第五章 二元一次方程组-解答题专练（夯基关）：方程组与一次函数 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数与二元一次方程组的数形结合应用，通过递进式题型构建"概念理解-图像分析-综合应用"的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |夯基关|20题|含交点坐标求解、方程组解的几何意义、函数表达式确定等|以"函数图像交点=方程组解"为核心，从单点参数计算到面积综合问题，形成"概念-性质-应用"的逻辑链条，培养几何直观与运算能力|

第一关：夯基关 1．已知直线y＝﹣x﹣2与直线y＝x﹣m相交于点A（n，﹣3）． （1）求m和n的值； （2）直接写出方程组的解． 【答案】（1）m＝4，n＝1； （2）． 【解答】解：（1）由题意，∵直线y＝﹣x﹣2与直线y＝x﹣m相交于点A（n，﹣3）， ∴﹣n﹣2＝﹣3且n﹣m＝﹣3． ∴n＝1，m＝4； （2）由题意，结合（1）可得，直线y＝﹣x﹣2与直线y＝x﹣m相交于点A（1，﹣3）， 又∵方程组的解可以看作直线y＝﹣x﹣2与直线y＝x﹣m的交点的横坐标与纵坐标， ∴方程组的解为． 2．已知一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣3）． （1）关于x，y的方程组的解为 　　 ； （2）求a，b的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣3）， ∴关于x，y的方程组的解为是， 故答案为：； （2）将代入方程组，得， 解得a＝2，b＝﹣6． 3．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，求关于x，y的方程组的解和a的值． 【答案】，a＝﹣1． 【解答】解：把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2， 函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2）， 即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解是， 把代入y＝ax+3得，2＝a+3， 解得a＝﹣1． 4．如图，过点（0，﹣2）的直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x+1交于点P（2，m）． （1）求点P的坐标和直线l1的表达式； （2）根据图象直接写出方程组的解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把P（2，m）代入y＝x+1得m＝3， 则P点坐标为（2，3）； 把（0，﹣2），P（2，3）代入y＝kx+b得，解得， 所以直线l1的表达式为yx﹣2； （2）因为直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x+1交于点P（2，3）， 所以方程组的解为． 5．一次函数y1＝k1x+b1和一次函数y2＝k2x+b2在同一坐标系中的图象如图所示，已知A（﹣2，0），B（2，0），C（3，﹣2），观察图象回答下列问题： （1）关于x的一元一次方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣2　 ； （2）关于x，y的方程组的解是　　 ． 【答案】（1）x＝﹣2； （2）． 【解答】解：（1）∵点A坐标为（﹣2，0）， ∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2； （2）由图可得，一次函数y1＝k1x+b1和一次函数y2＝k2x+b2图象的交点为C（3，﹣2）， ∴关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 6．如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝﹣x+a交于点P（1，m）． （1）求m，a的值； （2）直接写出关于x的二元一次方程组的解； （3）当y1＜y2时，x的取值范围是 x＜1　 ． 【答案】（1）m＝2，a＝3； （2）， （3）x＜1． 【解答】解：（1）把P（1，m）代入y＝2x得m＝2， 把P（1，2）代入y＝﹣x+a得：﹣1+a＝2， 解得a＝3； （2）由图象可知二元一次方程组的解为； （3）∵y1＜y2， ∴2x＜﹣x+3， 解得：x＜1， 故答案为：x＜1． 7．如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）． （1）求直线l1对应的表达式． （2）直接写出方程组的解． （3）求四边形PAOC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得a＝2， 则P点坐标为（﹣1，2）； 把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得， 所以直线l1的表达式为y＝2x+4； （2）因为直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+1交于点P（﹣1，2）， 所以方程组的解为； （3）∵y＝﹣x+1交x轴于B，交y轴于C， ∴B（1，0），C（0，1）， ∴四边形PAOC的面积＝S△ABP﹣S△BOC． 8．如图，一次函数y＝mx+n的图象分别与x轴，y轴交于点A（﹣2，0），B（0，1），与一次函数y＝ax的图象相交于点P． （1）求m，n的值； （2）若点P的横坐标为1，求方程组的解． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n的图象分别与x轴，y轴交于点A（﹣2，0），B（0，1）， ∴， ∴； （2）由（1）知y， 当x＝1时，y， ∴P（1，）， ∵一次函数y＝mx+n的图象与一次函数y＝ax的图象相交于点P． ∴方程组的解为． 9．根据所给函数图象，解答下列问题． （1）a＝　3　 ； （2）求k、b的值； （3）关于x、y的方程组的解是　　 ． 【答案】（1）3； （2）； （3）． 【解答】解：（1）当x＝3时，y＝x＝3， ∴a＝3， 故答案为：3； （2）由条件可得： 解得： ∴y＝﹣x+6； （3）∵， ∴方程组为， 解得：， 故答案为：． 10．如图，直线y＝﹣2x+6与直线y＝mx+n相交于点M（p，4）． （1）求p的值； （2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； （3）若直线y＝mx+n与x轴交于点B（﹣5，0），求m和n的值． 【答案】（1）p＝1； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+6经过点M（p，4）， ∴4＝﹣2p+6， ∴p＝1； （2）∵直线y＝﹣2x+6与直线y＝mx+n相交于点M（1，4）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； （3）∵M（1，4），B（﹣5，0）， ∴， 解得． 11．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b，m的值． （2）结合图象直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】（1）b＝3，m＝﹣1； （2）． 【解答】解：（1）对于直线y＝2x+1，当x＝1时，y＝3， ∴P（1，3），b＝3， 把P（1，3）代入y＝mx+4中，得到3＝m+4， 解得m＝﹣1． （2）观察图象可知：关于x，y的方程组的解是． 12．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣3，2）的“美好点“坐标是 　（﹣6，3）　 ； ②若点P的“美好点”为（5，﹣4），则点P的坐标是 　（，）　 ； （2）若点P（a，3）的“美好点”在直线y＝3x﹣2上，求a的值． 【答案】（1）①（﹣6，3）； ②（，）； （2）． 【解答】解：（1）①点P（﹣3，2）的“美好点“坐标为（﹣6，3）； 故答案为：（﹣6，3）； ②设P点坐标为（a，b）， 根据题意得2a＝5，2b﹣1＝﹣4， 解得a，b， ∴点P的坐标为（，）； 故答案为：（，）； （2）点P（a，3）的“美好点”为（2a，5）， 把（2a，5）代入y＝3x﹣2中得6a﹣2＝5， 解得a， 即a的值为． 13．如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）． （1）直接写出方程组的解； （2）求直线l1对应的表达式； （3）求△ABP的面积． 【答案】（1）； （2）直线l1对应的表达式为y＝2x+4； （3）3． 【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得y＝2， ∴P（﹣1，2）， ∴方程组的解为； （2）把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，， 解得， ∴直线l1对应的表达式为y＝2x+4； （3）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1， ∴B（1，0）， ∴△ABP的面积3×2＝3． 14．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）D（0，2）；（3）． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3）， ∴﹣3m＝3，m＝﹣1， ∴P（﹣1，3）， 把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b得：， 解得：， ∴一次函数解析式是y＝﹣x+2． （2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2， 令x＝0，则y＝2， 即点D（0，2）． （3）由题意可知点P是两条直线的交点，可得：﹣3x＝﹣x+2， 解得：x＝﹣1， 将x＝﹣1代入y＝﹣3x，得：y＝3． ∴点P的坐标为：（﹣1，3）， 正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3）， 所以方程组的解为． 15．如图，一次函数y＝kx+b经过点（2，8），与一次函数y＝﹣x交于点A（m，1）． （1）求函数y＝kx+b的表达式； （2）利用函数图象写出方程组的解　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x经过点A（m，1）． ∴1＝﹣m，解得：m， ∴点A的坐标为（，1）． 将A（，1）、B（2，8）代入y＝kx+b，得，解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x+4； （2）∵一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣x交于点A（，1）， ∴方程组的解为， 故答案为． 16．如图，直线l1：y＝kx+5（k是常数且k≠0）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于点P（﹣4，1）． （1）直接写出方程组的解为　　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由函数图象可知，方程组的解为两直线交点P（﹣4，1）， 即． 故答案为：； （2）将P（﹣4，1）代入l1：y＝kx+5得：1＝﹣4k+5， 解得k＝1，即l1：y＝x+5； 将P（﹣4，1）代入得：， 解得b＝﹣1，即； 当时， 解得：x＝﹣2，即D（﹣2，0）； 当y＝x+5＝0时， 解得：x＝﹣5，即B（﹣5，0）； ∴． 17．已知直线l1的解析式为y＝x+1，直线l2的解析式为y＝mx+n，如图所示，它们相交于点P（1，b）． （1）b的值是　2　 ；关于x、y的方程组的解是　　 ． （2）一次函数y＝nx+m的图象是否也经过点P？请说明理由． 【答案】（1）b＝2；； （2）直线y＝nx+m经过点P．理由如下： 因为y＝mx+n经过点P（1，2）， 所以m+n＝2， 所以直线y＝nx+m也经过P点． 【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2； 即交点P坐标为（1，2）， 所以方程组的解为． 故答案为：2；； （2）直线y＝nx+m经过点P．理由如下： 因为y＝mx+n经过点P（1，2）， 所以m+n＝2， 所以直线y＝nx+m也经过P点． 18．如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与x轴交于点E，与直线l1相交于点D（1，3）． （1）方程组的解是　　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形ADE的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由图象可知： 方程组的解为； 故答案为：； （2）∵直线l2：y＝kx+b过C（0，1）、D（1，3）， ∴， ∴， ∴直线l2的解析式是：y＝2x+1； 当y＝2x+1＝0时，， ∴， ∵D（1，3），A（4，0）， ∴， ∴直线l1，l2与x轴围成的三角形． 19．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1， （1）关于x，y的方程组的解是　　 ； （2）a＝　﹣1　 ； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2， 函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2）， 即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解是． 故答案为； （2）把P（1，2）代入y＝ax+3， 得2＝a+3，解得a＝﹣1． 故答案为﹣1； （3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0）， y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0）， ∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4， ∵P（1，2）， ∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积为：4×2＝4． 20．一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象恒过定点（1，1）． （1）若图象还经过（2，3），求该一次函数的表达式； （2）若当﹣3≤x≤4时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】（1）y＝2x﹣1； （2）或． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝2x﹣1； （2）代入点（1，1），得a+b＝1， ∴b＝1﹣a， ∴一次函数的表达式为y＝ax+1﹣a， ∴当x＝﹣3时，y＝﹣3a+1﹣a＝﹣4a+1；当x＝4时，y＝4a+1﹣a＝3a+1， 当a＜0时，y随着x的增大而减小， 则函数y在x＝﹣3取得最大值，在x＝4取得最小值， ∴﹣4a+1﹣（3a+1）＝6， 解得； 当a＞0时，y随着x的增大而增大， 则函数y在x＝4取得最大值，在x＝﹣3取得最小值， ∴3a+1﹣（﹣4a+1）＝6， 解得； ∴综上，a的值为或． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $第一关：夯基关 1.已知直线=-x-2与直线y=x-m相交于点A（n,-3)· (1)求m和n的值： (2)直接写出方程组 x+y=-2 的解。 x-y=m 2.已知一次函数=ar-5与=3+b的图象的交点坐标为A（1,-3)· (1)关于x,y的方程组 ax-y=5 3x-y=-b的解为 (2)求a,b的值. 第1页共17页 3.如图，已知函数y=种1和y=a+3的图象交于点P,点P的横坐标为1，求 x-y=-1 关于x,y的方程 ax-y=-3的解和a的值. y=x+1 y=ax-3 4.如图，过点(0，-2)的直线11：y=kx种b（≠0)与直线12：=种1交于 点P(2,m). (1)求点P的坐标和直线的表达式： 第2页共17页 y=kx+b (2)根据图象直接写出方程组 y=x+1的解. /12 -2 5.一次函数n=h+b和一次函数2=种血在同一坐标系中的图象如图所 示，已知A(-2,0),B(2,0),C(3,-2),观察图象回答下列问 题： (1)关于x的一元一次方程五+b=0的解是 (2)关于xy的方程组kx+b=y的解是 k,x+b2=y 第3页共17页 y2=k,x+b, y=k x+b B A C 6.如图，平面直角坐标系xOy中，直线11：=2x与直线12：2=-件a交于 点P(1,m)· (1)求，a的值： y=2x (2)直接写出关于x的二元一次方程组y-X+a的解： (3)当<2时，x的取值范围是 第4页共17页 4 3 /y1=2x y2=-x+a 1912345x 7.如图，过点A(-2,0)的直线11：y=kx种b与直线12：y=-+1交于P (-1,a). (1)求直线1对应的表达式. (2)直接写出方程组 y=kx+b y=-x+1 的解. (3)求四边形PAOC的面积. 第5页共17页 B 8.如图，一次函数y=m种n的图象分别与x轴，y轴交于点A(-2,0),B (0,1),与一次函数y=ax的图象相交于点P. (1)求，n的值； (2)若点P的横坐标为1，求方程组 y=mx+n 的解。 y=ax 第6页共17页 B A 0 9.根据所给函数图象， 解答下列问题. (1)a= (2)求k、b的值： (3)关于x、y的方程组 x-y=-6 kx-y=-b 的解是 y y=kx+b y=x 7036、 第7页共17页 10.如图，直线y=-2x+6与直线y=mx+n相交于点M(p,4), (1)求p的值： (2)直接写出关于x,y的二元一次方程组 y=-2x+6 y=mx+n的解： (3)若直线=m+n与x轴交于点B(-5,0),求m和n的值. y个 y=mx+n M B y=-2x+6 第8页共17页 11.如图，直线1：=2+1与直线12：=mx+4相交于点P(1,b)· (1)求b,m的值. 2x-y=-1 (2)结合图象直接写出关于x,y的方程组 mr-y=-4的解. 6 12 12.在平面直角坐标系中，对于点P（a,b)和点Q（m,n),若满足： m=2a n=2b-1/, 则称点P的“美好点”为点Q.例如，点(2,1)的“美好点” 是(4,1). (1)①点P(-3,2)的“美好点“坐标是 ②若点P的“美好点”为(5，-4)，则点P的坐标是 第9页共17页 (2)若点P（a,3)的“美好点”在直线y=3x-2上，求a的值. 13.如图，过点A(-2,0)的直线1：y=kx+b与直线1：y=-+1交于P (-1,a). (1)直接写出方程组 y=kx+b y=-x+1 的解； (2)求直线11对应的表达式： (3)求△ABP的面积. 第10页共17页 B 14.如图，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=x种b的图象交于点P (m,3),一次函数图象经过点B(1,1),与y轴的交点为D,与x轴的交 点为C. (1)求一次函数表达式： (2)求D点的坐标： y=-3x (3)不解关于x、y的方程组 y=kx+b 直接写出方程组的解. 第11页共17页 D B C y=kx+b y=-3x 15.如图，一次函数y=k#b经过点(2,8)，与一次函数=-广1交于点A 2 (,1)· (1)求函数=k+b的表达式： (2)利用函数图象写出方程组 kx-y=-b 1 的解 x+y=- 2 第12页共17页 y个y=a+b 》 y=-X-2 16.如图，直线1：y=kx+5（k是常数且k≠0)分别交y轴，x轴于A,B两 点，直线，：y=一2x+b(b是常数)分别交y轴，x轴于G,D两点，直线 1,12相交于点P(-4,1). y=kx+5 (1)直接写出方程组 1 的解为 y=-zx+b (2)求直线，12与x轴围成的三角形的面积. 第13页共17页 P B/ -4D C 17.已知直线1的解析式为y=+1,直线12的解析式为y=m种n,如图所示， 它们相交于点P(1,b)· (1)b的值是 :关于x、y的方程组 y=x+1的解是 [y=mx+n (2)一次函数y=x+m的图象是否也经过点P?请说明理由. y P x 第14页共17页 18.如图，直线1：y=-+4与x轴，y轴分别交于A,B两点，直线2：y= k+b与y轴相交于点C(0,1),与x轴交于点E,与直线1相交于点D(1, 3). X+y=4 (1)方程组 y=x+b的解是 (2)求直线11,12与x轴围成的三角形ADE的面积. 1y4 B 3 D A 第15页共17页 19.如图，已知函数y=+1和y=a+3的图象交于点P,点P的横坐标为1， (1)关于x,y的方程组 x-y=-1 ax-y=-3 的解是 (2)a= (3)求出函数y=+1和y=a+3的图象与x轴围成的几何图形的面积. J=x+1 V=r+3 20.一次函数y=a+b（a≠0)的图象恒过定点（1,1)· (1)若图象还经过(2,3)，求该一次函数的表达式： (2)若当-3≤≤4时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的 第16页共17页 值. 第17页共17页