课时作业25 空间中的距离问题（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十五)　空间中的距离问题 [基础达标练] 1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3　　　　　　　　　　　B．4 C．5 D．6 解析：选C　＝(0，4，－3)，＝(－4，9，－3)， ＝＝9， ||＝＝， BD＝ ＝＝5，故选C. 2．已知向量n＝(2，0，1)为平面α的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，－2)到α的距离为(　　) A． B． C．2 D． 解析：选A　∵＝(－2，0，3)，∴点P到平面α的距离为d＝＝＝. 3．若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A． B． C． D． 解析：选D　分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝＝. 4．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于(　　) A． B． C． D． 答案：D 5．已知过点P(1，0，0)的两条直线l1与l2，l1平行于向量s1＝(0，1，－1)，l2平行于向量s2＝(1，1，0)，则点P1 (0，1，0)到直线l1与l2确定的平面π的距离为________． 解析：设平面π的法向量n＝(x，y，z)， 由s1·n＝s2·n＝0得 取x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)， 又因为＝(－1，1，0)， 所以点P1到平面π的距离为 ＝＝. 答案： 6．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝， ＝(0，1，0)，＝(0，1，－1). 设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)， 则有 解得n＝， 则所求距离为＝＝. 答案： 7．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，求点P到斜边AB的距离． 解： 以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P， 所以＝(－4，3，0)，＝. 取斜边a＝＝，u＝＝， 则P到斜边AB的距离为d＝＝＝3. 8．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝＝＝. (2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0且n·＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝.因为N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|·n0|＝. [能力提升练] 9．(多选)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长度为(　　) A.a B．a C．2a D．2a 解析：选AC　因为CF⊥平面B1DF， 所以CF⊥DF.在矩形ACC1A1中， 设AF＝m，CD2＝DF2＋CF2＝CC＋DC＝10a2，① CF2＝4a2＋m2，DF2＝(3a－m)2＋a2，② 联立①②解得m＝a或m＝2a，则AF的长度为a或2a，故选AC. 10．在三棱锥BACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，则点D到平面ABC的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选D　 如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于点M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 则A，B， C，D， 所以＝，＝，＝， 设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则 所以y＝－x，z＝－x， 可取n＝(－，1，3)， 代入d＝，得d＝＝， 即点D到平面ABC的距离是.故选D. 11．如下图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值为________． 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2). 根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]， 点Q的坐标为(1－μ，μ，0)， μ∈[0，1]， 则PQ＝ ＝ ＝ ， 当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值. 答案： 12． 如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________． 解析： 由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)， 则即 ∴可取n＝(1，0，1)， 又＝(2，0，0)，AD∥平面PBC， ∴所求距离为＝. 答案： 13．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，AEC1F为平行四边形． (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z). 因为四边形AEC1F为平行四边形， 所以由＝得， (－2，0，z)＝(－2，0，2)， 所以z＝2.所以F(0，0，2). 所以＝(－2，－4，2). 于是||＝2，即BF的长为2. (2)设n1为平面AEC1F的法向量， 显然n1不垂直于平面ADF， 故可设n1＝(x，y，1)， 所以 所以 即所以 得n1＝. 又＝(0，0，3)， 所以C到平面AEC1F的距离 d＝＝＝. [素养拓展练] 14．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱 PA⊥底面ABCD ，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求直线AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内是否存在一点N，使NE⊥平面PAC？若存在，分别求出点N到AB和AP的距离．若不存在，说明理由． 解： (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E， 从而＝(，1，0)，＝(，0，－2). 设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴AC与PB所成的角的余弦值为. (2)假设存在，依题意可设N点坐标为(x，0，z)(x∈[0，]，z∈[0，2])，则＝， 由NE⊥平面PAC可得 即 化简得 ∴符合题意． 故存在N点的坐标为，从而N点到AB，AP的距离分别为1，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$