3.4.2 第二课时 空间中直线、平面的垂直 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面的垂直关系，涵盖向量表示及三垂线定理。通过旗杆垂直地面的情境导入，以问题驱动衔接向量语言表述与证明方法，构建从具体实例到抽象理论的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象与逻辑推理，如用向量坐标运算证明线面垂直（例1）、三垂线定理应用（例2正方体中证线面垂直），设探索性问题（例3存在性分析）。通性通法总结助学生掌握证明思路，自我诊断与随堂检测便于教师反馈，提升学生直观想象与推理能力，教师教学更具针对性。

第二课时　空间中直线、平面的垂直 新课程标准解读 核心素养 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直关系 数学抽象、直观 想象 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直 关系 逻辑推理、直观 想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【问题】　如何证明旗杆与地面垂直？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　空间垂直关系的向量表示 设向量 l ， m 分别是直线 l ， m 的方向向量， n1， n2分别是平面α，β的 法向量，则 （1） l ⊥ m ⇔ ⁠； （2） l ⊥α⇔ ⁠； （3）α⊥β⇔ ⁠. l ⊥ m 　 l ∥ n1　 n1⊥ n2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　三垂线定理及其逆定理 1. 三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直， 则它也和这条斜线垂直. 2. 三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜 线在这个平面内的投影垂直. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 若直线 l 的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那 么 l 与α垂直吗？ 提示：垂直. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. （多选）下列命题中，正确的命题为（　　） A. 若 n1， n2分别是平面α，β的法向量，则 n1∥ n2⇔α∥β B. 若 n1， n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔ n1· n2＝0 C. 若 n 是平面α的法向量， a 是直线 l 的方向向量，若 l 与平面α垂直， 则 n ∥ a D. 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直 解析：　A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向 量的概念，可知B、C、D正确. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 若直线 l 的方向向量 a ＝（1，0，2），平面α的法向量为 n ＝（－ 2，0，－4），则（　　） A. l ∥α B. l ⊥α C. l ⊂α D. l 与α斜交 解析：　∵ n ＝－2 a ，∴ a ∥ n ，即 l ⊥α. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD）   解析：由题意知， a ⊥ b ，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－ . 4. 平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为 u ＝（－1，0， 5）， v ＝（ t ，5，1），则 t 的值为 ⁠. 解析：∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量 u 与平面β的法向量 v 垂直，∴ u · v ＝0，即－1× t ＋0×5＋5×1＝0，解得 t ＝5. －1或－ 　 5　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用空间向量证明垂直问题 【例1】　如图所示，在四棱锥 E - ABCD 中，平面 ABE ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为2的正方形， AE ＝ EB ， F 为 CE 上的 点，且 BF ⊥平面 ACE . 求证： 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ BC ⊥ AB . ∵平面 ABE ⊥平面 ABCD ， ∴ BC ⊥平面 ABE . 如图，取线段 AB 的中点 O ，连 接 OE . ∵ AE ＝ EB ，∴ OE ⊥ AB . 以 O 为原点， OE 所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴，过 O 点且平 行于 BC 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz ， 则 O （0，0，0）， A （0，－1，0）， B （0，1， 0）， C （0，1，2）， D （0，－1，2）. （1） AE ⊥平面 BCE ； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 设 E （ x0，0，0）（ x0＞0），∵ F 为 CE 上的点， ＝（－ x0，1，2），∴设 ＝λ ＝（－λ x0，λ，2λ）（0≤λ≤1），∴ F （（1－λ） x0，λ，2λ），∴ ＝（（1－λ） x0，λ－1，2λ）. 又 ＝（0，2，2）， ＝（ x0，1，0）， BF ⊥ 平面 ACE ，∴ · ＝2（λ－1）＋4λ＝0，且 · ＝（1－λ） ＋λ－1＝0，解得λ＝ ， x0＝ 1，∴ E （1，0，0）， F （ ， ， ）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∵ ＝（1，1，0）， ＝（1，－1，0）， ∴ · ＝0，∴ AE ⊥ BE . ∵ BC ⊥平面 ABE ， ∴ BC ⊥ AE . 又 BC ∩ BE ＝ B ， BC ⊂平面 BCE ， BE ⊂ 平面 BCE ，∴ AE ⊥平面 BCE . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：由题意可知，平面 ABCD 的一个法向量为 ＝（1，0，0），设平面 BDF 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ）， ＝（ ，－ ， ）， ＝（0，－2，2），则 m ⊥ ， m ⊥ ，即 m · ＝ x － y ＋ z ＝0， m · ＝－2 y ＋2 z ＝0，取 z ＝1，则 y ＝1， x ＝0， ∴ m ＝（0，1，1）. 又 m · ＝0，∴平面 BDF ⊥平面 ABCD . （2）平面 BDF ⊥平面 ABCD . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 用空间向量证明垂直的方法 （1）线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数 量积为零； （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线 面垂直的判定定理用向量表示； （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定 定理用向量表示. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知正三棱柱 ABC - A1 B1 C1的各棱长都为1， M 是底面上 BC 边的 中点， N 是侧棱 CC1上的点，且 CN ＝ CC1.求证： AB1⊥ MN . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：设 AB 的中点为 O ，作 OO1∥ AA1.以 O 为坐标原点， OB 所 在直线为 x 轴， OC 所在直线为 y 轴， OO1所在直线为 z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系 Oxyz . 由已知得 A ， B （ ，0，0）， C ， N ， B1 ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∵ M 为 BC 的中点，∴ M . ∴ ＝ ， ＝（1，0，1）， ∴ · ＝－ ＋0＋ ＝0.∴ ⊥ ， ∴ AB1⊥ MN . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 三垂线定理及逆定理的应用 【例2】　如图，已知在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，连接 BD1， AC ， CB1， B1 A ，求证： BD1⊥平面 AB1 C . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：连接 BD ， A1 B ，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD . 又 DD1⊥平面 ABCD ， ∴ BD 是斜线 BD1在平面 ABCD 上的射影， ∴ BD1⊥ AC ，同理 A1 B 是 BD1在平面 ABB1 A1内的射影， ∴ BD1⊥ AB1，又 AB1∩ AC ＝ A ，∴ BD1⊥平面 AB1 C . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用三垂线定理证明垂直的步骤 （1）找平面（基准面）及平面的垂线； （2）找射影线（平面上的直线与斜线）； （3）证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面 垂直或面面垂直. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 在四面体 PABC 中， PA ⊥ BC ， PB ⊥ AC ，求证： PC ⊥ AB . 证明：过 P 作 PH ⊥平面 ABC ，垂足为 H ， 连接 AH 并延长交 BC 于 E ， 连接 BH 并延长交 AC 于 F ， PH ⊥平面 ABC ， PA ⊥ BC ， 而 PA 在平面 ABC 内的射影为 AH ，由三垂 线定理的逆定理知 BC ⊥ AH ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 同理可证 BF ⊥ AC . 则 H 为△ ABC 的垂心， 连接 CH 并延长交 AB 于 G ， 于是 CG ⊥ AB ，而 CH 是 PC 在平面 ABC 的 射影，故 PC ⊥ AB . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 利用空间向量解决位置关系中的探索性问题 【例3】　如图，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1.在 BC ， DD1上是 否分别存在点 E ， F ，使 B1 E ⊥平面 ABF ，若存在，请证明你的结 论，并求出点 E ， F 满足的条件；若不存在，请说明理由. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：如图，建立空间直角坐标系 D1- xyz ， 则 A （1，0，1）， B1（1，1，0）， B （1，1，1）， 设 F （0，0， h ）， E （ m ，1，1），则 ＝（0， 1，0）， ＝（ m －1，0，1）， ＝（1，0，1－ h ），若 B1 E ⊥平面 ABF ，则 · ＝0，∴ h ＝ m ，即 E ， F 满足 D1 F ＝ CE 时， B1 E ⊥平面 ABF . 即 存在点 E ， F ，使 B1 E ⊥平面 ABF . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 解决立体几何中探索性问题的基本方法 （1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前 提下进行逻辑推理； （2）探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为（ x ， y ， z ）；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如 Oxy 面上的点为 （ x ， y ，0）；③坐标轴上的点两个坐标为0，如 z 轴上的点为 （0，0， z ）；④直线（线段） AB 上的点 P ，可设为 ＝λ ，表示出点 P 的坐标，或直接利用向量运算. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方 形， PD ＝ DC ， E ， F 分别是 AB ， PB 的中点. （1）求证： EF ⊥ CD ； 解：证明：由题意知， DA ， DC ， DP 两两垂直. 如图，以 DA ， DC ， DP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空 间直角坐标系，设 AD ＝ a ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 则 D （0，0，0）， A （ a ，0，0）， B （ a ， a ，0）， C （0， a ，0）， E ， P （0，0， a ）， F ， ＝（ － ，0， ）， ＝（0， a ，0）， 因为 · ＝0，所以 ⊥ ，从而得 EF ⊥ CD . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）在平面 PAD 内是否存在一点 G ，使 GF ⊥平面 PCB ？若存在，求 出点 G 坐标；若不存在，试说明理由. 解：存在.理由如下：假设存在满足条件的点 G ， 设 G （ x ，0， z ），则 ＝（ x － ，－ ， z － ）， 若使 GF ⊥平面 PCB ，则由 · ＝（ x － ，－ ， z － ）·（ a ，0，0）＝ a ＝ 0，得 x ＝ ； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 由 · ＝（ x － ，－ ， z － ）·（0，－ a ， a ）＝ ＋ a ＝0，得 z ＝0，所以 G 点坐标为 ， 故存在满足条件的点 G ，且点 G 为 AD 的中点. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 若平面α，β的法向量分别为 a ＝（2，－1，0）， b ＝（－1，－2， 0），则α与β的位置关系是（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 解析：　 a · b ＝－2＋2＋0＝0，∴ a ⊥ b ，∴α⊥β. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点 E 是棱 AB 的中 点，点 F （0， y ， z ）是正方体的面 AA1 D1 D 上一点，且 CF ⊥ B1 E ，则点 F （0， y ， z ）满足方程（　　） A. y － z ＝0 B. 2 y － z －1＝0 C. 2 y － z －2＝0 D. z －1＝0 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析： 　 E （1，0，0）， B1（2，0，2）， C （2，2，0），所以 ＝（－1，0，－2）， ＝（－2， y －2， z ），因为 CF ⊥ B1 E ，所以 · ＝0，即2－2 z ＝0，即 z ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）下列命题是真命题的有（　　） B. 直线 l 的方向向量为 a ＝（0，1，－1），平面α的法向量为 n ＝ （1，－1，－1），则 l ⊥α C. 平面α，β的法向量分别为 n1＝（0，1，3）， n2＝（1，0，2），则 α∥β D. 平面α经过三点 A （1，0，－1）， B （0，1，0）， C （－1，2， 0），向量 n ＝（1， u ， t ）是平面α的法向量，则 u ＋ t ＝1 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析： 　∵ a ＝（1，－1，2）， b ＝ ，∴ a · b ＝1×2 －1×1＋2× ＝0，则 a ⊥ b ，∴直线 l 与 m 垂直，故A正确； a ＝（0，1，－1）， n ＝（1，－1，－1），则 a · n ＝0×1＋1×（－ 1）＋（－1）×（－1）＝0，则 a ⊥ n ，∴ l ∥α或 l ⊂α，故B错误； ∵ n1＝（0，1，3）， n2＝（1，0，2），∴ n1与 n2不共线，∴α∥β 不成立，故C错误；∵点 A （1，0，－1）， B （0，1，0）， C （－ 1，2，0），∴ ＝（－1，1，1）， ＝（－1，1，0）.∵向量 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） n ＝（1， u ， t ）是平面α的法向量，∴ 即 解得 u ＋ t ＝1，故D正确. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝2， AA1＝ ， AD ＝2 ， P 为 C1 D1的中点， M 为 BC 的中点，则 AM 与 PM 的位置关系 是 . ⁠ PM ⊥ AM 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：以 D 为原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ， 依题意可得， D （0，0，0）， P （0，1， ）， A （2 ，0， 0）， M （ ，2，0），所以 ＝（ ，2，0）－（0，1， ）＝（ ，1，－ ）， ＝（ ，2，0）－（2 ，0， 0）＝（－ ，2，0），所以 · ＝（ ，1，－ ）·（－ ，2，0）＝0，所以 PM ⊥ AM . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $