第四章 一次函数解答题专练：进阶关 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数及其应用，通过10道解答题构建"概念-图像-建模"三阶训练体系，强化几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数基础|3题（1/9/10）|求解析式/交点/函数值|从概念（自变量/因变量）到表达式推导，建立"已知点→关系式"逻辑链| |图像应用|4题（4/5/7/8）|图像分析/性质判断|通过函数图像直观理解增减性、最值，培养从图形提取信息的数学眼光| |实际建模|3题（2/3/6）|行程/弹簧/气温问题|以实际情境为载体，构建"问题→函数模型→求解"思维路径，发展应用意识|

解答题专练：进阶关 1．如图，已知直线l1：y＝kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2：y＝x+3与x轴交于点C，与y轴交于点D，且与l1交于点P（1，n）． （1）直接写出：n＝　 　 ；k＝　 　 ； （2）求△APC的面积； （3）点M是线段PC上的一个动点（不与P、C重合），过点M作MN∥y轴交直线l3于点N．设点M的横坐标为m，线段MN的长度为d，求当d＝6时，点M的坐标． 2．小杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．如图是他本次上学离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小杰家到学校的距离是　 　 米，书店到学校的距离是　 　 米． （2）小杰在书店停留了　 　 分钟，本次上学途中，小杰一共行驶了　 　 米． （3）在整个上学的途中哪个时间段小杰骑车速度最快？最快的速度是多少？ （4）如果小杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟，本次上学比往常多用了多少分钟． 3．在一次试验中，老师把一根弹簧测力计的上端固定，在其下端悬挂物体（在弹性限度内），测得弹簧测力计的长度y（cm）随所挂物体的质量x（kg）变化关系的图象如图所示． （1）根据图象信息补全下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 … y/cm 8 10 12 14 16 　 　 … （2）写出所挂物体质量在0kg至5kg时弹簧测力计长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式； （3）结合图象，写出弹簧测力计长度是怎样随所挂物体质量的变化而变化的． 4．某地区一天的气温T（℃）随时间t（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）气温T是时间t的函数吗？请说明理由； （2）该地区这天什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ 5．如图是小西骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系． （1）在这个变化过程中自变量是　 　 ，因变量是　 　 ； （2）小西　 　 时到达离家最远的地方，此时离家　 　 km； （3）问小西几时与家相距20km？ 6．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 气温t（℃） 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10 根据表格，回答以下问题： （1）写出海拔高度11千米以内，气温t与海拔高度h的关系式：　 　 ； （2）当气温是﹣22℃时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15km时，求气温是多少？ 7．根据学习函数图象的经验，数学社团对函数y＝|x﹣1|开展了数学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务． （1）函数y＝|x﹣1|自变量x的取值范围是　 　 ． （2）①函数y＝|x﹣1|中x、y部分对应值如表，其中a＝　 　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y＝|x﹣1| … 3 a 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． （3）结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：　 　 ． 8．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑．甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整）．根据图中信息，解答下列问题． （1）在上述变化过程中，自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ． （2）甲的速度为 　 　 米/秒，乙的速度为 　 　 米/秒． （3）当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 9．已知一次函数y＝2x+4，完成下列问题： （1）其图象与x轴交点A的坐标为（　 　 ），与y轴交点B的坐标为（　 　 ）； （2）画出该函数的图象，并根据图象回答： ①当x　 　 时，y＞0； ②当x≥﹣1时，y的取值范围为　 　 ； ③当﹣3＜x≤0时，y的取值范围　 　 ． 10．已知y与x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝2． （1）求y与x的函数表达式； （2）若点（5，m）在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 答案解析 1．如图，已知直线l1：y＝kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2：y＝x+3与x轴交于点C，与y轴交于点D，且与l1交于点P（1，n）． （1）直接写出：n＝　4　 ；k＝　﹣2　 ； （2）求△APC的面积； （3）点M是线段PC上的一个动点（不与P、C重合），过点M作MN∥y轴交直线l3于点N．设点M的横坐标为m，线段MN的长度为d，求当d＝6时，点M的坐标． 【答案】（1）4；﹣2； （2）△APC的面积为12； （3）点M的坐标为（﹣1，2）． 【解答】解：（1）∵点P（1，n）在直线y＝x+3上， ∴n＝1+3＝4， 已知直线l1：y＝kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴B点的坐标为（0，6）， 把点P的坐标代入y＝kx+6，得k+6＝4， 解得k＝﹣2， ∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝﹣2x+6； 故答案为：4；﹣2； （2）由（1）知直线l1的解析式为y＝﹣2x+6， 令y＝0， 得﹣2x+6＝0， 解得x＝3， ∴A（3，0）， 对于直线l2：y＝x+3， 令y＝0， 得x+3＝0， 解得x＝﹣3， ∴C（﹣3，0）， ∴AC＝3﹣（﹣3）＝6， ∵P（1，4）， ∴△APC的高为4， ∴S△APCAC×46×4＝12， 答：△APC的面积为12； （3）∵点M在直线l2上，横坐标为m， ∴M（m，m+3）， ∵MN∥y轴，且点N在直线l1上， ∴N（m，﹣2m+6）， ∴d＝MN＝|（m+3）﹣（﹣2m+6）|＝|3m﹣3|， ∵d＝6， ∴|3m﹣3|＝6， 解得m＝3或m＝﹣1， ∵点M在线段PC上，且P（1，4），C（﹣3，0）， ∴﹣3＜m＜1， ∴m＝3不合题意，舍去； ∴m＝﹣1， 当m＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2， ∴点M的坐标为（﹣1，2）． 2．小杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．如图是他本次上学离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小杰家到学校的距离是　1500　 米，书店到学校的距离是　900　 米． （2）小杰在书店停留了　4　 分钟，本次上学途中，小杰一共行驶了　2700　 米． （3）在整个上学的途中哪个时间段小杰骑车速度最快？最快的速度是多少？ （4）如果小杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟，本次上学比往常多用了多少分钟． 【答案】（1）1500；900； （2）4，2700； （3）在整个上学的途中12分钟到14分钟时段小杰骑车速度最快，最快的速度是450米/分； （4）上学比往常多用6.5分钟． 【解答】解：（1）小杰家到学校的距离是：1500米，书店到学校的距离是1500﹣600＝900（米）， 故答案为：1500；900； （2）小杰在书店停留了12﹣8＝4（分钟）， 本次上学途中，小杰一共行驶了：1200+600+900＝2700（m）； 故答案为：4，2700； （3）根据题意可得：1200÷6＝200（米/分）； （1200﹣600）÷（8﹣6）＝300（米/分）； （1500﹣600）÷（14﹣12）＝450（米/分）； 所以在整个上学的途中12分钟到14分钟时段小杰骑车速度最快，最快的速度是450米/分； （4）1500÷200＝7.5（分钟）， 14﹣7.5＝6.5（分钟）， 所以小杰以往常的速度去学校，需要7.5分钟， 本次上学比往常多用6.5分钟． 3．在一次试验中，老师把一根弹簧测力计的上端固定，在其下端悬挂物体（在弹性限度内），测得弹簧测力计的长度y（cm）随所挂物体的质量x（kg）变化关系的图象如图所示． （1）根据图象信息补全下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 … y/cm 8 10 12 14 16 　18　 … （2）写出所挂物体质量在0kg至5kg时弹簧测力计长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式； （3）结合图象，写出弹簧测力计长度是怎样随所挂物体质量的变化而变化的． 【答案】（1）18； （2）y＝2x+8（0≤x≤5）； （3）当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm． 【解答】解：（1）由题意可知，当x＝5时，y＝16+2＝18， 故答案为：18； （2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm， 根据弹簧的长度＝弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y＝2x+8（0≤x≤5）； （3）由图象可知，当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm． 4．某地区一天的气温T（℃）随时间t（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）气温T是时间t的函数吗？请说明理由； （2）该地区这天什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ 【答案】（1）气温T是时间t的函数，理由如下： 由所给图象可知， 对于时间t的每一个取值，总有唯一的气温T的值与之对应， 所以气温T是时间t的函数； （2）该地区14时的气温最高，为10℃；4时的气温最低，为﹣2℃． 【解答】解：（1）气温T是时间t的函数，理由如下： 由所给图象可知， 对于时间t的每一个取值，总有唯一的气温T的值与之对应， 所以气温T是时间t的函数； （2）由函数图象可知， 该地区14时的气温最高，为10℃；4时的气温最低，为﹣2℃． 5．如图是小西骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系． （1）在这个变化过程中自变量是　离家时间t ，因变量是　离家距离s ； （2）小西　2　 时到达离家最远的地方，此时离家　30　 km； （3）问小西几时与家相距20km？ 【答案】（1）离家时间t，离家距离s； （2）2，30； （3）1.5h或4h． 【解答】解：（1）由题中图象可知，在这个变化过程中自变量是离家时间t，因变量是离家距离s， 故答案为：离家时间t，离家距离s； （2）由图象可知，当t＝2时，s＝30， 即小西2时到达离家最远的地方，此时离家30km， 故答案为：2，30； （3）如图所示： 由题意可得： ， ∴， ∴AB所在直线的表达式为s＝20t﹣10， 当s＝20时，20＝20t﹣10，解得； 在返回过程中，当t＝4时，s＝20； 综上所述，小西1.5h或4h与家相距20km． 6．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 气温t（℃） 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10 根据表格，回答以下问题： （1）写出海拔高度11千米以内，气温t与海拔高度h的关系式：t＝20﹣6h（0≤h≤11）　 ； （2）当气温是﹣22℃时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15km时，求气温是多少？ 【答案】（1）t＝20﹣6h（0≤h≤11）； （2）当气温为﹣22℃时，海拔高度是7千米；当海拔高度为15km时，气温是﹣46℃． 【解答】解：（1）由表格中两个变量对应值的变化规律可知，海拔高度每升高1千米，气温就降低6℃， ∴气温t与海拔高度h的关系式为t＝20﹣6h（0≤h≤11）， 故答案为：t＝20﹣6h（0≤h≤11）； （2）当t＝﹣22时，由﹣22＝20﹣6h，解得h＝7； ∵海拔高度超过11千米，气温几乎不变， ∴当海拔高度为15km时，气温与海拔高度为11km时相同， 将h＝11代入t＝20﹣6h（0≤h≤11），则t＝20﹣6×11＝﹣46， 答：当气温为﹣22℃时，海拔高度是7千米；当海拔高度为15km时，气温是﹣46℃． 7．根据学习函数图象的经验，数学社团对函数y＝|x﹣1|开展了数学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务． （1）函数y＝|x﹣1|自变量x的取值范围是　全体实数　 ． （2）①函数y＝|x﹣1|中x、y部分对应值如表，其中a＝　2　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y＝|x﹣1| … 3 a 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． （3）结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：　当x＜1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大　 ． 【答案】解：（1）全体实数； （2）①2； ② （3）当x＜1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大． 【解答】解：（1）由题意得，函数y＝|x﹣1|自变量x的取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数； （2）①在y＝|x﹣1|中，当x＝﹣1时，y＝|﹣1﹣1|＝2，即a＝2， 故答案为：2； ②如图1，即为所求； （3）由函数图象可得，当x＜1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大； 故答案为：当x＜1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大． 8．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑．甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整）．根据图中信息，解答下列问题． （1）在上述变化过程中，自变量是 　甲出发的时间t ，因变量是 　因变量为距起点的距离s ． （2）甲的速度为 　6　 米/秒，乙的速度为 　　 米/秒． （3）当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】（1）甲出发的时间t；距起点的距离s； （2）6；； （3）225米． 【解答】解：（1）观察函数图象可得出：自变量为甲出发的时间t，因变量为距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；距起点的距离s； （2）乙的速度为：（600﹣100）÷150（米/秒）； 甲的速度为：600÷100＝6（米/秒）． 故答案为：6；； （3）设t秒时，甲第一次追上乙， 根据题意得6t＝100t，解得t， 则6＝225（米）， 所以当甲追上乙时，求甲距起点的距离为225米． 9．已知一次函数y＝2x+4，完成下列问题： （1）其图象与x轴交点A的坐标为（　（﹣2，0）　 ），与y轴交点B的坐标为（　（0，4）　 ）； （2）画出该函数的图象，并根据图象回答： ①当x　＞﹣2　 时，y＞0； ②当x≥﹣1时，y的取值范围为y≥2　 ； ③当﹣3＜x≤0时，y的取值范围　﹣2＜y≤4　 ． 【答案】（1）（﹣2，0），（0，4）； （2） ①＞﹣2； ②y≥2； ③﹣2＜y≤4． 【解答】解：（1）令y＝0，则2x+4＝0，解得x＝﹣2； 令x＝0，则y＝4， ∴图象与x轴交点A的坐标为（﹣2，0），与y轴交点B的坐标为（0，4）． 故答案为：（﹣2，0），（0，4）； （2）函数图象如图： ①由函数图象可知，当x＞﹣2时，y＞0， 故答案为：＞﹣2； ②由函数图象可知，当x≥﹣1时，y的取值范围为y≥2， 故答案为：y≥2； ③由函数图象可知，当﹣3＜x≤0时，y的取值范围是﹣2＜y≤4． 故答案为：﹣2＜y≤4． 10．已知y与x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝2． （1）求y与x的函数表达式； （2）若点（5，m）在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【答案】（1）y＝2x﹣4； （2）m＝6． 【解答】解：（1）根据题意设y与x﹣2的函数表达式为y＝k（x﹣2）（k≠0）， 则k（3﹣2）＝2， ∴k＝2， ∴y与x的函数表达式为y＝2（x﹣2）＝2x﹣4； （2）∵点（5，m）在y＝2x﹣4的函数图象上， ∴m＝2×5﹣4＝6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 14:55:06；用户：孔浩；邮箱：15269199390；学号：25245241 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $