接 DO ， CO ，则 OB ＝ DC ＝1.又 DC ∥ OB ，所以四边形 DCBO 为平行四边形. 又 BC ＝ OB ＝1， 所以四边形 DCBO 为菱形，所以 BD ⊥ CO . 同理可得，四边形 DCOA 为菱形，所以 AD ∥ CO ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 所以 BD ⊥ AD . 因为 PD ⊥底面 ABCD ， BD ⊂底面 ABCD ， 所以 PD ⊥ BD ， 又 AD ∩ PD ＝ D ， AD ， PD ⊂平面 ADP ， 所以 BD ⊥平面 ADP . 因为 PA ⊂平面 ADP ，所以 BD ⊥ PA . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值. 解：由（1）知 BD ⊥ AD ，又 AB ＝2 AD ，所以∠ DAO ＝60°， 所以△ ADO 为正三角形. 过点 D 作垂直于 DC 的直线为 x 轴， DC 所在直 线为 y 轴， DP 所在直线为 z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则 A ， B ， P （0，0， ）， D （0，0，0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 则 ＝（0，2，0）， ＝ ， ＝（0，0， ）. 设平面 PAB 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 ⇒ 令 x ＝2，则 y ＝0， z ＝1，所以 n ＝（2，0，1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 设直线 PD 与平面 PAB 所成的角为α，则 sin α＝｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以直线 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求直线与平面所成角的思路与步骤 思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三 角形知识可求得夹角（或夹角的某一三角函数值）； 思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量. 利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量 ； ③求平面的法向量 n ； ④计算：设线面角为θ，则 sin θ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 为 BB1的中点. （1）求证： BC1∥平面 AD1 E ； 解：证明：在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1 中， AB 􀱀 DC ， D1 C1􀱀 DC ，∴ AB 􀱀 D1 C1， ∴四边形 ABC1 D1为平行四边形， BC1∥ AD1. 又 AD1⊂平面 AD1 E ， BC ⊄平面 AD1 E ， ∴ BC1∥平面 AD1 E . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求直线 AA1与平面 AD1 E 所成角的正弦值. 解：设正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长 为2，以 A 为原点， AD ， AB ， AA1所在直线 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系，则 A （0，0，0）， A1（0，0， 2）， D1（2，0，2）， E （0，2，1）， ＝（0，0，2）， ＝（2，0，2）， ＝ （0，2，1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 设平面 AD1 E 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 由 得 令 z ＝－2，则 x ＝2， y ＝1，∴ n ＝（2，1， －2）. 设直线 AA1与平面 AD1 E 所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 平面与平面的夹角（二面角） 【例3】　（2022·新高考Ⅰ卷19题）如图，直三棱柱 ABC - A1 B1 C1的体 积为4，△ A1 BC 的面积为2 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）求 A 到平面 A1 BC 的距离； 解：设点 A 到平面 A1 BC 的距离为 h ， 因为直三棱柱 ABC - A1 B1 C1的体积为4， 所以 ＝ S△ ABC × AA1＝ ＝ ， 又△ A1 BC 的面积为2 ， ＝ h ＝ ×2 h ＝ ， 所以 h ＝ ， 即点 A 到平面 A1 BC 的距离为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）设 D 为 A1 C 的中点， AA1＝ AB ，平面 A1 BC ⊥平面 ABB1 A1，求 二面角 A - BD - C 的正弦值. 解：取 A1 B 的中点 E ，连接 AE ，则 AE ⊥ A1 B ， 因为平面 A1 BC ⊥平面 ABB1 A1，平面 A1 BC ∩ 平面 ABB1 A1＝ A1 B ，所以 AE ⊥平面 A1 BC ， 所以 AE ⊥ BC ， 又 AA1⊥平面 ABC ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 所以 AA1⊥ BC ，因为 AA1∩ AE ＝ A ，所以 BC⊥平面 ABB1 A1，所以 BC ⊥ AB . 以 B 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x ， y ， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 B - xyz ， 由（1）知， AE ＝ ，所以 AA1＝ AB ＝2， A1 B ＝2 ， 因为△ A1 BC 的面积为2 ，所以2 ＝ × A1 B × BC ，所以 BC ＝2， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 所以 A （0，2，0）， B （0，0，0）， C （2，0，0）， A1（0，2，2）， D （1，1，1）， E （0，1，1）， 则 ＝（1，1，1）， ＝（0，2，0）， 设平面 ABD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 即 令 x ＝1，得 n ＝（1，0，－1）， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 又平面 BDC 的一个法向量为 ＝（0，－1，1）， 所以 cos ＜ ， n ＞＝ ＝ ＝－ ， 设二面角 A - BD - C 的平面角为θ， 则 sin θ＝ ＝ ， 所以二面角 A - BD - C 的正弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用法向量求二面角的大小的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； （3）求出两个法向量的夹角的余弦值； （4）若（3）中所得余弦值为0，则所求二面角为直二面角.若不为0， 则根据几何图形直观判断二面角是锐角还是钝角，从而确定其 余弦值的正负. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 （2021·新高考Ⅱ卷19题）在四棱锥 Q - ABCD 中，底面 ABCD 是 正方形，若 AD ＝2， QD ＝ QA ＝ ， QC ＝3. （1）证明：平面 QAD ⊥平面 ABCD ； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：证明：取 AD 的中点 E ，连接 QE ， CE ，∵ QD ＝ QA ＝ ，∴ QE ⊥ AD . ∵ AD ＝2，∴ DE ＝1，∴ QE ＝ ＝2， CE ＝ ＝ . ∴ QE2＋ CE2＝9＝ QC2，∴ QE ⊥ CE . 又∵ AD ∩ CE ＝ E ，∴ QE ⊥平面 ABCD . ∵ QE ⊂平面 QAD ， ∴平面 QAD ⊥平面 ABCD . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值. 解：取 BC 中点 F ，连接 EF ，易得 EF ， ED ， EQ 两两垂直， 如图，分别以 EF ， ED ， EQ 所在的直线为 x ， y ， z 轴建立空间 直角坐标系. 则 B （2，－1，0）， Q （0，0，2）， D （0，1，0），∴ ＝（－2，1， 2）， ＝（0，1，－2），设平面 BQD 的一个法向量 n1＝（ x ， y ， z ）， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 则 ⇒ 取 z ＝1， 可得 x ＝2， y ＝2， ∴ n1＝（2，2，1）. 易知平面 QDA 的一个法向量 n2＝（1，0，0）. 设二面角 B - QD - A 的平面角为θ，则θ为锐角. cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ ＝ ＝ .∴二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 ，则 l1与 l2所成 的角为（　　） 解析：　 l1与 l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面 直线所成角的范围为 ，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 如图，已知向量 m ， n 分别是平面α和平面β的法向量，若 cos ＜ m ， n ＞＝－ ，则二面角α- l -β＝（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　设二面角α- l -β为θ，且0°≤θ＜180°，由图可知， cos θ ＝ cos ＜ m ， n ＞＝－ ，∴θ＝120°. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是棱 A1 B1， A1 C1的中点， BC ＝ CA ＝ CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 （　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　如图所示，以 C 为原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y 轴，直线 CC1为 z 轴建立空间直角坐标系，设 CA ＝ CB ＝1，则 B （0，1，0）， M ， A （1，0，0）， N .故 ＝ ， ＝ ，所以 cos ＜ ， ＞ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 如图所示，点 A ， B ， C 分别在空间直角坐标系 Oxyz 的三条坐标轴 上， ＝（0，0，2），平面 ABC 的一个法向量为 n ＝（2，1， 2），二面角 C - AB - O 的大小为θ，则 cos θ＝ ⁠. 解析： cos θ＝ ＝ ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD）   解析：设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系 如图.则 D （0，0，0）， B （1，1，0）， B1（1， 1，1）.平面 ACD1的一个法向量为 ＝（1，1， 1）.又 ＝（0，0，1），则 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .设 BB1与平面 ACD1所成角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $