3.2.1-3.2.2 第二课时 空间向量的数量积 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习围绕空间向量数量积，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，构建从概念理解到几何应用的递进路径，培养数学抽象、运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（1-5题）|数量积定义、运算律、异面直线夹角|单选聚焦概念辨析，如第1题结合方向向量夹角考查定义理解| |中档（6-10题）|投影向量、几何模型（正方体、平行六面体）|填空与多选题综合运算，如第8题利用向量模长公式解决平行六面体棱长问题| |提升（11-16题）|复杂几何情境（三棱锥、空间四边形）|解答题强化逻辑推理，如第15题通过向量表示与数量积计算深化空间观念|

第二课时　空间向量的数量积 1.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为（　　） A.30°　　　　　　　　　 B.60° C.120° D.150° 2.已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为（　　） A.－6 B.6 C.3 D.－3 3.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝，且a与2b－a互相垂直，则a在b方向上的投影数量为（　　） A. B.－ C. D.－ 4.设正四面体A-BCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则·＝（　　） A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 5.若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中成立的是（　　） A.｜a＋b｜＝｜b－a｜ B.（a＋b）·c＝a·（b＋c） C.λ（a＋b）＝λa＋λb D.b＝λa 6.（多选）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有（　　） A.·＝a2 B.·＝a2 C.·＝a2 D.·＝a2 7.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则＜，＞＝　　　，＜，＞＝　　　　. 8.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则｜｜＝　　　　. 9.已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，则a在b上的投影向量为　　　　，b在a上的投影向量为　　　　. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： （1）·； （2）·. 11.如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·＝（　　） A.0　　 　B.1　 　　C.2　 　　D.3 12.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 13.（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（　　） A.AC1＝6 B.AC1⊥BD C.向量与的夹角是60° D.向量与所成角的余弦值为 14.如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，10）是正方体其余的10个顶点，则·（i＝1，2，…，10）的不同值的个数为　　　　. 15.如图，在空间四边形OABC中，2＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c. （1）试用向量a，b，c表示向量； （2）若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值. 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，求·的最大值（用a，b，c，r及∠BAC的代数式表示）. 第二课时　空间向量的数量积 1.B　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 2.B　由m⊥n，得m·n＝0，∴（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝0.∴2k－12＝0.∴k＝6. 3.A　根据a与2b－a互相垂直，得a·（2b－a）＝0，即2a·b＝｜a｜2＝4，解得a·b＝2，∴cos＜a，b＞＝＝＝，∴＜a，b＞＝，∴a在b方向上投影数量为｜a｜cos＜a，b＞＝2×＝. 4.A　由题意，作出正四面体A-BCD，如图所示.因为E，F分别是BC，AD的中点，所以＝（＋），＝.又因为正四面体A-BCD的棱长都为a，所以＜，＞＝＜，＞＝60°，故·＝（＋）·＝（·＋·）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°）＝a2.故选A. 5.C　由向量加法的平行四边形法则，只有a⊥b，即a·b＝0时，有｜a＋b｜＝｜b－a｜，A不成立；由数量积的运算律有（a＋b）·c＝a·c＋b·c，a·（b＋c）＝a·b＋a·c，a·b与b·c不一定相等，B不成立；由向量数乘法则，C一定成立；只有a，b共线且a≠0时，才存在λ，使得b＝λa，D不成立.故选C. 6.AC　连接A1D（图略），则·＝·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝a×a×cos 60°＝a2，A正确.·＝·（＋＋）＝＋·＋·＝a2，故B错误.·＝·＝·（＋＋）＝（＋·＋·）＝＝｜｜2＝a2，C正确.·＝·（－）＝·－·＝－a2，D错误. 7.0°　90°　解析：由题意得，方向相同，是在同一条直线AC上，故＜，＞＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜，＞＝90°. 8.2　解析：设＝a，＝b，＝c，∴｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，＜a，b＞＝＜a，c＞＝＜c，b＞＝60°，∴a2＝b2＝c2＝4，a·b＝b·c＝c·a＝2×2cos 60°＝2.∴｜｜2＝｜a＋b＋c｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＋｜c｜2＋2a·b＋2a·c＋2c·b＝24，∴｜｜＝2. 9.－b　－a　解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为，，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a在b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞＝＝－b，b在a上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞＝＝－a. 10.解：如图，设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜c｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. （1）·＝·（＋）＝b·［（c－a）＋b］＝｜b｜2＝42＝16. （2）·＝（＋）·（＋）＝·（a＋c）＝｜c｜2－｜a｜2＝22－22＝0. 11.A　∵·＝（＋）·（－）＝（－＋－）·（－）＝（－2＋）·（－）＝·－－·＋·＋－·，由题意知·＝0，·＝0，·＝0，｜｜＝｜｜，∴·＝0. 12.B　∵＝－，＝－，∴·＝（－）·（－）＝·－·－·＋｜｜2＝｜｜2＞0，∴cos ∠CBD＝cos＜，＞＝＝＞0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形. 13.ACD　对于A，＝＋＋＝＋＋，∴＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 60°＝216，所以｜｜＝＝6，选项A错误；对于B，·＝（＋＋）·（－）＝·＋＋·－－·－·＝6×6×cos 60°＋36＋6×6×cos 60°－36－6×6×cos 60°－6×6×cos 60°＝0，所以·＝0，即AC1⊥BD，选项B正确；对于C，向量与的夹角是180°－60°＝120°，所以向量与的夹角也是120°，选项C错误；对于D，＝＋－，＝＋，｜｜2＝（＋－）2，所以｜｜＝＝6，同理，可得｜｜＝6，又·＝（＋－）·（＋）＝18＋18－36＋36＋18－18＝36，所以cos＜，＞＝＝＝，选项D错误.故选A、C、D. 14.2　解析：当i＝1，2，3，4，5时，⊥，故·＝0，当i＝6，7，8，9，10时，＝＋，∴·＝·（＋）＝＋·，∵⊥，∴·＝0，∴·＝1，∴·（i＝1，2，…，10）的不同值的个数为2. 15.解：（1）∵2＝， ∴＝＝（－）＝（c－b）， 故＝＋＝b＋（c－b）＝b＋c， ∵点E为AD的中点，故＝（＋）＝a＋b＋c. （2）由题意得a·c＝，a·b＝3，c·b＝3，＝c－a. 故·＝·（c－a）＝－a2＋c2＋a·c＋b·c－b·a＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－. 16.解：∵＝－，＝－＝－－，∴·＝（－）·（－－）＝（－·）＋·－＋·＝·－r2＋·（－）＝·－r2＋·＝｜｜｜｜cos∠BAC－r2＋·＝bc·cos∠BAC－r2＋·.当与同向时，·取最大值，为｜｜｜｜＝ra，即当与共线且同向时，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $