3.2.1-3.2.2 第一课时 空间向量及空间向量的加、减、数乘运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量运算，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从单一运算到共面证明的递进，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量加减、数乘运算|以选择、填空题考查向量线性运算，强化运算能力| |综合应用|共线、共面定理应用|通过多选、中档填空综合考查三点共线、四点共面条件，发展模型观念| |拓展提升|向量表示与共面证明|以解答题探究中点向量表示及共面定理证明，提升逻辑推理能力|

2.1　从平面向量到空间向量 2.2　空间向量的运算 第一课时　空间向量及空间向量的加、减、数乘运算 1.空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝（　　） A.　　　　　　　　 B. C. D. 2.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是（　　） A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 3.如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则（　　） A.＝－a－b＋c B.＝－a－b＋c C.＝－a＋b＋c D.＝－a－b－c 4.（多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的是（　　） A.＋与＋是一对相反向量 B.－与－是一对相反向量 C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D.－与－是一对相反向量 5.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的是（　　） A.（－）－ B.（＋）－ C.（－）＋ D.（－）－ 6.（多选）若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则结论正确的有（　　） A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.O，A，B，P四点共面 D.P，A，B三点共线 7.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则＝　　　　. 8.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量，则 （1）＝　　　　； （2）＋＝　　　　. 9.如图，已知正四棱锥P-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点.若＝＋x＋y，则x，y的值分别为　　　　，　　　　. 10.如图，已知M，N分别是空间四边形ABCD的对角线AC和BD的中点，求证：＝（＋）. 11.已知在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为线段BC的中点.连接OB，设＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b－c B.－a＋b＋c C.a－b＋c D.a＋b－c 12.若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不同为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为　　　　. 14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0（λ∈R），则λ＝　　　　. 15.如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面. 16.对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若有关系式＝＋2＋2，求证：点P与点A，B，C共面. 第一课时　空间向量及空间向量的加、减、数乘运算 1.C　＋－＝＋＝－＝. 2.A　∵＋＝＋，∴＝.∴∥且｜｜＝｜｜.∴四边形ABCD为平行四边形. 3.B　＝－＝（＋）－（＋）＝－－＋＝－a－b＋c.故选B. 4.ACD　∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－（＋），同理可得＋＝－（＋），故＋＋＋＝－（＋＋＋），∴A、C正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－（－），∴D正确. 5.ABC　对于选项A，（－）－＝－＝；对于选项B，（＋）－＝＋＝；对于选项C，（－）＋＝＋＝；对于选项D，（－）－＝（－）－＝＋＝，故选A、B、C. 6.ACD　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝（1－n）·＋n·，即－＝n（－），即＝n，所以与共线.又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为＝m＋n，故O，A，B，P四点共面.故选A、C、D. 7.3a＋3b－5c　解析：取BC的中点M（如图所示），联接EM，FM.∵E，F，M是中点，∴EM􀱀AB，MF􀱀CD，∴＝＝a－c，＝＝a＋3b－4c，∴＝＋＝a－c＋a＋3b－4c＝3a＋3b－5c. 8.（1）a＋b＋c　（2）a＋b＋c 解析：（1）因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c. （2）因为M是AA1的中点，N是BC的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋（ a＋b＋c）＝a＋b＋c.＝＋＝＋＝＋＝a＋c，所以＋＝（ a＋b＋c）＋（ a＋c）＝a＋b＋c. 9.－　－　解析：因为＝－＝－（＋）＝－－，所以x＝y＝－. 10.证明：如图，取BC的中点P，连接PM，PN， 在△ABC中，＝，在△BCD中，＝， 所以＝＋＝＋＝（＋）. 11.B　因为点M在线段OA上，且OM＝2MA，所以＝a.因为点N为线段BC的中点，所以＝b＋c.故＝－＝b＋c－a＝－a＋b＋c.故选B. 12.C　若α＋β＝1，则－＝β（－），即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ（－），整理得＝（1＋λ）－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C. 13.0　解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，∵＝－，＝－，∴－＝k（－），化简整理得－（k＋1）＋k＝0.∵λ＋m＋n＝0，∴①当k＝－1时，比较系数得m＝0且λ＝－n，∵λ＋m＋n＝0；②当k≠－1时，可得＝＝，得m＝（－k－1）λ，n＝kλ；由此可得λ＋m＋n＝λ＋（－k－1）λ＋kλ＝0，综上所述，λ＋m＋n＝0. 14.－　解析：如图，连接A1C1，C1D，则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D，且EF＝A1D，∴＝，即－＝0， ∴λ＝－. 15.证明：因为＝k＝kb＋kc，＝＋＝a＋k＝a＋k（－a＋b）＝（1－k）a＋kb， 所以＝－＝（1－k）a＋kb－kb－kc＝（1－k）a－kc. 由共面向量定理可知，，a，c共面. 16.证明：法一　由已知得－＝2＋2， 即＝2＋2. 因为A，B，C三点不共线，所以，不共线. 由向量共面的充要条件知点P与点A，B，C共面. 法二　由已知得＝＋2（－）＋2（－）， 即＝－3＋2＋2. 由于A，B，C三点不共线，且－3＋2＋2＝1， 故点P与点A，B，C共面. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $