-第五章 二元一次方程组-解答题专练（登顶关）：方程组与一次函数 2026--2027学年北师大教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程与一次函数关系，以“概念生成-原理推导-应用拓展”为主线，系统构建数形结合解题体系，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-5题|两点确定直线法、交点坐标法|从方程解与点坐标对应（概念）到方程图象为直线（原理），推导方程组解与交点关系| |综合拓展|6-9题|待定系数法、面积公式法|结合一次函数表达式与几何图形，强化代数与几何融合，发展推理意识| |创新探究|10-13题|函数图象分析法、分类讨论法|拓展至绝对值函数、三点共线等，提升数学思维的系统性与迁移能力|

第三关：登顶关 1．【数学活动回顾】：七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程x﹣y＝0的图象时，可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB． 【解决问题】：（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　（1，2）　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　　 ； 【拓展延伸】： （3）已知二元一次方程ax+by＝6的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，0），试求a、b的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：1、如图， 2、观察图象，两条直线的交点坐标为（1，2），由此得出这个二元一次方程组的解是； 3、根据题意得，解得 故答案为（1，2），． 2．【教材回顾】 在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　（1，2）　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　　 ． 【拓展延伸】 已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，1），试求a，b的值． 【答案】（1）图见解析； （2）（1，2），； （3）． 【解答】解：（1）如图所示： （2）观察图象，两条直线的交点坐标为（1，2），由此得出这个二元一次方程组的解是， 故答案为：（1，2），； （3）把点A（﹣1，3）和B（2，1）代入方程ax+by＝7得： ， 解得：． 3．已知二元一次方程2x+y＝4，通过列举法将方程的解写成表格的形式： x … ﹣1 m 1 2 3 … y … 6 4 2 0 n … 如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应平面直角坐标系中的一个点，例如：方程2x+y＝4的解对应的点是（﹣1，6）． （1）表格中的m＝ 　0　 ，n＝ 　﹣2　 ； （2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，在所给的平面直角坐标系中画出这五个点；观察这些点，猜想方程2x+y＝4的所有解的对应点所组成的图形是 　直线　 ； （3）若点P（a，b）恰好落在2x+y＝4的解对应的点组成的图形上，且点P在第一象限内，求a的取值范围． 【答案】（1）0；﹣2；（2）作图见解析；直线；（3）0＜a＜2． 【解答】解：（1）由题意得，2m+4＝4，2×3+n＝4， ∴m＝0，n＝﹣2． 故答案为：0；﹣2． （2）由题意，可得点为（﹣1，6），（0，4），（1，2），（2，0），（3，﹣2）． 作图如下． ∴方程2x+y＝4的所有解的对应点所组成的图形是直线． 故答案为：直线． （3）∵点P（a，b）恰好落在 2x+y＝4 的解对应的点组成的图形上， ∴2a+b＝4． ∴b＝4﹣2a． ∵点P在第一象限， ∴a＞0，b＞0． ∴ ∴0＜a＜2． 4．数学活动：阅读，我们知道，在数轴上，x＝1 表示一个点，而在平面坐标系中，x＝1 表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程 2x-y+1＝0 的所有解为坐标的点组成的图形，它是一条直线，也叫“一次函数”y＝2x+1 的图象，如图1，可以得出，直线 x＝1 与直线 y＝2x+1 的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为． 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它的左侧的部分，如图2：y≤2x+1，也表示一个平面区域，即直线 y＝2x+1 以及它下方的部分，如图3． 回答下列问题： （1）在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组的解； （2）用阴影表示所围成的区域，直接写出该阴影区域的面积． 【答案】（1）；（2）作图见解析；阴影部分面积为9． 【解答】解：（1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x＝﹣2和直线y＝﹣2x+2， ∴这两条直线的交点是P（﹣2，6）． ∴是方程组的解． （2）如阴影所示， ∴阴影部分面积9． 5．【教材回顾】 在第十章的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； （2）观察图象，两条直线的交点坐标为　（1，2）　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是　　 ． 【拓展延伸】 （3）已知二元一次方程ax+by＝8的图象经过两点A（3，﹣2）和B（2，0），试求a，b的值． 【答案】（1）作图见解析；（2）（1，2）；；（3）a＝4，b＝2． 【解答】解：（1）由题意，通过描点、连线作图如下． （2）观察图象，可得出所画两直线的交点坐标为：（1，2）， 由此可得这个二元一次方程组的解为． 故答案为：（1，2）；． （3）由题意，将A（3，﹣2）和B（2，0）代入方程ax+by＝8， ∴． 由②得a＝4， 将a＝4代入①，得b＝2， 综上，a＝4，b＝2． 6．已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积． 【答案】（1）y＝2x+4； （2）关于x，y的方程组的解为； （3）12． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴， 解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， ∴点B的坐标为（1，6）， ∴关于x，y的方程组的解为； （3）∵点A与点P关于x轴对称， ∴点P（0，﹣4）， ∴AP＝4+4＝8，OC＝2， ∴S△BPC＝S△PAB+S△PAC 8×18×2 ＝4+8 ＝12． 7．活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣y＝0的一个解可以用一个点（1，1）表示出来．标出一些以方程x﹣y＝0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程x﹣y＝0的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．二元一次方程的图象是一条直线． （1）根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； （2）点P（t，m）、Q（1﹣2t，n）分别是2x+y＝4、x﹣y＝﹣1图象上的点． ①m﹣n是否为定值？若是，则求出m﹣n的值；若不是，则说明理由． ②点R在y轴上，当t＝2时，S△PQR＝3，求出R的坐标． 【答案】（1）如图所示：（解法不一） （2）①m﹣n是定值，值为2；②或R（0，﹣2）． 【解答】解：（1）令2x+y＝4中的x、y分别等于零，得到（0，4），（2，0）， 连接两点即可得到图象； 令x﹣y＝﹣1中的x、y分别等于零，得到（0，1），（﹣1，0）， 连接两点即可得到图象，如图所示：（解法不一） （2）①2t+m＝4， ∴m＝﹣2t+4， 把点Q（1﹣2t，n）代入x﹣y＝﹣1，得：1﹣2t﹣n＝﹣1， ∴n＝﹣2t+2， ∴m﹣n＝（﹣2t+4）﹣（﹣2t+2）＝2， ∴m﹣n是定值，值为2． ②点P（t，m）、Q（1﹣2t，n）分别是2x+y＝4、x﹣y＝﹣1图象上的点， 当t＝2时，2×2+m＝4，解得m＝0， ∴P（2，0）； ∴1﹣2t＝1﹣4＝﹣3，n＝﹣2t+2＝﹣2， ∴Q（﹣3，﹣2）， 当点R在y轴正半轴上时，过点Q，P分别作y轴、x轴的垂线，过点R作x轴的平行线，交点分别为E，F点，连接QR，PR． 设R的坐标为（0，k）， ∵S△PQR＝3， ∴S△PQR＝S梯形EQPF﹣S△QER﹣S△PFR＝3， ∴， ， 解得：， ∴， 当点R在y轴负半轴上时， 同理S△PQR＝S梯形EQPF﹣S△QER﹣S△PFR＝3， ， 解得：k＝﹣2， ∴R（0，﹣2）； 综上，点R在y轴上，当t＝2时，S△PQR＝3时，R（0，﹣2）或． ∴R（0，﹣2）或． 8．将方程的解写成有序数对（x，y）的形式，对应平面直角坐标系中点的坐标，如方程的解x＝﹣3，y＝﹣2对应点（﹣3，﹣2），以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． 【探索发现】按照下列步骤画出二元一次方程x﹣y＝﹣1的图象： 列表：利用表格列举二元一次方程x﹣y＝﹣1的部分解： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 b 3 … y … ﹣2 ﹣1 a 1 2 3 4 … ①填空：a＝ 　0　 ，b＝ 　2　 ； 描点、连线：②在下面的平面直角坐标系中描出表中的这些点，并过其中任意两点画直线，该直线即为二元一次方程x﹣y＝﹣1的图象． ③下列四个点在方程x﹣y＝﹣1的图象上的是（多选） A.B．（9，﹣10） C．（2.5，3.5）D．（﹣2025，﹣2024） 【学以致用】 ④根据上述方法，直接在上面的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x+y＝4的图象； ⑤由图象直接写出二元一次方程组的解是 　　 ． 【拓展提升】 ⑥若x+1＞|﹣2x+4|，试确定x的取值范围． 【答案】①0，2； ②见解答； ③C，D； ④见解答； ⑤； ⑥1＜x＜5． 【解答】解：①将x＝﹣1代入x﹣y＝﹣1得：﹣1﹣y＝﹣1，解得：y＝0，即a＝0； 将y＝3代入x﹣y＝﹣1得：x﹣3＝﹣1，解得：x＝2，即b＝2． 故答案为：0，2． ②在平面直角坐标系中描出这些点；并过其中任意两点作出直线； ③将代入x﹣y＝﹣1得：，即A选项不符合题意； 将（9，﹣10）代入x﹣y＝﹣1得：9﹣（﹣10）＝19≠﹣1，即B选项不符合题意； 将 （2.5，3.5）代入x﹣y＝﹣1得：2.5﹣3.5＝﹣1，即C选项符合题意； 将（﹣2025，﹣2024）代入x﹣y＝﹣1得：﹣2025﹣（﹣2024）＝﹣1，即D选项符合题意； 故答案为：C，D． ④画出直线2x+y＝4的图象如下： ⑤由④的函数图象可得方程组的解为； ⑥a．当﹣2x+4≥0，即x≤2时，不等式化为x+1＞﹣2x+4，解得：x＞1； 所以不等式的解集为1＜x≤2b． b．当﹣2x+4＜0，x＞2时，不等式化为x+1＞2x﹣4，解得：x＜5， ∴不等式的解集为2＜x＜5． 综上所述，1＜x＜5． 9．（一）获取新知 几何中证明三点共线的方法很多，解析式法就是其中之一： 利用一次函数模型解决三点共线问题方法，若A、B、C三点均在直线y＝kx+b的图象上，则A、B、C三点共线；若A、B、C三点中有一点不在y＝kx+b的图象上，则A、B、C三点不共线． 例：已知平面上三点A（2，0），B（0，﹣4），C（1，﹣2）试判断A、B、C三点是否共线． 解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， 由A（2，0），B（0，﹣4）求得直线AB解析式为y＝2x﹣4； 将C（1，﹣2）代入直线AB的解析式发现﹣2＝2×1﹣4等式成立； ∴点C在直线AB上，即A、B、C三点共线． （二）感悟新知 （1）已知平面上三点A（1，0），B（2，3），C（3，4），则A、B、C三点 　不共线　 （共线或不共线），若不共线请求出△ABC的面积． （三）拓展应用 （2）在平面直角坐标系中，A（m，n+2），B（m+4，n），C（0，3）三点共线，试求出m，n的关系式． 【答案】（1）不共线；1； （2）m＝﹣2n+2． 【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（2，3），C（3，4）分别代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x+1， ∵x＝1时，y＝x+1＝2， ∴点A（1，0）不在直线y＝x+1上， ∴A、B、C三点不共线； 设直线BC与x轴的交点为D点，如图， 当y＝0时，x+1＝0， 解得x＝﹣1， ∴D（﹣1，0）， ∴S△ABC＝S△CAD﹣S△BAD（1+1）×4（1+1）×3＝1； 故答案为：不共线； （2）设直线BC的解析式为y＝px+q， 把B（m+4，n），C（0，3）分别代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为yx+3， ∵点A、B、C共线， ∴点A（m，n+2）在直线BC上， ∴n+2•m+3， 整理得m+2n＝2， 即m＝﹣2n+2． 10．【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 　　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算∠ABO+∠DCO的度数． 【拓展应用】 （3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 　　 ； 【答案】（1）； （2）90°； （3）． 【解答】解：（1）如图2：由图象得两直线交于（1，2）， 所以方程组的解为：， 故答案为：； （2）如图3：由图得：AB∥CD， ∴∠BAO＝∠ACD， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠ABO＝∠DCO+∠ABO＝90°； （3）由图得：L1：2x+y＝4， 当x＝0.5时，y＝3， 当x＝3时，y＝﹣2， 若mx﹣2m+y＝﹣3过（0.5，3），则0.5m﹣2m+3＝﹣3， 解得：m＝4， 则4×7﹣2×4+2＝22≠﹣3， ∴mx﹣2m+y＝﹣3的图象不是L3， ∴mx﹣2m+y＝﹣3的图象为L2， 由图象得：L1，L2相交于点（3，﹣2）， ∴方程组的解为：， 故答案为：． 11．【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 　　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算∠ABO+∠DCO的度数． 【拓展应用】 （3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 　　 【答案】（1）画图见解析，； （2）画图见解析，90°； （3）． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； 由图象可知，直线2x+y＝4与直线x﹣y＝﹣1交于点（1，2）， ∴同时是方程2x+y＝4和方程x﹣y＝﹣1的解， ∴是方程组的解； 故答案为：． （2）∵方程组无解， ∴直线x+2y＝4与直线kx﹣3y＝3没有交点， ∴直线x+2y＝4与直线kx﹣3y＝3平行， 在方程kx﹣3y＝3中，当x＝0时，y＝﹣1， ∴直线kx﹣3y＝3经过点（0，﹣1）， 如图所示，直线AB和直线CD即为所求； ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠ABO+∠DCO＝90°； （3）如图所示， 在方程mx﹣2m+y＝﹣3中，当x＝2时，则2m﹣2m+y＝﹣3，即此时y＝﹣3， ∴是方程mx﹣2m+y＝﹣3的解，即直线mx﹣2m+y＝﹣3经过点（2，﹣3）； ∴直线mx﹣2m+y＝﹣3为直线AB或直线EF中的一条， 把代入方程2x+y＝4中，左边＝2×7+2＝16≠4，方程左右两边不相等， ∴不是方程2x+y＝4的解，即直线2x+y＝4不经过点（7，2）， ∴直线AB即为直线2x+y＝4 ∴直线mx﹣2m+y＝﹣3为直线EF， 在方程2x+y＝4中，当x＝3时，则2×3+y＝4，解得y＝﹣2， ∴是方程2x+y＝4的一个解， ∴直线mx﹣2m+y＝﹣3与直线2x+y＝4的交点坐标为（3，﹣2）， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 12．问题：探究函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如表是x与y的几组对应值，m的值为 　1　 ； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 1 … （2）在如图平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为﹣2； ②当x＞1时，y随x的增大而增大； ③函数图象关于直线x＝1对称． 小明得出的结论中正确的是 　①②③　 ．（只填序号） （4）已知直线与函数y＝|x﹣1|﹣2的图象有两个交点，直接写出方程组的解为 　或　 ． 【答案】（1）1； （2）见解析； （3）①②③； （4）或． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝|x﹣1|﹣2＝|﹣2﹣1|﹣2＝1； 故答案为：1； （2）如图所示， （3）①函数有最小值为﹣2，故正确； ②当x＞1时，y随x的增大而增大，故正确； ③函数图象关于直线x＝1对称，故正确； 故答案为：①②③． （4）， ∴当x﹣1≥0时，即x≥1时，y＝|x﹣1|﹣2＝x﹣1﹣2＝x﹣3， ∴， 解得； ∴当x﹣1＜0时，即x＜1时，y＝|x﹣1|﹣2＝1﹣x﹣2＝﹣x﹣1， ∴， 解得； 综上所述，方程组的解为或． 13．【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知A（1，1）、B（﹣3，4）、，则点 C （填“A或B或C”）在方程2x﹣y＝﹣1的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x﹣y＝﹣1的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 　（﹣2，﹣3）　 ，由此你得出二元一次方程组的解是 　　 ； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程nx﹣y＝3的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，请作出符合题意的图形，并求m，n的值． 【答案】（1）C； （2）（﹣2，﹣3），； （3）①A（﹣4，0），D（0，﹣3）； ②图象见详解，，n＝1． 【解答】解：（1）把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边＝1×2﹣1＝1，方程左右两边不相等，则不是方程2x﹣y＝﹣1的解； 把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边＝﹣3×2﹣4＝﹣10，方程左右两边不相等，则不是方程2x﹣y＝﹣l的解； 把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程2x﹣y＝﹣l的解； ∴只有点C在方程2x﹣y＝﹣1的图象上， 故答案为：C； （2）如图所示，函数图象即为所求；有图象可知，两条直线的交点坐标为（﹣2，﹣3）， ∴二元一次方程组的解是； 故答案为：（﹣2，﹣3），； （3）①在﹣x+my＝﹣2中，当y＝0时，x＝﹣4，在nx﹣y＝3中，当x＝0时，y＝﹣3， ∴A（﹣4，0），D（0，﹣3）； ②∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴直线和直线nx﹣y＝3 没有交点，即在这两条直线互相平行， ∵点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，A（﹣4，0）， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝OB＝4，即B（0，4），将点B的坐标代入得，，解得， ∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD＝45°，D（0，﹣3）， ∴∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴OC＝OD＝3，即C（3，0），将点C的坐标代入nx﹣y＝3 得，3n﹣0＝3，解得n＝1，如图所示即为所求： 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三关：登顶关 1．【数学活动回顾】：七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程x﹣y＝0的图象时，可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB． 【解决问题】：（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　 　 ； 【拓展延伸】： （3）已知二元一次方程ax+by＝6的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，0），试求a、b的值． 2．【教材回顾】 在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　 　 ． 【拓展延伸】 已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，1），试求a，b的值． 3．已知二元一次方程2x+y＝4，通过列举法将方程的解写成表格的形式： x … ﹣1 m 1 2 3 … y … 6 4 2 0 n … 如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应平面直角坐标系中的一个点，例如：方程2x+y＝4的解对应的点是（﹣1，6）． （1）表格中的m＝ 　 　 ，n＝ 　 ； （2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，在所给的平面直角坐标系中画出这五个点；观察这些点，猜想方程2x+y＝4的所有解的对应点所组成的图形是 　 　 ； （3）若点P（a，b）恰好落在2x+y＝4的解对应的点组成的图形上，且点P在第一象限内，求a的取值范围． 4．数学活动：阅读，我们知道，在数轴上，x＝1 表示一个点，而在平面坐标系中，x＝1 表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程 2x-y+1＝0 的所有解为坐标的点组成的图形，它是一条直线，也叫“一次函数”y＝2x+1 的图象，如图1，可以得出，直线 x＝1 与直线 y＝2x+1 的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为． 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它的左侧的部分，如图2：y≤2x+1，也表示一个平面区域，即直线 y＝2x+1 以及它下方的部分，如图3． 回答下列问题： （1）在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组的解； （2）用阴影表示所围成的区域，直接写出该阴影区域的面积． 5．【教材回顾】 在第十章的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； （2）观察图象，两条直线的交点坐标为　 　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是　 　 ． 【拓展延伸】 （3）已知二元一次方程ax+by＝8的图象经过两点A（3，﹣2）和B（2，0），试求a，b的值． 6．已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积． 7．活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣y＝0的一个解可以用一个点（1，1）表示出来．标出一些以方程x﹣y＝0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程x﹣y＝0的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．二元一次方程的图象是一条直线． （1）根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； （2）点P（t，m）、Q（1﹣2t，n）分别是2x+y＝4、x﹣y＝﹣1图象上的点． ①m﹣n是否为定值？若是，则求出m﹣n的值；若不是，则说明理由． ②点R在y轴上，当t＝2时，S△PQR＝3，求出R的坐标． 8．将方程的解写成有序数对（x，y）的形式，对应平面直角坐标系中点的坐标，如方程的解x＝﹣3，y＝﹣2对应点（﹣3，﹣2），以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． 【探索发现】按照下列步骤画出二元一次方程x﹣y＝﹣1的图象： 列表：利用表格列举二元一次方程x﹣y＝﹣1的部分解： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 b 3 … y … ﹣2 ﹣1 a 1 2 3 4 … ①填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； 描点、连线：②在下面的平面直角坐标系中描出表中的这些点，并过其中任意两点画直线，该直线即为二元一次方程x﹣y＝﹣1的图象． ③下列四个点在方程x﹣y＝﹣1的图象上的是（多选） A.B．（9，﹣10） C．（2.5，3.5）D．（﹣2025，﹣2024） 【学以致用】 ④根据上述方法，直接在上面的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x+y＝4的图象； ⑤由图象直接写出二元一次方程组的解是 　 　 ． 【拓展提升】 ⑥若x+1＞|﹣2x+4|，试确定x的取值范围． 9．（一）获取新知 几何中证明三点共线的方法很多，解析式法就是其中之一： 利用一次函数模型解决三点共线问题方法，若A、B、C三点均在直线y＝kx+b的图象上，则A、B、C三点共线；若A、B、C三点中有一点不在y＝kx+b的图象上，则A、B、C三点不共线． 例：已知平面上三点A（2，0），B（0，﹣4），C（1，﹣2）试判断A、B、C三点是否共线． 解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， 由A（2，0），B（0，﹣4）求得直线AB解析式为y＝2x﹣4； 将C（1，﹣2）代入直线AB的解析式发现﹣2＝2×1﹣4等式成立； ∴点C在直线AB上，即A、B、C三点共线． （二）感悟新知 （1）已知平面上三点A（1，0），B（2，3），C（3，4），则A、B、C三点 　 　 （共线或不共线），若不共线请求出△ABC的面积． （三）拓展应用 （2）在平面直角坐标系中，A（m，n+2），B（m+4，n），C（0，3）三点共线，试求出m，n的关系式． 10．【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 　 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算∠ABO+∠DCO的度数． 【拓展应用】 （3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 　 ； 11．【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算∠ABO+∠DCO的度数． 【拓展应用】 （3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 　 12．问题：探究函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如表是x与y的几组对应值，m的值为 　 　 ； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 1 … （2）在如图平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为﹣2； ②当x＞1时，y随x的增大而增大； ③函数图象关于直线x＝1对称． 小明得出的结论中正确的是 　 ．（只填序号） （4）已知直线与函数y＝|x﹣1|﹣2的图象有两个交点，直接写出方程组的解为 　 　 ． 不得复制发布日期：2026/7/22 8:24:39；用户：孔浩；邮箱：15269199390；学号：25245241 13．【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知A（1，1）、B（﹣3，4）、，则点 （填“A或B或C”）在方程2x﹣y＝﹣1的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x﹣y＝﹣1的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　 ，由此你得出二元一次方程组的解是 　 　 ； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程nx﹣y＝3的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，请作出符合题意的图形，并求m，n的值． 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $