课时作业20 空间向量基本定理（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十)　空间向量基本定理 [基础达标练] 1．(多选)若{a，b，c}是空间一组基，则下列选项中能构成空间的一组基的是(　　) A．a，2b，3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋b＋c，b＋c，a D．a＋2b，2b＋3c，3a－9c 答案：AB 2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是(　　) A．－a＋b＋c　　　　B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 解析：选A　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝(－a＋b)＋c＝－a＋b＋c. 3．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 解析：选D　＝＋＝＋＝＋(＋)， 所以x＝1，y＝. 4．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　) A．，－1，－ B．，1， C．－，1，－ D．，1，－ 解析：选A　xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3， 由空间向量基本定理，得 解得 5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点O是底面正方形A1B1C1D1的中心，且＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝_______． 解析： 如图所示，＝＋， ＝(＋)， ＝，＝， ∴＝＋＋， 又＝x ＋y ＋z ， 则x＝y＝，z＝1， x＋y＋z＝2. 答案：2 6．在正三棱柱ABC A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝__________，＝________． 解析：因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c，所以＝＋＝b＋c，＝＋＝c＋＝c＋×(＋)＝c＋(－b＋－)＝c＋(－b＋a－b)＝c＋－. 答案：b＋c　c＋－ 7． 如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和. 解：＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝＋×(＋) ＝＋＋； ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝＋OB＋. 8．已知{i，j，k}是空间的一组基，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，v，使a4＝λa1＋μa2＋va3成立？如果存在，求出λ、μ，v的值，如果不存在，请给出证明． 解：假设存在实数λ，μ，v使a4＝λa1＋μa2＋va3成立，则有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2v)i＋(－λ＋3μ＋v)j＋(λ－2μ－3v)k. ∵{i，k，j}是一组基， ∴i，j，k不共面． ∴解得 故存在λ＝－2，μ＝1，v＝－3使结论成立． [能力提升练] 9．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则·＝(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 解析：选A　如图所示 ，＝(＋)，＝， ∴·＝(＋)· ＝(·＋·) ＝(a2cos 60°＋a2 cos 60°) ＝a2，故选A. 10．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为一组基，则＝________． 解析： 由题意，如图所示，连拉AE，则＝－＝＋ －＝＋(－)－×(＋)＝－＋－. 答案：－－ 11．已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，点E为B1D1的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为一组基，表示： (1)＝________； (2)＝________． 解析：(1)在△AB1D1中，＝a，＝b，E为B1D1中点， ∴＝(＋)＝a＋b； (2)＝＋＝＋ ＝＋＝a＋b＋c. 答案：(1)a＋b　(2)a＋b＋c 12．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD的中点，若＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝________． 解析：在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF，则＝＋， 因为＝－＝－ ＝＝(－). ＝＝＝－，所以＝－－＋，所以x＝－， y＝－，z＝. x＋y＋z＝－. 答案：－ 13．如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体． (1)化简＋＋，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α ＋β ＋γ ，试求α，β，γ的值． 解： (1)取DD1的中点G，过点G作DC的平行线GH，使GH＝DC，连接AH(如图)，则＋＋＝. (2)＝＋＝＋ ＝(－)＋(＋) ＝＋＋，又，，不共面， 所以α＝，β＝，λ＝. [素养拓展练] 14．如图所示，三棱锥O ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且O E＝λOC，记＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示； (2)求||的最小值． 解：(1)＝＋＝＋－ ＝(－)＋λ－＝－a－b＋λc. (2)三棱锥棱长都为1，故a2＝b2＝c2＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，||2＝＝＋＋λ2＋a·b－λa·c－λb·c＝＋λ(λ－1)＝＋，故当λ＝时，||取得最小值，且||min＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$