2.4 培优课 圆锥曲线的综合问题 第二课时 定点、定值及探索性问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆锥曲线中的定点、定值及探索性问题，通过椭圆、抛物线、双曲线的典型例题导入，从具体问题求解到通性通法总结，构建从特殊到一般的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其特色在于每个题型配套“通性通法”提炼，如定点问题的参数法与特殊值法，结合数学思维中的推理能力和模型观念。通过例1用韦达定理推导定点、例2用距离公式证明定值等实例，培养学生用数学语言表达推导过程的能力。学生能掌握解题思路提升核心素养，教师可借助系统资源提高教学效率。

第二课时　 定点、定值及探索性问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 定点问题 【例1】　已知点 P 是椭圆 C ： ＋ ＝1上一点，设直线 l 不经过点 P 且与椭圆 C 相交于 A ， B 两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率 之和为1，问：直线 l 是否过定点？证明你的结论. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：当直线 l 的斜率不存在时，设 A （ x1， y1）， B （ x1，－ y1），直 线 PA 与直线 PB 的斜率分别为 k1， k2， 则 k1＋ k2＝ ＝1，解得 x1＝－4，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 由整理得（3＋4 k2） x2＋8 kmx ＋4 m2－12＝0， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） Δ＝48（4 k2－ m2＋3）＞0. x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ， 由 k1＋ k2＝1，整理得（2 k －1） x1 x2＋（ k ＋ m － ）（ x1＋ x2）＋2 m －4＝0， 即（ m －4 k ）（2 m －2 k －3）＝0. 当 m ＝ k ＋ 时，直线 l 过点 P ，不符合题意； 当 m ＝4 k 时，Δ＝48（4 k2－ m2＋3）＞0有解，此时直线 l ： y ＝ k （ x ＋4）过定点（－4，0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化 量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； （2）特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证 明该定点与变量无关. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知抛物线 y2＝－8 x 的顶点为 O ，点 A ， B 在抛物线上，且 OA ⊥ OB ，求证：直线 AB 经过一个定点. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：设直线 OA 的斜率为 k ，则直线 OB 的斜率为－ ，直线 OA 的方程为 y ＝ kx ， 由得 A ， 同理可得 B （－8 k2，8 k ），于是直线 AB 的方程为 y －8 k ＝ ·（ x ＋8 k2），整理可得 y ＝ （ x ＋8），因此直线 AB 经过定点（－8，0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 定值问题 【例2】　在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2 x2－ y2＝1.设 椭圆 C2：4 x2＋ y2＝1.若 M ， N 分别是 C1， C2上的动点，且 OM ⊥ ON ，求证：点 O 到直线 MN 的距离是定值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：当直线 ON 垂直于 x 轴时，｜ ON ｜＝1，｜ OM ｜＝ ，则点 O 到直线 MN 的距离为 ， 当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 y ＝ kx ，则直线 OM 的方程为 y ＝－ x ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 由得所以｜ ON ｜2＝ ， 同理｜ OM ｜2＝ ， 设点 O 到直线 MN 的距离为 d ，因为（｜ OM ｜2＋｜ ON ｜2） d2＝｜ OM ｜2｜ ON ｜2， 所以 ＝ ＋ ＝ ＝3，即 d ＝ . 综上，点 O 到直线 MN 的距离是定值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定 值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题， 证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值 的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定 值显现. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知椭圆 C ： ＋ y2＝1的上顶点 A 与左、右焦点 F1， F2，若直线 l 与椭圆 C 相切，求证：点 F1， F2到直线 l 的距离之积为定值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x ＝± ， 点 F1， F2到直线 l 的距离之积为（ －1）×（ ＋1）＝1. ②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y ＝ kx ＋ m ， 联立得（1＋2 k2） x2＋4 kmx ＋2 m2－2＝0， Δ＝（4 km ）2－4（1＋2 k2）（2 m2－2）＝－8（ m2－2 k2－1）＝0， ∴ m2＝1＋2 k2， 点 F1到直线 l ： y ＝ kx ＋ m 的距离 d1＝ ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 点 F2到直线 l ： y ＝ kx ＋ m 的距离 d2＝ . ∴ d1 d2＝ · ＝ ＝ ＝1. 综上，可知当直线 l 与椭圆 C 相切时，点 F1， F2到直线 l 的距离之积为 定值1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 探索性问题 【例3】　已知 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）是抛物线 C ： x2＝2 py （ p ＞0）上不同的两点，直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴的正半轴交于点 Q ，且 y1 y2＝ ，是否存在直线 AB ，使得 ＋ ＝ ？若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题意知，直线 AB 的斜率存在，且不为零， 设直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0， b ＞0）， 由得 x2－2 pkx －2 pb ＝0， ∴ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∴ y1 y2＝ · ＝ ＝ b2， ∵ y1 y2＝ ，∴ b2＝ ，∵ b ＞0，∴ b ＝ . ∴直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ . 假设存在直线 AB ，使得 ＋ ＝ ， 即 ＋ ＝3. 作AA'⊥ x 轴，BB'⊥ x 轴，垂足分别为A'，B'，设坐标原点为 O ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ · ， ∵ y1＋ y2＝ k （ x1＋ x2）＋ p ＝2 pk2＋ p ， y1 y2＝ ， ∴ ＋ ＝ · ＝4 k2＋2＝3，得 k ＝± . 故存在直线 AB ，使得 ＋ ＝ ，直线 AB 的方程为 y ＝± x ＋ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先 假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若 探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往 往涉及对参数的讨论. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　已知椭圆 E ： ＋ y2＝1和圆 F ：（ x － ）2＋ y2＝ ，若直线 l ： y ＝ k （ x － ）（ k ＞0）与圆 F 交于 A ， B 两点，与椭圆 E 交于 C ， D 两点，其中 A ， C 在第一象限，是否存在 k 使｜ AC ｜＝｜ BD ｜？ 若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：不存在满足题意的 k ，理由如下： 由 A ， B 在圆上得｜ AF ｜＝｜ BF ｜＝｜ PF ｜＝ . 设点 C （ x1， y1）， D （ x2， y2）. ｜ CF ｜＝ ＝2－ x1， 同理｜ DF ｜＝2－ x2. 若｜ AC ｜＝｜ BD ｜，则｜ AC ｜＋｜ BC ｜＝｜ BD ｜＋｜ BC ｜，即｜ AB ｜＝｜ CD ｜＝1，4－ （ x1＋ x2）＝1， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 由得（4 k2＋1） x2－8 k2 x ＋ 12 k2－4＝0， ∴ x1＋ x2＝ ，∴4－ ＝1， 得12 k2＝12 k2＋3，无解，故不存在. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $