4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（3）点到平面的距离课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦于用向量方法求解点到平面的距离，从平面内点到直线距离的多种解法出发，自然过渡到空间中点到平面距离的向量表达，构建了由浅入深、由具体到抽象的学习支架，有效衔接了旧知与新知。 其亮点在于紧扣数学核心素养，通过几何直观与逻辑推理相结合的方式，引导学生理解距离的本质是垂直关系，进而提炼出“向量投影”这一关键工具。例如在单位正方体问题中，学生借助坐标系建立向量模型，计算单位法向量并应用公式$d = |\vec{PA} \cdot \vec{n_0}|$，既强化了运算能力又提升了空间观念。这种结构化的问题解决流程不仅帮助学生形成清晰的思维路径，也便于教师高效组织教学，提升课堂实效性。

4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（3）点到平面的距离 二、空间中的距离问题 几何学中,经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值,通常叫作这两个图形的距离. 空间中常见的距离有:两点间的距离、点到直线的距离,点到平面的距离,相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题,如何用向量方法求解这些距离呢? 解析几何方法:如图3-50(2),确定点P的坐标及直线的方程,利用点到直线的距离公式即可得点P到直线l的距离PD2的长度. 平面向量方法:如图3-50(3),先求出直线的单位法向量,再求向量PA在法向量方向上的投影向量的长度即可. 回顾平面内直线外一点P到直线l距离的几种求解方法.方法如下: 综合几何方法:如图3-50(1),过点P作直线的垂线,垂足为点D1,一般转化为求三角形的高,即 PD1的长度. 点到直线的距离就等于过这点向直线所引垂线段的长度;点到平面的距离就等于过这点向平面所作垂线段的长度;如果一条直线和一个平面平行,它们之间的距离就等于过这条直线上任意一点向该平面所作垂线段的长度;两个平行平面间的距离就等于这两个平面的垂线夹在两个平行平面间的线段的长度. 垂直反映了距离的本质.用向量方法求解距离,也要抓住这一点.无论是对于平面还是直线,法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式,因此可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离. 点到平面的距离 设点为平面外一点，求点到平面的距离？ 已知点为平面外一点，点A是平面内的已知点，是平面的单位法向量. 而，所以向量在法向量方向上的投影向量的长度就等于线段的长度. 过点作平面，垂足为点，则线段的长度就是点到平面的距离. 点到平面的距离 点到平面的距离，等于点与平面内任意一点连线所得向量，在平面的单位法向量方向上所作投影向量的长度，即 如下图，在空间直角坐标系中有单位正方体. （1）求证：是平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离. （1）证明 依据题意有 . 因为， 所以， 所以平面，即是平面的一个法向量. 如下图，在空间直角坐标系中有单位正方体. （1）求证：是平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离. （2）解：因为，平面单位法向量为 = 所以点到平面的距离为. 在单位正方体中，点是侧面的中心.判断直线与平面是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线到平面的距离；若不平行，请说明理由. 分析：平面截正方体得一个三角形，如图所示，点不在该三角形内，所以平面进一步研究二者的位置关系可以考虑平面的法向量与是否垂直. 在单位正方体中，点是侧面的中心.判断直线与平面是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线到平面的距离；若不平行，请说明理由. 解：以点D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 设是平面的一个法向量 在单位正方体中， . 所以 . 解：取，得，故设. 在单位正方体中，点是侧面的中心.判断直线与平面是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线到平面的距离；若不平行，请说明理由. 因为，所以 又 ，所以 因为，所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 已知向量，对任意的实数，当向量的长度最小时，求的值. 分析： 记向量.由平面向量基本定理可知，对任意的，向量都在，所确定的平面内，反之，平面内的任意向量都可以用来表示. 换句话说，当变化时，点是平面内的动点. 已知向量，对任意的实数，当向量的长度最小时，求的值. 解 如图，设，，要使向量的长度最小，也就是线段的长度最短. 由点到平面的距离的定义，当且仅当平面时，线段的长度最短. 所以当的长度最小时， 则由 得即解得 点到平面之间的距离问题步骤 化为向量问题 ①建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标 进行向量运算 ②应用距离的向量计算公式 回到图形问题 ③得到所求距离 1. 点到平面的距离，等于点与平面内任意一点连线所得向量，在平面的单位法向量方向上所作投影向量的长度，即. 2．点到平面之间的距离问题步骤：. 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标 ②应用距离的向量计算公式 ③得到所求距离 本课小结 作业：教材第138页练习第1-5题． $