3.3.1 空间向量基本定理 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过基础认知、技能应用、综合提升三层设计，实现从概念辨析到几何体向量表示再到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|基底条件、向量共面判断|以选择填空为主，直接考查概念（如第1题基底的必要不充分条件）| |技能应用层|复杂几何体向量分解、模长计算|结合三棱柱、正方体情境（如第3题向量表示），强化空间观念| |综合提升层|几何模型综合应用、最值问题|解答题整合推理与运算（如第16题线段比例与最值），发展推理能力|

3.1　空间向量基本定理 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间一组基的是（　　） A.　　　　　　　 B. C. D.或 3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是（　　） A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.－a－b＋c D.a－b＋c 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点.若＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a－b＋c B.a－b－c C.a－b＋c D.a－b＋c 5.（多选）若{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组也可以作为空间一组基的是（　　） A.a＋c，b，a－c B.a＋b，b，a－b C.a－b，b－c，c D.a＋c，b，a－b－c 6.（多选）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则（　　） A.m＝ B.m＝－ C.n＝ D.n＝－ 7.若{a，b，c}是空间的一组基，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是　　　　. 8.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示向量＝　　　　. 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝　　　　. 10.如图，在空间平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC'的中点，N是B'C'的中点，用一组基{a，b，c}表示向量，. 11.设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则（x，y，z）为（　　） A. B. C. D. 12.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，则AE的长为（　　） A. B. C.2 D. 13.（多选）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列关系正确的是（　　） A.＋＋＝ B.＋－＝ C.－＋＝ D.－＋＝ 14.在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝　　　　.向量，，　　　　（填“能”或“不能”）构成一组基. 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，H在线段PD上且DH＝DP. （1）用向量，，表示向量； （2）求向量的模长. 16.如图，在△OAB中，C是AB的中点，P在线段OC上，且＝2.过点P的直线交线段OA，OB分别于点N，M，且＝m，＝n，其中m，n∈[0，1]，求m＋n的最小值. 3.1　空间向量基本定理 1.B　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基，否则不能当基.当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇒/ q，q⇒p. 2.C　∵＝（a－b），∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间一组基. 3.A　＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝（－a＋b）＋c＝－a＋b＋c. 4.C　＝－＝－＝（＋）－＝（－）＝（＋－）＝（－＋－－）＝－＋＝a－b＋c.故选C. 5.ACD　A选项：设a＋c＝mb＋n（a－c），即a＋c＝mb＋na－nc，不存在m，n使得等式成立，因此a＋c，b，a－c不共面，故可以作为一组基；B选项：设a＋b＝mb＋n（a－b），即a＋b＝（m－n）b＋na，令此时等式成立，即a＋b，b，a－b共面，故不可以作为一组基；C选项：设a－b＝m（b－c）＋nc，即a－b＝mb＋（n－m）c，不存在m，n使得等式成立，因此a－b，b－c，c不共面，故可以作为一组基；D选项：设a＋c＝mb＋n（a－b－c），即a＋c＝（m－n）b＋na－nc，不存在m，n使得等式成立，因此a＋c，b，a－b－c不共面，故可以作为一组基.故选A、C、D. 6.AD　根据空间向量基本定理，有＝＋＋，所以m＝，－n＝，即n＝－. 7.x＝y＝z＝0　解析：假设x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间的一组基知a，b，c不共面，矛盾，故假设不成立，即x＝0，同理y＝z＝0. 8.a－b＋c　解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c. 9.（＋＋）　解析：∵2＝2＋2＋2＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝＋＋，∴＝（＋＋）. 10.解：由M为BC'的中点，得＝，则＝＋＝＋＝＋（＋）＝b＋（＋）＝b＋（－＋）＝b＋（c－b＋a）＝a＋b＋c.又N是B'C'的中点，∴＝，则＝＋＝（＋）＋（－）＝b＋a＋（c－b）＝a＋b＋c. 11.A　如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，＝（＋）＝（－2＋），＝＝（－2＋），∵＝3＝3（－），∴＝＝（＋）＝（＋－＋）＝＋＋，故选A. 12.B　因为＝＋＋，｜｜＝｜｜＝1＝｜｜，且·＝·＝·＝0.又｜｜2＝（＋＋）2，所以｜｜2＝3，即AE的长为. 13.AC　＋＋＝＋＝，A正确.因为＋＋＝，所以＋－＝－＝，B不正确.－＋＝＋＋＝＋＝，C正确.－＋＝＋＋＝＋＝，D不正确. 14.3a－b＋3c　不能　解析：＝（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＋＋＋＋＝（＋）＝3a－b＋3c.假设，，共面，则＝λ＋μ＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝（λ＋5μ）a－5μb＋（8μ－2λ）c＝3a－b＋3c.∴解得∴，，共面，∴不能构成一组基. 15.解：（1）＝＋＝＋＋＝－＋（－）＋（－）＝－＋－＋－＝＋－. （2）｜｜2＝ ＝（＋）2－（＋）·＋｜｜2 ＝－·＋｜｜2 ＝（4＋16）－×2×2×＋4＝， ∴｜｜＝. 16.解：＝（＋），则2＝（ ＋），＝＋，又P，M，N共线，∴＋＝1.又m，n∈[0，1]，∴m＋n＝（m＋n）·＝（ ＋1＋1＋）≥×（ 2＋2）＝1，当且仅当m＝n＝时取等号. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $