微专题04 二元一次方程组与一次函数问题四大题型（专项训练）数学北师大版八年级上册

微专题04 二元一次方程组与一次函数问题四大题型 题型一 利用二元一次方程组求一次函数的表达式 方法总结（两点） 1. 确定形式：设一次函数表达式为**y = kx + b**（k≠0），明确未知量为k和b。 2. 列解方程组：将函数图像上两个点的坐标代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，求解得k和b，代入表达式即可。 解题技巧（两点） 1.选点技巧：优先选横、纵坐标为整数的点，如（0，a），简化计算，避免分数运算出错。 2.验证技巧：求出表达式后，将两点坐标代入验算，若等式成立则结果正确，确保解题无误。 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，设一次函数解析式为，把点和点代入即可求出k、b的值，进而得出函数解析式． 【详解】解：设一次函数解析式为， 把点和点代入得： ， 解得， ∴一次函数解析式为． 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）已知一次函数的图象过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个一次函数图象上。 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，计算值，并与比较即可判断点是否在这个一次函数的图象上． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵一次函数的图象过，两点， ∴， 解得， ∴解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个一次函数的图象上． 3．（25-26八年级上·吉林·期中）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由． 【答案】(1) (2) 点在一次函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法，将点，代入一次函数，解方程组求和即可； （2）将点的横坐标代入函数解析式，计算值，与点的纵坐标比较即可判断． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 把，代入得： ，解得， 这个一次函数的关系式为； （2）解：点在一次函数的图象上，理由如下： 当时，， 点在一次函数的图象上． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数与y轴的交点问题等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出点D的坐标，再运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， ，则， 的面积； 5．（25-26八年级上·广西梧州·期中）如图，已知直线和分别记为，它们相交于点． (1)根据图上所给条件，求出的解析式； (2)求出交点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)交点的坐标为． 【分析】此题考查求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标： （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）联立两个方程求方程组的解即可 【详解】（1）解：由图象得，直线经过点， 得, 解得 ∴直线的解析式为； （2）解方程组，得， ∴交点的坐标为． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点为直线上一点，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式，三角形面积问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）待定系数法求出解析式即可； （）由（）得，直线的解析式为：，设点的坐标为，根据题意得，然后分当在轴上方时，当在轴下方时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∵点，在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：由（）得，直线的解析式为：，设点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 由的面积是面积的倍， ∴， 如图，当在轴上方时， ∴， ∵，解得：， ∴点的坐标为； 如图，当在轴下方时， ∴， ∵，解得：， ∴点的坐标为； ∴点的坐标为或． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，在直角坐标系中，是坐标原点，直线分别与轴和轴交于、两点，、两点的位置如图所示，直线分别与轴和轴交于、两点，且与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点、关于轴对称，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由轴对称的性质可得，求出点，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立，可得点的坐标为，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式； （2）解：∵点、关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为， ∴． 8．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，是轴上的一点． (1)若点在直线上，求点的坐标； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数： （1）设直线的解析式为：，用待定系数法求解析式，根据是轴上的一点且点在直线上得到点的坐标； （2）先求出的面积，再求出的面积，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 的解析式为：， 是轴上的一点且点在直线上， 当时，， ． （2）解：如图，连接交轴于点，所以，连接， 点的坐标分别为，且， ， 要使，则， 设， 当点在直线上方，， 解得：， 当点在直线下方，， 解得：， 综上所述：或． 9．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线分别与轴、轴、直线交于、、三点，已知，． (1)求直线的表达式； (2)直线上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，结合三角形面积公式求解是关键． （1）设的表达式为，求出，，把坐标代入，求出的值即可； （2）联立，求出点，根据三角形面积公式求出，根据可得方程，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且A在轴负半轴上， ∴； ∵， ∴， ∵点B在x轴正半轴上， ∴， 设直线的表达式为, 把，代入解析式得， ， 解得， 所以直线的表达式为； （2）解：联立直线与直线的方程得， 解得， ∴， ∵, ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 当时，，解得，此时，所以； 当时，，解得，此时，所以， 综上，点P的坐标为或． 10．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线与直线交于点． (1)求直线与的函数表达式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为 (2) (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）由点A和点E坐标可求出直线函数表达式，再求出点C坐标，根据点C和点E坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点B和点D坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）分类讨论，点P在点E上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设表达式为，将点，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； 由题可知， ， 设直线表达式为，将，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； （2）令：，得， ， 令：，得， ， ， ； （3）当点P在点E上方时，如图， 此时， ， 解得， 此时， ； 当点P在点E下方时，如图， 此时， ， 解得正值舍去， 此时， ； 综上，满足题意的点P坐标为或． 题型二 两直线的交点与二元一次方程组解的关系 方法总结（两点） 1. 几何与代数对应：两条直线交点的**横、纵坐标**，就是它们对应的二元一次方程组的**解**；反之，方程组的解也是两直线交点坐标。 2. 求解交点步骤：联立两直线对应的二元一次方程，解方程组，得到的x、y值即为交点的横、纵坐标。 解题技巧（两点） 1. 判断交点情况：若方程组有唯一解，两直线相交；无解则平行；无数解则重合，可快速预判结果。 2. 简化计算技巧：解方程组时，优先用代入消元法或加减消元法消去系数简单的未知数，减少计算量。 1．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）一次函数与的图象交点坐标是 ，它可以看作是二元一次方程组 的解． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是掌握两个一次函数的交点即为方程组的解． 解，即可得出交点坐标，把一次函数化为方程的形式即可得出要求的方程组． 【详解】解：由题意得：，解得：， 故其可看成的解， 故答案为，． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）图中两直线与的交点P的坐标可以看成是方程组 的解． 【答案】 【分析】 考查一次函数与二元一次方程组的关系；用到的知识点为：两条直线的交点，可看作是两直线解析式组成的二元一次方程组的解．用待定系数法求得两条直线的解析式，组成方程组即可． 【详解】 解：设的解析式为， ， 解得， ∴． 设的解析式为， ， 解得， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）两条直线和的位置关系为 ．由此可知，方程组的解的情况为 ． 【答案】 平行 无解 【分析】本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线的相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况． 【详解】解：∵对于两条直线和，， ∴两条直线平行； 方程组可化为， ∵两条直线平行，没有交点， ∴方程组无解， 故答案为：平行，无解． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．由两函数图象交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点A的坐标即可． 【详解】解：∵点在函数上， ∴代入得， 解得， ∴交点坐标为， 故方程组的解为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于理解两直线交点与两解析式组成的方程组的解之间的联系． 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】∵直线和直线交点P的坐标为， ∴二元一次方程组 解得， ∴． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；用函数观点看，解方程组的含义是解得当自变量取 时，函数 和函数 有相同的函数值 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数时，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 利用一次函数与二元一次方程的关系和一次函数与二元一次方程组的关系解决问题． 【详解】解：以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数的图象；以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数的图象；用函数观点看，解方程组的含义是解得当自变量取时，函数和函数有相同的函数值． 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥． 9．（24-25九年级上·全国·期末）如图，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为： 10．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知关于的方程组的解是则直线与直线的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】先明确方程组的解与两直线交点坐标的关系，再利用已知方程组的解得出交点坐标．本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，知道方程组的解对应两直线交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程组可变形为，方程组的解是， ∴ 直线与直线的交点坐标是． 故答案为： ． 题型三 二元一次方程组与一次函数的综合应用问题 方法总结（两点） 1.构建模型：根据题意确定自变量取值范围，建立目标一次函数与约束条件的二元一次方程组，明确最值求解方向。 2.求最值：先解方程组得关键节点坐标，再结合一次函数增减性，在取值范围内计算目标函数的最大或最小值。 解题技巧（两点） 1.抓约束边界：优先用方程组求出取值范围的边界点，因一次函数最值多在边界处，减少无效计算。 2.判增减性：通过一次函数k值正负快速判断增减性，k正取右边界值，k负取左边界值，简化最值判断。 1．（2025八年级上·全国·专题练习）在学校开展的“劳动创造美好生活”的主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们约定每人养护1盆绿植．计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝的盆数不少于31．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元． (1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，则购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆． (2)购买两种绿植总费用的最小值为369元， 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一次函数的性质是解题的关键； （1）设绿萝x盆，吊兰y盆，根据总盆数和绿植的价格与预算经费可以得到方程组，即可得到绿植分别为几盆； （2）根据题干得出两种绿植的盆数关系，设购买两种绿植的费用为w，则可根据题干信息得到费用与绿植盆数的关系式，分析w随m的变化情况即可得到费用最小值. 【详解】（1）解：设购买绿萝x盆，吊兰y盆． 依题意，得 解得 ， 符合题意． 故购买绿萝38盆，吊兰8盆． （2）（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰盆， 购买两种绿植的总费用为w元． 依题意，得． 因为，所以随的增大而增大． 因为，且为整数，所以当时，取得最小值，最小值（元）． 故购买两种绿植总费用的最小值为369元， 2．（23-24八年级上·江西鹰潭·期末）某文具店销售甲、乙两种圆规，当销售5只甲种、1只乙种圆规，可获利润25元；当销售6只甲种、3只乙种圆规，可获利润39元． (1)问该文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是多少元？ (2)在（1）中，文具店共进货甲、乙两种圆规50只并全部销售完，已知甲种圆规至少能销售30只，请判断文具店如何进货才有最大利润，并求出利润的最大值． 【答案】(1)该文具店销售甲种圆规每只的利润为4元，销售乙种圆规每只的利润为5元． (2)进甲种圆规进30只，则乙种圆规进20只． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，理解题意确定相等关系是解本题的关键； （1）设销售甲种圆规的利润为x元/只，销售乙种圆规的利润为y元/只，根据“当销售5只甲种、1只乙种圆规，可获利润25元；当销售6只甲种、3只乙种圆规，可获利润39元”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种圆规进只，则乙种圆规进只，利润为元，再建立一次函数，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设销售甲种圆规的利润为x元/只，销售乙种圆规的利润为y元/只， 根据题意得：， 解得：， 答：该文具店销售甲种圆规每只的利润为4元，销售乙种圆规每只的利润为5元． （2）设甲种圆规进只，则乙种圆规进只，利润为元， ∴， ∵， ∴当时，获最大利润（元）， ∴进甲种圆规进30只，则乙种圆规进20只． 3．（2024·广东佛山·一模）某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元． (1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？ (2)若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元； (2)购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元； 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及一次函数的利润问题： （1）设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元，根据费用列方程组求解即可得到答案； （2）设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，根据费用等于单价乘以数量列函数，结合函数的性质求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元； （2）解：设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，则购买支B型口琴， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元． 4．（24-25八年级下·广西河池·期末）在某次体育文化艺术节中，学校学生会开展“爱心义卖”体验活动，准备A种笔记本和B种笔记本共100本．若售出3本A种笔记本和2本B种笔记本收入65元，售出4本A种笔记本和3个B种笔记本收入90元． (1)求A种笔记本和B种笔记本的价格； (2)已知A种笔记本数量不超过B种笔记本的3倍，则准备A种笔记本和B种笔记本各多少本的时候总收入最多？求总收入的最大值？ 【答案】(1)A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元； (2)准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元. 【分析】（1）设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元，根据题意列二元一次方程组求出x，y即可. （2）设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，根据题意列出关于m的不等式，求出m的范围.设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，根据题意列出w与m的函数关系式，根据函数的增减性求出w的最大值即可. 【详解】（1）设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元 ，    根据题意得 ， 解得 . 答：A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元 . （2）设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本， 根据题意得  ， 解得  . 设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元， 则 ， 即 ，   ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值， 最大值  ，     此时. 答：准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元 . 【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，以及根据一次函数的增减性解决实际问题.熟练掌握以上知识是解题的关键. 5．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种花卉，第一次分别购进A，B两种花卉30株和15株，共花费675元；第二次分别购进A，B两种花12株和5株，共花费265元（两次购进A，B两种花卉的价格均相同）． (1)A，B两种花卉每株的价格分别是多少元？ (2)若购买A，B两种花卉共30株，总费用为W元，购买A花m株，且A种花不少于10株． ①请写出W与m之间的函数关系式． ②求出总费用W的最小值． 【答案】(1)A，B两种花卉每株的价格分别是元，元 (2)①；②300 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组和函数表示式，是解题的关键： （1）设A，B两种花卉每株的价格分别是元，元，根据第一次分别购进A，B两种花卉30株和15株，共花费675元；第二次分别购进A，B两种花12株和5株，共花费265元；列出方程组，求解即可； （2）①根据总价等于单价乘以数量，总费用等于两种花卉的费用之和列出函数关系式即可； ②根据一次函数的增减性，求最值即可． 【详解】（1）解：设A，B两种花卉每株的价格分别是元，元，由题意，得： ，解得：； 答：A，B两种花卉每株的价格分别是元，元； （2）①由题意，得：； ②∵， ∴随的增大而增大， ∵A种花不少于10株， ∴， ∴当时，最小为． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 【答案】(1)A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元 (2)①；②，最大利润为1900元 【分析】(1)设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，根据购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元，列出方程组，解方程组即可； (2)①该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，购进A种礼品m个，B种礼品n个，结合（1）中求出的进价，得到购进A种礼品需要元，B种礼品需要元，列出二元一次方程，整理可得n关于m的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出W与m的关系式，根据W随m的变化情况及m的取值范围求最大利润即可． 本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，列出二元一次方程或方程组，一次函数关系式，并根据函数值的增减性和自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意得，， 解得， 故A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元；． （2）(2)①依题意得，， ∴． ②∵W表示所获得的利润， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最大值．即A礼品进货100件时，该店获利最大， 最大利润为， (元)． 7．（2025·陕西汉中·二模）剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共500套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸少8元，购进3套甲种剪纸和5套乙种剪纸共需96元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元/套？ (2)若甲种剪纸的售价为10元/套，乙种剪纸的售价为20元/套，设购进甲种剪纸装饰套，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润为元，求与之间的函数关系式，并求销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值． 【答案】(1)甲种剪纸的单价为元/套，乙种剪纸的单价为元/套 (2)与之间的函数关系式为,销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值为元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设这两种剪纸购进时的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润甲种剪纸的售价甲种剪纸的进价购进甲种剪纸的套数乙种剪纸的售价乙种剪纸的进价购进乙种剪纸的套数”写出与之间的函数关系式，并由一次函数的增减性和的取值范围求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种剪纸购进时的单价为元/套，乙种剪纸购进时的单价为元/套. 根据题意，得， 解得 答：甲种剪纸的单价为元/套，乙种剪纸的单价为元/套. （2）解：， ， ∴随的增大而减小， ， ∴当时，值最小，最小为元， 答：与之间的函数关系式为，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值为元. 8．（23-24八年级下·吉林长春·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元． (1)求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元； (2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值． 【答案】(1)《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元． (2)时，总费用w最小，为600元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式、一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元．根据“购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元．”列出方程组，即可求解； （2）根据“《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，”列出不等式，即可求出的取值范围，再列出费用关于的函数解析式，根据一次函数的性质求得最小值即可求解． 【详解】（1）解：设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元． 根据题意可得：， 解得， 答：《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元． （2）解：根据题意：，解得， ， ∵， ∴w随m增大而减小， ∴当时，w最小， （元） 答：时，总费用w最小，为600． 9．（2024·河南商丘·三模）当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升．某体育用品商店看准时机，第一次购入个排球和个足球共花费元．第二次购入个排球和个足球共花费元．商店将排球和足球以元个和元个的价格出售，前两次进货很快销售一空． (1)求每个排球和足球的进价． (2)该商店准备第三次购入排球和足球共个，根据市场需求，排球的购买个数不少于个且不超过个．购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过个时保持原价，超过个时超过的部分打八折．设第三次进货销售完的总利润为元（利润销售额成本），其中购进排球个． 求与的函数关系式； 商店为了回馈顾客，开展促销活动．将其中的（为正整数）个排球按元个，个足球按元个进行销售．若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于元，求的最大值． 【答案】(1)排球的进价为每个元，足球的进价为每个元； (2)；． 【分析】（）根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （）根据题意可以写出利润与的函数关系式， 根据的取值范围当，时和当时，及一次函数的性质，可以求得利润的最大值； 本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求的最大值． 【详解】（1）设排球的进价为每个元，足球的进价为每个元， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：排球的进价为每个元，足球的进价为每个元， （2）当时，， 当时， ， ∴ ， 当时，， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴， 解不等式，得； 当时， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴， 解不等式，得， ∵是正整数， ∴的最大值为， 答：的最大值为． 10．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 关于出票问题的探究 素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，位于蒸湘区的衡阳保利大剧院，每月都会在综合剧场（可容纳1200名观众）上演高品质的若干场剧目．按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率（）原则上不得超过． 素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，丰富居民群众的精神文化生活，蒸湘街道某社区通过民生微实事项目平台，联合衡阳保利大剧院联手推出惠民观剧活动、辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得！ 素材3 2025年4月20日的一场话剧推出、两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动、已知种票8张、种票6张、惠民票4张，共需2820元；购买2张种票比购买1张种票多出的费用，可购得惠民票2张． 问题解决 任务1 据悉，该话剧深受广大市民欢迎，上座人数恰好达到相关规定的上限，则这场话剧观剧人数有___________人． 任务2 设该话剧种票价元，种票价元，求出该话剧的种、种票价． 任务3 若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图所示函数图象（其中取正整数）．请写出该场话剧票务收入（、和惠民三种票的总收入）与的函数表达式，并指出当为何值时票务收入有最大值． 【答案】任务1：900人；任务2：种票价为220元，种票价为150元；任务3：，当时，W取得最大值，最大值为141000． 【分析】此题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数解析式是关键． 任务1：上座率（）原则上不得超过，且上座人数恰好达到相关规定的上限，据此求解即可； 任务2：种票8张、种票6张、惠民票4张，共需2820元；购买2张种票比购买1张种票多出的费用，可购得惠民票2张．据此列出方程组，即可求解； 任务3：先利用待定系数法求出y关于x的函数关系式，再列出话剧票务收入W与x的函数表达式，根据一次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：任务1：人， 即这场话剧观剧人数有900人； 任务2：根据题意得： ， 解得：， 答：该话剧的种票价为220元，种票价为150元； 任务3：设y与x的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， ∴ ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取得最大值，最大值为141000． 题型四 二元一次方程组与一次函数的几何图形问题 方法总结（两点） 1.几何转代数：根据图形（如直线、三角形）性质，确定一次函数表达式，联立得二元一次方程组，将图形问题转化为方程求解。 2.代数解几何：解方程组得交点坐标，再用坐标计算图形边长、面积等，完成几何量的求解。 解题技巧（两点） 1.巧用特殊点：优先找与坐标轴交点、顶点等特殊点，代入函数式列方程组，简化计算。 2.数形互验：求出结果后，结合图形直观特征验证（如边长为正），避免代数计算与几何实际脱节。 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点． (1)求，两点的坐标及的值． (2)如图2，若是直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点．设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________；（用含的代数式表示） ②在点运动的过程中，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①；②的坐标为或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数几何综合．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）对于，当时，得，求出．当时，得．解得：，求出． 所以把代入，即可求出． （2）①根据题意可得，根据轴，得点F的纵坐标为，将代入即可求出点F的横坐标为． ②分为当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，得． 当时，得．解得：． 所以，． 因为一次函数的图象经过点， 所以把代入，得． 解得：． （2）①根据题意可得， ∵轴， ∴点F的纵坐标为， 将代入得， 解得：， 即点F的横坐标为． ②因为，， 所以． 当点在点的右侧时，． 因为， 所以． 解得：． 所以点的坐标为． 当点在点的左侧时，． 因为，所以． 解得：． 所以点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）【观察探究】 （1）如图1，直线的函数表达式与直线交于轴上的一点，与轴交于点，点在轴正半轴上，，点为轴下方的直线上一点，连接． ①求直线的函数表达式； ②若面积是15，求点的坐标． 【实践应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，为某生态湿地公园的局部平面示意图．直线为一条木栈道，它与轴交于点，与轴交于点，直线是一条滨水景观步道，且所在直线的函数表达式为．点为直线上任意的点，过点作轴，为生态湿地公园的垂直观景走廊．为方便游客休息，公园管理部门需在坐标轴正半轴上设置一个休息点，使得构成以为底边的等腰直角三角形，请求出休息点的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，数学结合，分类讨论是解题的关键． （1）①根据一次函数图象的性质得到，结合题意得到，运用待定系数法即可求解； ②根据题意可得，则，结合列式求解即可； （2）根据等腰直角三角形的定义，结合图形分类讨论：若点在轴的正半轴；若点在轴的正半轴；根据一次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）①因为直线与轴交于点， 所以点坐标为， 因为点在轴正半轴上，， 所以， 设直线的函数表达式为， 因为直线过点，即， 所以， 又因为直线过点，即， 解得， 所以直线的函数表达式为． ②将代入，得， 所以， 因为， 所以， 所以， 由题意知，点在轴下方， 因为， 所以， 所以， 把代入，得， 所以． （2）若点在轴的正半轴，如图3， 因为直线的函数表达式为，点， 所以时，， 所以， 所以， 所以， 所以． 若点在轴的正半轴，如图4， 因为是以为底边的等腰直角三角形， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 综上所述，点的坐标为或． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；与直线交于点C，其中，C点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P是线段上的一动点（不与端点重合），过点P作轴交于点Q，过点Q向y轴作垂线，垂足为M，连接，若四边形的面积为8，求此时点P的坐标； (3)点E为直线上的一点，当时，直接写出所有符合条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)E点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）求出点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，由四边形的面积，求出即可求点坐标； （3）过点作轴交于点，在轴上取点，使，证明，可求，直线与直线的交点为；直线与轴交点为，作点关于直线的对称点，则，由对称可知，则，直线与直线的交点为． 【详解】（1）解：点横坐标为4， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设，则， ， 四边形的面积， 解得， ； （3）解：如图，过点C作轴交于N点， ∴， 在y轴上取点G，使， ∵， ∴， 在y轴右侧作， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得 所以直线的解析式为， 当时，解得， ∴． 作H点关于直线的对称点，过点作的垂线，过点作交于点， ， ， ， ， ， 则， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，解得， ∴． 综上所述，E点坐标为或． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）【问题探究】 （1）如图1，直线分别与x轴和y轴交于点A和点C，点在y轴上，连接． ①求直线的表达式； ②点P为直线上的动点，若，求点P的坐标； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标中，O为坐标原点，是小明家花园的示意图，其中点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，点C在y轴负半轴上，且米，米，小明现在准备在花园的边缘（即的边上）找一点P，连接，沿修一条小路，使得小路将分成面积比为的两部分，计划在一个区域种植郁金香，另一个区域种植牡丹，请求出直线的表达式．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①；②或；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，求一次函数解析式，一次函数与几何问题等知识． （1）①先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可． ②设点，然后分两种情况当点P在线段上时和当点P在的延长线上时，根据面积的和差关系求解即可． （2）先求出的面积为，再分两种情况，当时和当时，根据面积公式得出点P的横坐标，进而求出的解析式即可． 【详解】解：（1）①∵直线分别与x轴和y轴交于点A和点C， 当时，，当时，， ∴点，点， 设直线的表达式为， ∵直线过点， ∴， 又∵直线过点， ∴， 解得， 所以直线的表达式为． ②∵，，， ∴，， ∴， 设点， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 当点P在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：或． （2）由题意可得，，，，且， 的面积为， 当时， 则， 即， 解得， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 又∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴点P的坐标为， 此时直线的函数表达式为； 当时， 则， 即， 解得， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 又∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴点P的坐标为， 此时直线的函数表达式为， 综上，直线的函数表达式为或． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)如图1，点为射线上一动点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为射线上一动点，连接，将沿直线翻折得到．连接，若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作于点Q，过点C作于点M，于点N；利用面积分割法解答即可． （3）根据折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，分类解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，分割法求面积，折叠性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，折叠性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：过点， 故， 解得， ∴， 根据题意，得 ， 解得， ∴直线解析式为． 故一次函数的解析式为． （2）解：过点P作于点Q，过点C作于点M，于点N； ∵一次函数的解析式为， ∴． ∵， ∴， 根据题意，得的面积为， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴点； 故点P的坐标为． （3）解：当在x轴的下方时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点C作于点S，过点作，交的延长线于点R， 则四边形是矩形， ∴， 根据题意，得， ∴, ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵H在x轴的负半轴， ∴； 当在x轴的上方时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点C作于点T，交y轴于点N，过点C作于点M， 则四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴,， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵H在x轴的正半轴， ∴． 综上所述，或． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）【问题探究】 （1）在如图1所示的平面直角坐标系中，直线过点，且与直线交于点，直线与轴交于点． ①求直线的函数表达式； ②若的面积为9，且点在轴正半轴上，求点的坐标． 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，经过、两点的直线是某城市景观规划中的一条景观大道，它与轴正半轴上的点处的景观支线（轴）相连，景观设计部门计划在轴正半轴上找一个点，使得由点A、B、C所构成的（特色景观区域）为等腰三角形，求经过B、C两点的景观道路所在的直线的函数表达式． 【答案】（1）①；②；（2）或或 【分析】（1）①用待定系数法求直线的函数解析式； ②根据的面积为 9 可得的长，确定的长，可得结论； （2）分三种情况：①如图1，当时，②如图2，，③如图3，，利用待定系数法可得结论． 【详解】解：（1）①设直线的解析式为：， ∵直线过点、点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； ②∵的面积为 9 ， ， ， ， 或， 或． ∵点C在轴正半轴上， ∴． （2）分三种情况：①如图 1 ，当时， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； ②如图2，，∵轴， 同理可得直线的解析式为：； ③如图，∵轴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 同理可得直线的解析式为：； 综上，直线的解析式为：或或． 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． （1）求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是______，点A的坐标是______； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：______； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线，使，求直线的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）①，，②或；（3） 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）设直线与轴交于点，设，先求出，，根据，在中利用勾股定理建立方程求出的坐标，再由待定系数法求解函数解析式． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：，； ②如图所示，当点M在原点右边时，连接，， 由题意得， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：设直线与轴交于点，设， 对于直线：，当；，， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线，代入，， 则， 解得， ∴直线． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标； (3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）先求出点B坐标，再根据求出点A坐标，然后用待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出，再根据面积关系得到，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程求出m值，继而确定点C的坐标即可； （3）根据条件可得，分和两种情况分别画出图形，在根据全等三角形的性质确定点Q坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，即， ∴，即， 将点A坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 设点C的横坐标为m，则上边上的高为， ∴，解得：， ∵点C在直线上， ∴当时，，即； 当时，，即． ∴点C的坐标为或． （3）解：存在满足条件的点Q， ∵， ∴， ∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，. ①当时， ∴，即点P的横坐标为或， 如图： ∴点P的纵坐标为或， ∴点Q的坐标为或； ②当时，，即点P、Q的纵坐标为或， 如图所示： ∴点Q的坐标为或． 综上，点Q的坐标为或或或． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l与y轴交于点，与x轴交于点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形，其中，． (1)直线l对应的函数表达式是______，点C的坐标是______； (2)如图2，点D是的中点，点M是直线l上的一个动点，连接，求的最小值，并求出取最小值时点M的坐标； (3)点H在直线l上，x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数；并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的最小值为， (3)存在，有6个满足条件的点H，或或 【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，作轴于点，证明，求出点坐标即可； （2）作点关于直线的对称点，连接，则，求出直线的解析式，进行求出点的坐标，勾股定理求出的长即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设直线l的函数表达式为，把代入，得：，解得， ∴； 作轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作点关于直线的对称点，连接，则，， ∴当点在直线上时，的值最小， ∵直线垂直平分，， ∴点为的中点， ∵，点为的中点， ∴， 同（1）法可得直线的解析式为； 联立，解得， ∴即时，取最小值， 作轴，轴， ∴，， ∴的最小值为； （3）存在，有6个满足条件的点H，或或 由题，，直线l的解析式：； 若以A为直角顶点，，， 有以下①②两种情况： ①作轴，如图，同（1）法可得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，①情况下不动，H点移动到A下方，与①情况中的H关于对称的位置，也符合题意； 若以P为直角顶点，，，有以下③④两种情况： ③作轴，如图所示，P在直线左侧，设， 同法： ∴，，， ∴，代入得：，解得：， ∴． ④如图所示，P在直线右侧， 设，， ∴，，， ∴，代入得：， 解得：， ∴， 若以H为直角顶点，即，，有两种情况： ⑤即情况③的P点位置不动，过P作，此时P点坐标同③ ⑥即情况④的P点位置不动，过P作，此时P点坐标同④ 综上所述，有6个满足条件的点H； 3个满足条件的点P，分别是或或． 10．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点是线段上的一动点，连接、，点、分别是轴和轴上的两个动点，连接、、，当，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，连接，在轴是否存在动点，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标（写出其中一种情况的求解过程） 【答案】(1) (2)周长的最小值为 (3)或 【分析】对于（1），先求出点的坐标，再求出点的坐标，根据可得点，然后根据待定系数法求出直线的关系式； 对于（2），先连接，说明是的中线，是的中线，可得，再求出，然后根据求出，即可求出点P的坐标，接下来根据轴对称说明，此时达到最小值，最小值为的长度，最后根据勾股定理求出答案； 对于（3），先求出直线的关系式，可得点，进而求出直线的关系式， 第一种情况：作交x轴于点，即可求出直线的关系式，当求出点的坐标； 第二种情况：由上述可知，，作关于的对称直线交x轴于点M，可得平分，再作，，此时，接下来说明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，然后设，那么，根据勾股定理表示出，最后根据可得方程，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴点． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点． 设直线的关系式为，代入， ∴， 解得， ∴直线的关系式为； （2）解：连接，如图所示， 将代入直线得， ∴． ∵， ∴D点为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴． ∵， ∴． ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或． ∵点P是线段上一动点， ∴． 将代入直线，得， 解得， ∴点． 作点关于x，y轴的对称点，连接，交y轴于点E，交x轴于点F， ∴， ∴，此时达到最小值，最小值为的长度， 过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两线交于点Q，如图所示， ∴点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 综上，，的最小值为； （3）解：存在，或，理由如下： ∵将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴直线：， 当时，， ∴点， 设直线为，代入点， ∴， ∴， ∴直线为． 第一种情况：过点B作交x轴于点，如图所示， ∵， ∴， 设直线为，代入， ∴， ∴直线为， 当代入，得， ∴； 第二种情况：由第一种情况可知，,此时，作关于的对称直线交x轴于点M， ∴平分， 过点C作，交的延长线于点W，过点C作于点V，如图所示， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵点， ∴， ∴， ∴． 设，那么， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得（舍）或， ∴点． 综上所述，存在，点或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04二元一次方程组与一次函数问题四大题型 题型一利用二元一次方程组求一次函数的表达式 题型二两直线的交点与二元一次方程组解的关系 二元一次方程组与一次 函数问题四大题型 题型三二元一次方程组与一次函数的综合应用问题 题型四二元一次方程组与一次函数的几何图形问题 /00 点烫璃 题型一利用二元一次方程组求一次函数的表达式 啸方法 方法总结（两点） 1.确定形式：设一次函数表达式为*y=k心+b*(k≠0)，明确未知量为k和b。 2.列解方程组：将函数图像上两个点的坐标代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，求解得k和b, 代入表达式即可。 解题技巧（两点） 1选点技巧：优先选横、纵坐标为整数的点，如(0，a),简化计算，避免分数运算出错。 2.验证技巧：求出表达式后，将两点坐标代入验算，若等式成立则结果正确，确保解题无误。 1.(25-26八年级上安徽六安期中)己知一次函数的图象经过点(-2,3)和(1,6)，求这个函数的表达式. 2.(25-26八年级上福建三明·期中)已知一次函数的图象过A(4,-5),B(0,3)两点. (1)求这个一次函数的关系式： (2)试判断点P(-2,1)是否在这个一次函数的图象上. 3.(25-26八年级上吉林期中)已知一次函数的图象经过A(-1,0),B(1,2)两点. (1)求这个一次函数的关系式： (2)试判断点(2,3)是否在这个一次函数的图象上并说明理由. 4.(25-26八年级上安徽合肥期中)如图，已知一次函数y=x+b(k≠0)的图象经过4(-2，-2)，B(1,4)两点， 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 并且交x轴于点C,交y轴于点D, B D (1)求一次函数的解析式： (2)求△D0B的面积， 5.(25-26八年级上广西梧州期中)如图，已知直线y=x和y=+b分别记为l12,它们相交于点A. V 2o12戊4 (①)根据图上所给条件，求出2的解析式： (2)求出交点A的坐标 6.(25-26八年级上陕西西安期中)如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=kx+b(k≠0)与x轴交于点 46,0叭，与y轴交于点8，与直线马：y=x相交于点Mm》 B M∠12 (1)求直线的函数表达式： (2)点C为直线Z上一点，若△CM0的面积是△AM0面积的2倍，求点C的坐标. 7.(24-25八年级下·湖南长沙月考)如图，在直角坐标系中，0是坐标原点，直线CD分别与x轴和y轴交 于D、C两点，D、C两点的位置如图所示，直线AB分别与x轴和y轴交于A、B两点，且与直线CD交 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于点E. B A (I)求直线CD的解析式： (2)若点A、D关于y轴对称，OB=30C,求四边形A0CE的面积. 8.(25-26八年级上·安徽滁州期中)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为-1,2)，(2，-1，P是 y轴上的一点. A. B (I)若点P在直线AB上，求点P的坐标； (2)若SP4B=2S4OB,求点P的坐标. 9。(2526八年级上重庆期中)如图，直线4分别与y铺、X维、直线4：y= 二x+4交于A、B、C三点， 己知0A=3,0A=30B. A B A (1)求直线的表达式： (2)直线4上有一点P,满足S△PoB=3 SACOB,求点P的坐标 10.(25-26八年级上安徽淮北月考)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A4,0), 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B,直线分别与x轴、y轴交于点C,D,点C在点A的左边，且0C-01,直线4与直线交于点 E(1,2). 12 E 0 (1)求直线4与的函数表达式. (2)求BDE的面积 (3)在直线马上是否存在一点P,使得S.EP=3S.e？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 题型二两直线的交点与二元一次方程组解的关系 啸方法 方法总结（两点） 1.几何与代数对应：两条直线交点的*横、纵坐标*，就是它们对应的二元一次方程组的*解*；反之， 方程组的解也是两直线交点坐标。 2.求解交点步骤：联立两直线对应的二元一次方程，解方程组，得到的x、y值即为交点的横、纵坐标。 解题技巧（两点） 1.判断交点情况：若方程组有唯一解，两直线相交；无解则平行；无数解则重合，可快速预判结果。 2.简化计算技巧：解方程组时，优先用代入消元法或加减消元法消去系数简单的未知数，减少计算量。 1.(24-25八年级下.宁夏石嘴山阶段练习)一次函数y=3-x与y=3x-5的图象交点坐标是，它可 以看作是二元一次方程组 的解. 4 x= y-3x+3=0 2.(24-25八年级上陕西西安·期末)已知方程组 2y+3x-6=0的解为 3,则一次函数y=3x-3与 y=1 3 y=2x+3的交点P的坐标是 3.(24-25八年级下江苏南京·开学考试)图中两直线4与的交点P的坐标可以看成是方程组的解. 4/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y 3 P -3-2-9 1 2文 4.(25-26八年级上·安微安庆期中)两条直线y=2x-1和y=2x-3的位置关系为 由此可知， 方程组 2x-y=1 的解的情况为 2x-y=3 5.(24-25八年级上广东茂名期末)如图，直线4：y=x+1与直线：y=mx+n相交于点P,则方程组 y=x+1 的解是 y=mx+n 6.(25-26八年级上·安徽合肥期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-3x+2与y=kx-5的图象交 3x+y=2 于点A(a,1),则关于x,y的方程组 -y=5的解为 7.(25-26九年级上河北唐山开学考试)如图，己知直线y=ax+b和直线y=x交于点P,若二元一次方 y=kx 程组 的解为x、y,则x+y= y=ax+b y=ax+b y=kx 8.(24-25八年级上全国·课后作业)以方程2x-3y=6的解(x,y)为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；以方程x+y=4的解(x,y)为坐标的所有点组成的图形是函数的图象；用函数观点看，解 2x-3y=6, 方程组 x+y=4 的含义是解得当自变量取时，函数 和函数 有相同的函数 值 5/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(24-25九年级上·全国期末)如图，一次函数y=+b与正比例函数y=2x的图象交于点A,则关于x, y=kx+b y的方程组 y=2x 的解为」 /y=2x 6 3 y=kx+b x-y-b=0 x=2 10.（25-26八年级上·全国课前预习)已知关于x,y的方程组 2x+y-3=0的解是 y=-1 则直线y=x-b与 直线y=-2x+3的交点坐标是 题型三二元一次方程组与一次函数的综合应用问题 妹方法 方法总结（两点） 1构建模型：根据题意确定自变量取值范围，建立目标一次函数与约束条件的二元一次方程组，明确最值求 解方向。 2求最值：先解方程组得关键节点坐标，再结合一次函数增减性，在取值范围内计算月标函数的最大或最小 值。 解题技巧（两点） 1抓约束边界：优先用方程组求出取值范围的边界点，因一次函数最值多在边界处，减少无效计算。 2判增减性：通过一次函数k值正负快速判断增减性，k正取右边界值，k负取左边界值，简化最值判断。 1.(2025八年级上全国.专题练习)在学校开展的“劳动创造美好生活的主题活动中，八(1)班负责校园 某绿化角的设计、种植与养护，同学们约定每人养护1盆绿植.计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且 绿萝的盆数不少于31.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元. (1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，则购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值。 2.(23-24八年级上江西鹰潭·期末)某文具店销售甲、乙两种圆规，当销售5只甲种、1只乙种圆规，可 获利润25元；当销售6只甲种、3只乙种圆规，可获利润39元. (1)问该文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是多少元？ (2)在(1)中，文具店共进货甲、乙两种圆规50只并全部销售完，己知甲种圆规至少能销售30只，请判断 文具店如何进货才有最大利润，并求出利润的最大值 6/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2024广东佛山一模)某校口琴社团准备购买A,B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型 口琴和1支B型口琴共需100元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需110元. (1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？ (2)若该校口琴社团需购买A,B两种型号的口琴共30支，其中A型口琴不超过16支，购买口琴的总费用是 否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由. 4.(24-25八年级下·广西河池·期末)在某次体育文化艺术节中，学校学生会开展“爱心义卖”体验活动，准 备A种笔记本和B种笔记本共100本.若售出3本A种笔记本和2本B种笔记本收入65元，售出4本A 种笔记本和3个B种笔记本收入90元 (I)求A种笔记本和B种笔记本的价格； (②)已知A种笔记本数量不超过B种笔记本的3倍，则准备A种笔记本和B种笔记本各多少本的时候总收入 最多？求总收入的最大值？ 5.(23-24八年级下·河北唐山阶段练习)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A,B两种花卉，第一次 分别购进A,B两种花卉30株和15株，共花费675元；第二次分别购进A,B两种花12株和5株，共花 费265元（两次购进A,B两种花卉的价格均相同). (1)A,B两种花卉每株的价格分别是多少元？ (2)若购买A,B两种花卉共30株，总费用为W元，购买A花m株，且A种花不少于10株. ①请写出W与m之间的函数关系式. ②求出总费用W的最小值 6.（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末)某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知 购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. ()(列二元一次方程组)求A,B两种礼品每件的进价 (2)该店计划将5000元全部用于购进A,B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件。 ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为 35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值 7.(2025陕西汉中二模)剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗 活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一，某 商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共500套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种 剪纸少8元，购进3套甲种剪纸和5套乙种剪纸共需96元. 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元/套？ (2)若甲种剪纸的售价为10元/套，乙种剪纸的售价为20元/套，设购进甲种剪纸装饰x套(x≤80)，销售完 甲、乙两种剪纸装饰所得利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利 润的最小值， 8.(23-24八年级下·吉林长春·期中)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发， 让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物.已知购 买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元. (1)求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元： (2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍， 设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小 值。 9.(2024河南商丘三模)当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升.某体育用品 商店看准时机，第一次购入30个排球和70个足球共花费4550元.第二次购入60个排球和40个足球共花费 4100元.商店将排球和足球以50元/个和70元/个的价格出售，前两次进货很快销售一空. ()求每个排球和足球的进价， (2)该商店准备第三次购入排球和足球共200个，根据市场需求，排球的购买个数不少于40个且不超过100个. 购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过50个时保持原价，超过50个时超过的部分打八折. 设第三次进货销售完的总利润为w元（利润=销售额一成本），其中购进排球x个. ①求w与x的函数关系式； ②商店为了回馈顾客，开展促销活动.将其中的m(m为正整数)个排球按30元/个，3m个足球按50元/ 个进行销售.若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于3000元，求m的最大值. 10.(24-25九年级下·湖南衡阳·期中)请根据以下素材，完成探究任务， 关于出票问题的探究 素 为提升市民审美品味和高雅文化消费，位于蒸湘区的衡阳保利大剧院，每月都会在 材 综合剧场（可容纳1200名观众）上演高品质的若干场剧目.按文化和旅游部的相 观剧人数 关规定，剧院等演出场所的上座率( 剧院座位数 ×100%)原则上不得超过75%. 素 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，丰富居民群众的精神文化 8/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 材 生活，蒸湘街道某社区通过民生微实事项目平台，联合衡阳保利大剧院联手推出惠 2 民观剧活动、辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数 量有限，先购先得！ 素 2025年4月20日的一场话剧推出A、B两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购 材 票活动、已知A种票8张、B种票6张、惠民票4张，共需2820元：购买2张B种 票比购买1张A种票多出的费用，可购得惠民票2张， 问题解决 任 据悉，该话剧深受广大市民欢迎，上座人数恰好达到相关规定的上限，则这场话剧 务 观剧人数有 任 务 设该话剧A种票价Q元，B种票价b元，求出该话剧的A种、B种票价。 2 若A种票的持票人数y与B种票的持票人数x满足如图所示函数图象（其中x取正 整数).请写出该场话剧票务收入W(A、B和惠民三种票的总收入)与x的函数 表达式，并指出当x为何值时票务收入W有最大值. 任 多 500H 400 300 200 100 可100200300400500 题型四二元一次方程组与一次函数的几何图形问题 9/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 啸方法 方法总结（两点） 1.几何转代数：根据图形（如直线、三角形）性质，确定一次函数表达式，联立得二元一次方程组，将图形 问题转化为方程求解。 2代数解几何：解方程组得交点坐标，再用坐标计算图形边长、面积等，完成几何量的求解。 解题技巧（两点） 1巧用特殊点：优先找与坐标轴交点、顶点等特殊点，代入函数式列方程组，简化计算。 2数形互验：求出结果后，结合图形直观特征验证（如边长为正），避免代数计算与几何实际脱节。 1.(25-26八年级上山西运城期中)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4的图象分别交x轴，y轴于点A,B,一次函数 y=kx+2的图象经过点C(-4,0),并与y轴交于点D. VA V B 图1 图2 (I)求A,B两点的坐标及k的值. (②)如图2，若E是直线AB上的一个动点，过点E作x轴的平行线，交直线CD于点F.设点E的横坐标为 m ①点F的横坐标为 ;(用含m的代数式表示) ②在点E运动的过程中，当EF=!4AC时，求点E的坐标。 2 2.(25-26八年级上陕西渭南期中)【观察探究】 (1)如图1，直线AB的函数表达式y=2x+4与直线AC交于y轴上的一点A,与x轴交于点B,点C在x轴 正半轴上，OC=3,点D为x轴下方的直线AB上一点，连接CD. ①求直线AC的函数表达式； ②若△ACD面积是15，求点D的坐标. 【实践应用】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，ABC为某生态湿地公园的局部平面示意图.直线AB为一条木栈道， 它与y轴交于点A,与x轴交于点B(-1,0),直线AC是一条滨水景观步道，且AC所在直线的函数表达式 10/15