3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示（8大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 题型一：空间向量的基本定理 1．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A． B． C． D．0 4．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二：用空间基底表示向量 1．在直三棱柱中，若，则（ ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 题型一：空间向量的坐标表示 1．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 5．已知，，，若，，三向量共面，则（ ） A．18 B． C． D．6 题型四：空间向量的数量积 1．已知，则（ ） A．11 B． C．45 D．3 2．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（ ） A． B．1 C． D． 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ） A． B．0 C．2 D．4 4．已知，其中若，则____________. 题型五：空间向量平行和垂直的条件 1．已知空间向量，，若，则的值为（ ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 2．已知，且，则（ ） A．-5 B． C．4 D． 3．已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 4．已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 题型六：空间向量的夹角 1．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ）. A． B． C． D． 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 4．（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（多选）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（ ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 题型一：异面直线的夹角 1．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，⊥平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）在三棱锥A-BCD中，，，两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（ ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 题型一：已知夹角求参 1．（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（ ） A． B．0 C． D． 2．如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则_______________． 3．如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，2，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为__________________. 4．在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 题型一：空间向量的基本定理 1．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 2．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 3．若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】设，，，由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理确定待定系数即得解. 【详解】由题意，是空间的一个基底， 设，，，则不共线． 因为不能构成空间的一个基底，则共面， 所以存在实数使得， 即， 所以，解得，，． 故选：A. 4．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 题型二：用空间基底表示向量 1．在直三棱柱中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，画出图形，利用空间向量的线性运算即可表示出. 【详解】如图所示： ， 故选：B 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算原则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：D. 3．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 4．在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 题型一：空间向量的坐标表示 1．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出，进而得到. 【详解】， 故. 故选：B 2．已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 3．在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设线段上靠近点A的三等分点为，则有，根据向量坐标的线性运算即可求解. 【详解】设线段上靠近点A的三等分点为，则有， 又，所以， 所以，即，所以， 故选：A. 4．设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据题设线性相关的定义，令，应用坐标表示列方程且不同时为0，求参数. 【详解】由，，线性相关， 则， 即，不同时为0，解得. 故选：D 5．已知，，，若，，三向量共面，则（ ） A．18 B． C． D．6 【答案】B 【分析】利用空间向量共面的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意知，即， 故有，，， 解得，故B正确. 故选：B. 题型四：空间向量的数量积 1．已知，则（ ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 2．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求向量的坐标，根据向量坐标运算公式求结论； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，，， ，， ． 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可. 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 4．已知，其中若，则____________. 【答案】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，， ， 则. 故答案为： 题型五：空间向量平行和垂直的条件 1．已知空间向量，，若，则的值为（ ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得. 【详解】，， ，解得或. 故选：A 2．已知，且，则（ ） A．-5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：D. 3．已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得. （2）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 4．已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，，根据向量垂直得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且， 即的取值范围为且. 题型六：空间向量的夹角 1．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量的夹角余弦公式结合空间向量的数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】因为空间向量，， 则向量与夹角的余弦值为. 故选：C. 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 3．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 4．（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】利用空间向量垂直的性质判断A；利用空间向量平行的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由得，存在实数，使得，则， 即，解得，，B正确； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：BC 5．（多选）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（ ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 【答案】BD 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A不正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：BD 题型一：异面直线的夹角 1．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案. 【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，则，， 所以. 又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 2．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，⊥平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与夹角的余弦值． 【详解】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设， 则,1,，,1,，,0,，,0,，,， 则,，,0,， 设异面直线与夹角为， 则． 异面直线与夹角的余弦值为． 故选：C． 3．（多选）在三棱锥A-BCD中，，，两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（ ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角. 【详解】 不妨设，则，且， ， 所以， 因为，且， 所以，则， 所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为 故选：BC 题型一：已知夹角求参 1．（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（ ） A． B．0 C． D． 【答案】BD 【分析】如图建立空间直角坐标系，表示出，利用可得范围，即可得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则. 由图，，又， 则，即， 则.因为锐角， 则 或， 又由题可知，则. 故选：BD 2．如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则_______________． 【答案】 【分析】以为原点建系，分别计算的坐标，利用即可求出. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则， 则， 则 ， 得， 因，则，解得． 故答案为： 3．如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，2，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为__________________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，通过向量法算出点P到平面BFE的距离，结合三棱锥的体积等于1可得到，再通过向量法计算直线CP与所成角的余弦值的范围，继而算出答案 【详解】解：以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ，则，，， 设平面的法向量为 则，令，则， 所以平面的一个法向量 因为 所以点P到平面BFE的距离 因为， 所以在等腰中，到的高为， 所以 因为， 所以 所以或(舍去)， 设直线与所成的角为，则， 所以 ， 所以的最大值为，此时最小，此时最小， 因为，且，所以， 所以，即直线CP与所成角的正切值的最小值为， 故答案为： 4．在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析; (2)或. 【分析】（1）在上取一点，得到，则有，利用余弦定理及勾股定理的逆定理证得，则有平面，即有，再结合可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量间夹角的坐标运算公式建立方程，即可得解. 【详解】（1） 在棱上取一点，使得，连接, 因为，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以. 又因为，根据余弦定理可得，即， 则有，所以， 又平面，则平面， 又平面，则， 又因为平面， 所以平面. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 于是， 化简得，解得或， 所以或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $