3.4.3 第二课时 空间中的距离问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间距离与垂直关系，通过基础巩固、中档综合、提升探究三层设计，实现从概念理解到复杂应用的进阶，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点线面距离公式、法向量应用|单选/填空直接考查公式（如第1题中点距离），夯实运算基础| |中档|几何体中距离计算（正方体/棱柱）|结合直观图（如第8题长方体），强化空间几何直观与转化思想| |提升|存在性问题、外接球距离|解答题（如第16题展开图），渗透探究性思维与模型构建能力|

第二课时　空间中的距离问题 1.若O为坐标原点，＝（1，1，－2），＝（3，2，8），＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（　　） A.　　　　 　 B.2 C. D. 2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，上底面A1B1C1D1的中心为O，则点O到平面A1BD的距离是（　　） A.a B.a C.a D.a 3.在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝（0，2，－3），＝（－2，0，－3），＝（－，0，），则该三棱柱的高为（　　） A. B. C.2 D.4 4.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝1，BC＝1，AA'＝2，则点B到直线A'C的距离是（　　） A. B. C. D. 5.（多选）已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在平面α内，若点P（－2，1，z）到α的距离为，则z的值可以是（　　） A.－16 B.－4 C.4 D.16 6.（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点，则下列结论正确的是（　　） A.AC1与EF相交 B.B1C1∥平面DEF C.EF与AC1所成的角为90° D.点B1到平面DEF的距离为 7.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝（2，－2，1）.已知点P（－1，3，2），则点P到平面OAB的距离d＝　　　　. 8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为　　　　. 9.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为　　　　. 10.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点.试问：线段A1B（不包括端点）上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为？ 11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 12.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） A.5 B.8 C. D. 13.（多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是（　　） A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面ABC1D1的距离为 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 14.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为　　　　. 15.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离. 16.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，求四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离. 第二课时　空间中直线、平面的垂直 1.C　由题意a⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×（－2）＋m＝0，解得m＝10. 2.B　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝（－1，2，4）·（x，－1，－2）＝0，解得x＝－10. 3.C　由题意知＝（－1，－1，－1），＝（2，0，1），＝（x，－1，z），又PA⊥平面ABC，所以有·＝（－1，－1，－1）·（x，－1，z）＝0，得－x＋1－z＝0. ① ·＝（2，0，1）·（x，－1，z）＝0，得2x＋z＝0， ② 联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为（－1，0，2）. 4.C　如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，则D（0，0，0），A（3，0，0），C（0，3，0），A1（3，0，3），得E（1，0，1），F（2，1，0）.所以＝（－3，3，0），＝（3，0，3），＝（1，1，－1），因为·＝－3＋3＋0＝0，·＝3＋0－3＝0，所以⊥，⊥，所以EF⊥A1D，EF⊥AC.易得＝－3＝（－3，－3，3），所以EF与BD1平行. 5.AD　对于A，因为a·b＝2×（－2）＋（－2）×0＋（－1）×（－4）＝0，所以a⊥b，即l1⊥l2，故A正确；对于B，因为a·n＝5－1－4＝0，所以l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，因为a＝－n，所以l⊥α，故C错误；对于D，因为m·n＝6－8＋2＝0，所以α⊥β，故D正确.故选A、D. 6.BD　∵v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），∴v1∥v2⇔l1∥l2，故A错误；v1⊥v2⇔l1⊥l2，故B正确；∵n1，n2分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），∴n1∥n2⇔α∥β，故C错误；n1⊥n2⇔α⊥β，故D正确；故选B、D. 7.－5　解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5. 8.0或9　解析：∵A（－3，－2，1），B（－1，－1，－1），C（－5，x，0），∴＝（2，1，－2），＝（－4，x＋1，1），＝（－2，x＋2，－1），分三种情况：①A为直角，·＝0，∴－4＋x＋2＋2＝0，∴x＝0；②B为直角，·＝0，∴－8＋x＋1－2＝0，∴x＝9；③C为直角，·＝0，∴8＋（x＋1）（x＋2）－1＝0，x2＋3x＋9＝0，方程无解.综上，x的值为0或9. 9.（－2，4，1）或（2，－4，－1）　解析：由题意，得＝（－1，－1，2），＝（1，0，2）.设n＝（x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴ 即可得 ∵｜n｜＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 10.证明：如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 则A（1，0，0），C（0，0，1），B. ∵P为AC的中点，∴P（，0，）. ∴＝（－，，0）， 由已知，可得 ＝＝（－，，0）. 又＝＋＝， ∴＝－＝. ∵·＝0，∴⊥， 即PQ⊥OA. 11.B　建立如图空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B（1，0，0），E，P（0，0，a）.设F（0，y，0），则＝（－1，y，0），＝.因为BF⊥PE，即·＝（－1）×＋y＝0，解得y＝，即F是AD的中点，故＝1. 12.AC　以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a）.∴＝（－a，－a，a），＝（0，a，a），＝（－2a，2a，0）.∴·＝0，·＝0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直. 13.BC　建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以＝（1，0，－1），＝（0，1，－1），＝（0，1，0），＝（－1，0，0），从而有·＝0＋0＋1＝1，故A错误；·＝0，故B正确；·＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为向量＝（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由·n＝x－z＝0，·n＝y－z＝0，取y＝1，则x＝1，z＝1，故n＝（1，1，1），·n＝－1，故D错误. 14.1　解析：建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1（2，0，2），E（1，2，0），C1（0，0，2），F（2，2，1）.设M（x，y，z），＝m（0≤m≤1），则（x－2，y，z－2）＝m（－1，2，－2），可得x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，所以M（2－m，2m，2－2m），同理，设＝n（0≤n≤1），可得N（2n，2n，2－n），所以＝（m＋2n－2，2n－2m，2m－n），因为MN⊥平面ABCD.所以又＝（2，0，0），＝（0，2，0），所以解得即满足条件的直线MN只有1条. 15.证明：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB＝AA1＝， ∴OA＝OB＝OA1＝1， ∴A（1，0，0），B（0，1，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），A1（0，0，1）. 由＝，易得B1（－1，1，1）. ∵＝（－1，0，－1），＝（0，－2，0），＝（－1，0，1）， ∴·＝0，·＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B， ∴A1C⊥平面BB1D1D. 16.解：（1）AB∥平面DEF，理由如下： 在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB. 又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF， 所以AB∥平面DEF. （2）以点D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，，1）， 故＝（0，，1），＝（－2，2，0）. 假设在线段BC上存在点P（x，y，0），使得AP⊥DE， 则＝（x，y，－2），·＝y－2＝0，所以y＝. 又＝（x－2，y，0），＝（－x，2－y，0），∥， 所以（x－2）（2－y）＝－xy，所以x＋y＝2. 把y＝代入上式得x＝，即＝（－，，0），所以＝，所以在线段BC上存在点P，使得AP⊥DE，此时＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $