课时作业22 直线的方向向量与平面的法向量（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十二)　直线的方向向量与平面的法向量 [基础达标练] 1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3)　　　　　　　B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 解析：选A　＝(2，4，6)＝2(1，2，3). 2．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C． D．3 解析：选A　∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)， ∴＝(－1，2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设＝km. ∴解得∴y－z＝0. 3．已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 解析：选A　由题意得a∥b，所以解得x＝－1. 4．(多选)平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的法向量可以是(　　) A．(－1，1，0) B．(1，0，1) C．(－2，2，0) D．(0，2，2) 解析：选AC　平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2).则＝(2，2，0)，＝(0，0，2). 设平面α的法向量n＝(x，y，z)， 则取x＝－1， 得n＝(－1，1，0)， 又因为(－2，2，0)＝2(－1，1，0)， 故可以作平面α的法向量的是A，C. 5．已知平面α的一个法向量a＝(x，1，－2)，平面β的一个法向量b＝，若α⊥β，则x－y＝________． 解析：因为α⊥β，所以a⊥b，所以－x＋y－1＝0，得x－y＝－1. 答案：－1 6．已知向量＝(1，5，－2)，＝(3，1，2)，＝(x，－3，6).若DE∥平面ABC，则x＝________． 解析：法一：设平面ABC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则即令x′＝3，得n＝为平面ABC的一个法向量．因为DE∥平面ABC，则·n＝0，即3x＋(－3)×(－2)＋6×＝3x－15＝0，解得x＝5. 法二：若DE∥平面ABC，则存在实数时λ，μ使得＝λ＋μ，即解得 答案：5 7．已知三棱锥OABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB. 解： 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，设所求点D(x，y，z). 由BD∥AC，DC∥AB⇒∥，∥， 因此 ⇒ 即点D的坐标为(－1，1，2). 8．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点． (1)求平面ABC的一个法向量； (2)求x，y，z满足的关系式． 解：(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c). 因为＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)， 所以 所以 令b＝2，则a＝－3，c＝2. 所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2). (2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点， 所以⊥n， 又＝(x－1，y＋1，z－2)， 所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0， 所以3x－2y－2z－1＝0. 故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0. [能力提升练] 9．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列各点中，在平面α内的是(　　) A．M(1，－1，1) B．N C．P D．Q 解析：选B　对于选项A，＝(1，0，1)，则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；同理可排除选项C，D；对于选项B，＝，则·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确． 10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析：选B　 分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 因为A1M＝AN＝a，所以M，N，所以＝. 又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，所以＝(0，a，0). 所以·＝0. 所以⊥. 因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C. 11．已知点A，B，C的坐标分别是(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是________． 解析：根据题意，可得＝(－1，－1，－1)， ＝(2，0，1)，＝(－x，1，－y). ∵PA⊥平面ABC，∴⊥且⊥，可得 解得x＝－1，y＝2，可得点P的坐标是(－1，0，2). 答案：(－1，0，2) 12．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，且有＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________． 解析：由·＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB，故①正确；；由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；由①②知是平面ABCD的法向量，故③正确，④不正确． 答案：①②③ 13．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE. 解： 证明　建立如图所示的空间直角坐标系． 设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0，0，1). 所以＝. 又点A，M的坐标分别是(，，0)，， 所以＝. 所以＝，且A∉NE，所以NE∥AM. 又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. [素养拓展练] 14．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； (2)在线段AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD? 解：(1)证明　在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4). ∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)， ∴·＝0.，∴⊥， ∴AC⊥BC1. (2)假设在线段AB上存在点D，使得AC1⊥CD， 设＝λ ＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈[0，1]， 则D(3－3λ，4λ，0)，于是＝(3－3λ，4λ，0). ∵＝(－3，0，4)，且AC1⊥CD， ∴－9＋9λ＝0，得λ＝1. ∴在线段AB上存在点D，使得AC1⊥CD，且这时点D与点B重合． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$