3.4.2 第一课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦立体几何平行关系的向量应用，通过基础巩固、中档提升、拔高拓展三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|向量共线与法向量概念|单选填空结合，强化运算（如题1-9）| |中档提升|线面平行判定与坐标运算|多选与中档证明，提升空间想象（如题10-12）| |拔高拓展|折叠与动态问题综合应用|综合解答与探究题，培养创新意识（如题13-16）|

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第一课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系 1.在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　） A.垂直　　　　　　　 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 2.已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝（　　） A.2 B.－4 C.4 D.－2 3.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的（　　） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 4.在空间直角坐标系O-xyz中，过点P（2，－3，5），且与向量d＝（－2，1，－2）平行的直线l交平面yOz于点Q，则点Q的坐标为（　　） A.（4，－4，7） B.（0，－2，3） C.（－3，－，0） D.（－4，0，－1） 5.（多选）直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若l⊄α，则能使l∥α的是（　　） A.a＝（1，3，5），n＝（1，0，1） B.a＝（1，0，1），n＝（0，－2，0） C.a＝（0，2，1），n＝（－1，0，1） D.a＝（1，－1，3），n＝（0，3，1） 6.（多选）已知α，β为两个不重合的平面，l为α上的一条直线，且其方向向量为（4，3，－2），若α∥β，则平面β的法向量可能为（　　） A.（0，2，3） B.（5，0，10） C.（－2，4，2） D.（1，－1，3） 7.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，3，z），向量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z＝　　　　. 8.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝（2，m，1），A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），则实数m的值是　　　　. 9.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝（2，2，4），若a＝（1，1，2），则直线l与平面α的位置关系为　　　　；若a＝（－1，－1，1），则直线l与平面α的位置关系为　　　　. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD.PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD，BC＝4，点M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB. 11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A.（1，1，1） B. C. D. 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，G，H分别为BB1，A1B1，B1C1，AA1，BC的中点，则（　　） A.DE∥平面ACM B.DF∥平面ACM C.DG∥平面ACM D.DH∥平面ACM 13.（多选）已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中错误的是（　　） A.若直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），直线m的一个方向向量为b＝（2，－2，4），则l∥m B.若直线l的方向向量为a＝（0，1，－1），平面α的法向量为n＝（1，－1，－1），则l∥α C.若平面α，β的法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则α∥β D.已知P（3，0，），Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，），则PQ∥RS 14.如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，E为AD的中点，现将四边形EBCD沿BE折起至四边形EBHG的位置，使得∠AEG＝90°.若点F满足＝λ，当EF∥平面AGH时，实数λ的值为　　　　. 15.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB∥平面EFG； （2）平面EFG∥平面PBC. 16.如图，四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形，平面α与直线AD，SA，SC分别交于点P，Q，R，且＝＝＝x，点M在直线SB上，N为CD的中点，且直线MN∥平面α.求证：对所有满足条件的平面α，点M都在某一条长为SB的线段上. 第一课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系 1.B　由题意得，＝（－3，－3，3），＝（1，1，－1），∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD. 2.C　因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4. 3.D　若m·n＝0，则l∥α或l⊂α；另一方面，若l∥α，则m·n＝0.因此，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件.故选D. 4.B　依题意，设Q（0，y，z），则＝（－2，y＋3，z－5）.由∥d知，存在λ∈R，使得＝λd，即（－2，y＋3，z－5）＝λ（－2，1，－2），所以－2＝－2λ，y＋3＝λ，z－5＝－2λ.联立解得y＝－2，z＝3，即Q（0，－2，3）. 5.BD　已知l⊄α，l∥α，则a·n＝0.A选项中，a·n＝1×1＋0×3＋1×5＝6≠0，A选项不满足条件；B选项中，a·n＝1×0＋0×（－2）＋1×0＝0，B选项满足条件；C选项中，a·n＝0×（－1）＋2×0＋1×1＝1≠0，C选项不满足条件；D选项中，a·n＝1×0＋（－1）×3＋1×3＝0，D选项满足条件.故选B、D. 6.ABC　（4，3，－2）·（0，2，3）＝0＋6－6＝0，（4，3，－2）·（5，0，10）＝20＋0－20＝0，（4，3，－2）·（－2，4，2）＝－8＋12－4＝0，（4，3，－2）·（1，－1，3）＝4－3－6＝－5.知A、B、C都有可能，D不可能.故选A、B、C. 7.3　解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴（1，3，z）·（3，－2，1）＝0，即3－6＋z＝0，z＝3. 8.－3　解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝（1，0，－1），＝（0，1，－1），∴（2，m，1）＝x（1，0，－1）＋y（0，1，－1）＝（x，y，－x－y），∴∴m＝－3. 9.l⊥α　l∥α或l⊂α　解析：当a＝（1，1，2）时，a＝n，则l⊥α；当a＝（－1，－1，1）时，a·n＝（－1，－1，1）·（2，2，4）＝0，则l∥α或l⊂α. 10.证明：因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AB. 又AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直. 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，4，0）. 因为点M为PC的中点，所以M（1，2，1），故＝（1，0，1）. 又＝（0，0，2），＝（2，0，0）， 所以＝＋. 所以，，为共面向量. 又DM⊄平面PAB， 所以DM∥平面PAB. 11.C　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），则即解得取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M（，，1）.故选C. 12.C　如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，2），C（2，2，2），M（2，0，1），E（1，0，0），F（2，1，0），G（0，0，1），H（2，1，2），D（0，2，2），所以＝（1，－2，－2），＝（2，－1，－2），＝（0，－2，－1），＝（2，－1，0），＝（2，2，0），＝（2，0，－1）.设平面ACM的法向量为n＝（x，y，z），则令x＝1，则y＝－1，z＝2，所以n＝（1，－1，2）.因为n·＝1×1＋（－1）×（－2）＋2×（－2）＝－1，n·＝1×2＋（－1）×（－1）＋2×（－2）＝－1，n·＝1×0＋（－1）×（－2）＋2×（－1）＝0，n·＝1×2＋（－1）×（－1）＋2×0＝3，所以n⊥.又DG⊄平面ACM，所以DG∥平面ACM，故C正确，A、B、D错误. 13.BC　对于A，由a∥b，∴l∥m，故A中说法正确；对于B，a·n＝0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）＝0，则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B中说法错误； 对于C，若n1＝λn2（λ≠0），则（0，1，3）＝λ（1，0，2），得此方程组无解，∴α∥β不成立，故C中说法错误；对于D，由已知＝（－3，2，），＝（－3，2，），∴＝，∵R∉PQ，∴PQ∥RS，故D中说法正确. 14.　解析：令菱形ABCD的边长为2，由题意可知折起后AE⊥GE，AE⊥BE，GE⊥BE. 以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A（1，0，0），B（0，，0），E（0，0，0），G（0，0，1），H（0，，2），所以＝（－1，0，0），＝（－1，，0），＝（－1，0，1），＝（－1，，2）.设平面AGH的法向量为n＝（x，y，z），则即取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝是平面AGH的一个法向量.由题知＝λ＝（－λ，λ，0），所以＝－＝（－λ，λ，0）－（－1，0，0）＝（1－λ，λ，0）.因为EF∥平面AGH，所以n·＝0，所以1－λ－×λ＝0，所以λ＝. 15.证明： （1）∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）. 法一　＝（0，1，0），＝（1，2，－1）， 设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z）， 则即令z＝1，则n＝（1，0，1）为平面EFG的一个法向量， ∵＝（2，0，－2），∴·n＝0，∴n⊥， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. 法二　＝（2，0，－2），＝（0，－1，0），＝（1，1，－1）. 设＝s＋t， 即（2，0，－2）＝s（0，－1，0）＋t（1，1，－1）， ∴解得s＝t＝2. ∴＝2＋2，又与不共线，∴，与共面. ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. （2）由（1）知＝（0，1，0），＝（0，2，0）， ∴＝2，∴BC∥EF. 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. 16.证明：设＝a，＝b，＝c，＝d，则由ABCD为平行四边形，得a＋c＝b＋d，则d＝a－b＋c. 因为＝＝＝x，所以＝xa，＝（1－x）c. 所以＝（1－x）a＋xd＝a－xb＋xc. ＝－＝（1－x）c－xa， ＝－＝（1－x）a－xb＋xc. 又MN∥α，所以存在λ，m∈R，使得＝λ＋m. 所以＝＋λ＋m＝（c＋d）＋λ[（1－x）c－xa]＋m[（1－x）a－xb＋xc]＝a－b＋[1＋λ（1－x）＋mx]c. 再者，点M在直线SB上的充要条件是＝yb（y∈R）， 于是得 消去λ，得m＝－. 而y＝－＝－＋， 即（4y＋1）x2－（4y＋3）x＋2y＋1＝0. 当y＝－时，x＝； 当y≠－时，由x∈R，得Δ＝（4y＋3）2－4（4y＋1）（2y＋1）≥0. 解得－≤y≤，且y≠－. 故对所有满足条件的平面α，点M都落在某一条长为SB的线段上. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $