-第五章 二元一次方程组-解答题专练（进阶关）：方程组的应用 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组应用，通过15道实际情境应用题构建从问题抽象到模型建立的完整逻辑链，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程组应用|12题（如1-5题）|含销售、古代数学、配套问题|从实际问题中提取等量关系，抽象为二元一次方程组求解| |综合应用|3题（如6、9、15题）|涉及不等式、分段计费、方案设计|在方程基础上拓展变量限制条件，培养运算能力与推理意识|

第二关：进阶关 1．为实现乡村振兴战略，解决山区老百姓优质土特产销售问题，某地政府帮助小强家开通了网络商店（简称“网店”），将红枣，小米等土特产迅速销往全国，已知相关的销售信息如下：今年前3个月，该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元．问：这3个月该网店销售红枣和小米多少袋？ 红枣 小米 规格/（kg/袋） 1 2 成本/（元/袋） 40 38 售价/（元/袋） 60 54 【答案】这3个月小明家网点销售红枣1500袋，小米750袋． 【解答】解：设这3个月该网店销售红枣x袋，小米y袋， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 即这3个月小明家网点销售红枣1500袋，小米750袋， 答：这3个月小明家网点销售红枣1500袋，小米750袋． 2．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了25钱． 【解答】解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得：， 解得：． 答：甲带了钱，乙带了25钱． 3．为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张18元，有效期为1天；三日票每张44元，有效期为连续3天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续5天和连续7天．已知组合购买2张三日票、1张五日票和1张七日票，或者组合购买1张一日票、2张五日票和1张七日票，总费用都是248元，求1张五日票的票价和1张七日票的票价． 【答案】1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元． 【解答】解：设1张五日票的票价为x元，1张七日票的票价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元． 4．六一儿童节临近，某玩具厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成节日礼盒．每个礼盒内搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米布料生产这批礼盒（不考虑布料损耗），使得制作的玩偶恰好配套．工厂玩偶批发给商场时每个玩偶A获利16元，每个玩偶B获利12元． （1）计划分别用多少米布料生产玩偶A、玩偶B？ （2）由于玩偶B更受市场欢迎，商场需求调整：除配套礼盒外，还需若干玩偶B进行单独售卖．工厂调整生产方案，从计划做玩偶A的布料中调出部分布料改做玩偶B，调整后这批布料生产的玩偶总获利将比原来增加180元．求从生产玩偶A的布料中调出多少米布料改做玩偶B？ 【答案】（1）计划用90米布料生产玩偶A，45米布料生产玩偶B； （2）从生产玩偶A的布料中调出9米布料改做玩偶B． 【解答】解：（1）设计划用x米布料生产玩偶A，y米布料生产玩偶B， 根据题意得：， 解得：． 答：计划用90米布料生产玩偶A，45米布料生产玩偶B； （2）设从生产玩偶A的布料中调出m米布料改做玩偶B， 根据题意得：16（90﹣m）+12×3（45+m）﹣（16×90+12×3×45）＝180， 解得：m＝9． 答：从生产玩偶A的布料中调出9米布料改做玩偶B． 5．两摞规格完全相同的书整齐摆放在讲台上，左边一摞有3本，右边一摞有6本，团团经过测量画出图． （1）若x本书整齐摆放在讲台上，求这一摞书的顶部距离地面的高度y（单位：cm）与x的关系式； （2）若45本书整齐摆放在讲台上，团团从中取走13本书，求余下的课本的顶部距离地面的高度． 【答案】（1）y＝0.5x+85； （2）余下的课本的顶部距离地面的高度为101cm． 【解答】解：（1）设这一摞书的顶部距离地面的高度y（单位：cm）与x的关系式为y＝kx+b， 把x＝3，y＝86.5；x＝6，y＝88代入，得， 解得：， 所以这一摞书的顶部距离地面的高度y（单位：cm）与x的关系式为y＝0.5x+85． （2）剩余书的本数为45﹣13＝32（本）， 当x＝32时，y＝0.5x+85 ＝0.5×32+85 ＝16+85 ＝101， 答：余下的课本的顶部距离地面的高度为101cm． 6．辐射诱变育种，又称辐射育种或核能育种，是指利用X射线、γ射线、中子、离子束或电子束等电离辐射照射植物种子、植株或其他生物材料，诱发其遗传物质（DNA）发生可遗传的突变，进而从中筛选和培育具有高产、早熟、抗病、抗逆、优质等优良性状新品种的一种育种方法．我国培育成功的辐射诱变育种盆栽新品彩叶草价格为29元/盆，精品盆栽菊花价格为99元/盆． （1）某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，请计算购买新品彩叶草和精品盆栽菊花的盆数． （2）若该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，所需购买两种盆栽的总数仍为200盆，则最多可购买精品盆栽菊花多少盆？ 【答案】（1）购买新品彩叶草140盆，购买精品盆栽菊花60盆； （2）45盆． 【解答】解：（1）设购买新品彩叶草x盆，购买精品盆栽菊花y盆．根据题意可得： ， 解得， 答：购买新品彩叶草140盆，购买精品盆栽菊花60盆． （2）设购买精品盆栽菊花m盆，根据题意可得： 99m+29（200﹣m）≤9000， 解得． 答：最多可购买精品盆栽菊花45盆． 7．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、标价如表： 型号 进价（元/只） 标价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按标价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯按标价的九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按标价售出了多少只？ 【答案】（1）该商店购进60只甲型号节能灯，40只乙型号节能灯； （2）乙型号节能灯按标价售出了10只． 【解答】解：（1）设该商店购进x只甲型号节能灯，y只乙型号节能灯， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店购进60只甲型号节能灯，40只乙型号节能灯； （2）设乙型号节能灯按标价售出了m只，则按标价的九折售出了（40﹣m）只， 根据题意得：25×60+40m+40×0.9（40﹣m）﹣2600＝380， 解得：m＝10． 答：乙型号节能灯按标价售出了10只． 8．某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率如表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤：第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ 【答案】第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅． 【解答】解：设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅， 由题意列二元一次方程组可得：， 解得． 答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅． 9．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a，b的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意可得， ， 解得，， 即a的值是2.2，b的值是4.2； （2）设小王家6月份用水x吨， 根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116， ∵184＞116， ∴小王家6月份计划用水超过了30吨 ∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184， 解得，x＝40 即小王家6月份用水量40吨． 声明：试题解析著作权属所有 10．2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡，身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了770kJ能量和9g蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 280kJ 210kJ 蛋白质 3g 3g 脂肪 3.6g 2.5g 碳水化合物 5.6g 1.7g 钙 130mg 5mg （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为40g～80g．若小宇这天已经从其他食品中摄入了70g脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】（1）小宇这天食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份． （2）小宇的脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）可知小宇食用A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份． ∴从两款食品中摄入的脂肪总量为2×3.6+1×2.5＝9.7（g）， ∴小宇这天总脂肪摄入量为70+9.7＝79.7（g）， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为40g∼80g，且40＜79.7＜80， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 【解答】解：（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份， 由题意得， 解得， 答：小宇这天食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份． （2）小宇的脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）可知小宇食用A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份． ∴从两款食品中摄入的脂肪总量为2×3.6+1×2.5＝9.7（g）， ∴小宇这天总脂肪摄入量为70+9.7＝79.7（g）， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为40g∼80g，且40＜79.7＜80， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 11．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 （1）该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件？ （2）该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售？ 【答案】（1）该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件； （2）9折． 【解答】解：（1）设该商店第一次购进“湘湘”挂件x件，“超超”摆件y件． 依题意得， 解得 答：该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件． （2）设第二次销售时“超超”摆件是按原价打a折销售的，则 ， 解得a＝9， 答：第二次销售时“超超”摆件是按原价打9折销售的． 12．某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 12 20 售价（元/件） 19 30 （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的50%）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】（1）该超市第一次购进150件甲商品，65件乙商品； （2）以五折售出的乙商品有120件． 【解答】解：（1）设该超市第一次购进x件甲商品，y件乙商品， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市第一次购进150件甲商品，65件乙商品； （2）设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为（65×4﹣m）件， 根据题意得：（19﹣12）×150+（30﹣20）（65×4﹣m）+（30×0.5﹣20）m＝1850， 解得：m＝120． 答：以五折售出的乙商品有120件． 13．某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 （1）若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】（1）班委购买了书签50个、卡通笔30个 （2）共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个 【解答】解：（1）设班委购买了书签x个、卡通笔y个， ∴， 解得， 答：班委购买了书签50个、卡通笔30个． （2）设购买书签a（a＞30）个，卡通笔b（b≥50）个， 4×30+3.2（a﹣30）+2b﹣10＝266， 120+3.2a﹣96+2b﹣10＝266， ∴． ∵a，b是正整数，且a＞30，b≥50， ∴或或， 共有3种购买方案： 方案1：购买书签35个、卡通笔70个； 方案2：购买书签40个、卡通笔62个； 方案3：购买书签45个、卡通笔54个． 14．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） m m﹣20 售价（元/个） 140 100 （1）求m的值； （2）店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润＝售价﹣进价） 【答案】（1）m＝100； （2）购进甲种型号篮球5个，乙种型号篮球15个． 【解答】解：（1）6m+5（m﹣20）＝1000， 解得m＝100； （2）设购进甲种型号篮球x个，乙种型号篮球y个． ， 解得， 经检验，符合题意． 答：购进甲种型号篮球5个，乙种型号篮球15个． 15．某水果批发市场香蕉的价格如表； 购买香蕉数（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 某人两次共购买香蕉50千克（第二次购买的数量多于第一次），共付款264元，他第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 【答案】第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克． 【解答】解：设张强第一次购买香蕉x千克，则第二次购买香蕉（50﹣x）千克， 当0＜x＜10时， 6x+4（50﹣x）＝264， 解得x＝32（不符合题意，舍去）； 当10≤x＜20时， 6x+5（50﹣x）＝264， 解得x＝14， ∴50﹣x＝36； 当20≤x＜25时， 5x+5（50﹣x）＝264， 此时x无解； 由上可得，第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克． 16．能量胶是长跑运动员常用的补给品，能快速为身体补充碳水化合物、电解质等，及时缓解疲劳，维持运动表现，助力运动员完成长距离赛事．某长跑团队为运动员准备了A、B两种能量胶，每种能量胶的营养成分如表所示： 能量 碳水化合物（克） 热量（千卡） 钠（毫克） 钾（毫克） A ？ 120 35 20 B ？ 90 40 15 （1）教练发现7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克，每支A、B能量胶中各含有碳水化合物多少克？ （2）依据运动营养学建议，运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克．在某次长距离训练前，运动员可携带5支能量胶，为符合标准，应如何安排携带方案？并求出对应的碳水化合物总量．（注：A，B两种能量胶必须均携带） 【答案】（1）每支A、B能量胶中各含有碳水化合物18克，14克； （2）A种能量胶携带4支，B种能量胶携带1支，对应的碳水化合物总量为86克． 【解答】解：（1）设每支A、B能量胶中各含有碳水化合物m克、n克， ， 解得， 答：每支A、B能量胶中各含有碳水化合物18克，14克； （2）设携带A种能量胶x支， 则18x+14（5﹣x）≥85， 解得：x≥3.75， 又x为整数， ∴x只能取4， ∴A种能量胶携带4支，B种能量胶携带1支； 对应的碳水化合物总量为：18×4+14×1＝86克． 17．2026年3月，师大附中数学组策划了首届校园数学节活动，同学们踊跃参加．为了奖励表现优秀的同学，某班学习委员为班级购买奖品后与生活委员的对话如下： （1）请用二元一次方程组的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； （2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一个练习本，但练习本的单价已记不清，只能记得单价不足5元，设其中6元水笔的个数为m支． ①用含m的代数式表示练习本的单价为　（4m﹣78）　 元； ②求练习本的单价是多少元？ 【答案】（1）设6元水笔数量是x支，10元的水笔数量是y支， 根据题意列出方程组， 整理得， 由①×3﹣②得2y＝61， 解得y＝30.5， 将y＝30.5代入①中得x+30.5＝50， 解得x＝19.5， ∴方程组解为， ∵x和y表示水笔的数量，是整数，计算结果是小数，不符合实际情况， ∴学习委员搞错了． （2）（4m﹣78）元，2元． 【解答】解：（1）设6元水笔数量是x支，10元的水笔数量是y支， 根据题意列出方程组， 整理得， 由①×3﹣②得2y＝61， 解得y＝30.5， 将y＝30.5代入①中得x+30.5＝50， 解得x＝19.5， ∴方程组解为， ∵x和y表示水笔的数量，是整数，计算结果是小数，不符合实际情况， ∴学习委员搞错了． （2）①根据题意可知6元水笔的个数为m支，10元的水笔个数（50﹣m）支，设练习本单价为a， ∴0＜a＜5， 根据题意列方程6m+10（50﹣m）+a＝700﹣278， 整理得a＝4m﹣78， 故答案为：（4m﹣78）； ②由①知0＜a＜5，a＝4m﹣78， ∴0＜4m﹣78＜5， 解不等式4m﹣78＞0得m＞19.5，解不等式4m﹣78＜5得m＜20.75， ∴19.5＜m＜20.75， ∵m是整数， ∴m＝20， ∴a＝4m﹣78＝4×20﹣78＝2元， 答：练习本的单价是2元． 18．小强同学在学习了《二元一次方程组》这一章的内容后，提出了下面的问题：在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成． （1）小颖同学根据小强同学提出的问题的题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出小颖同学所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示　甲队修建的时间　 ，y表示　乙队修建的时间　 ；并写出该方程组中m的值应为　18　 ，n的值应为　4000　 ； （2）小强同学的思路是：设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照小强的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【答案】（1）甲队修建的时间，乙队修建的时间，18，4000； （2），乙队修建了8天． 【解答】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力18天完成公路的修建任务， ∴x+y＝18， ∴m的值应为18； ∵甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，公路全长4000米， ∴200x+250y＝4000， ∴x表示甲队修建的时间，y表示乙队修建的时间，n的值应为4000， 故答案为：甲队修建的时间，乙队修建的时间，18，4000； （2）根据题意得：， 解得：， ∴8（天）， 答：乙队修建了8天． 19．在运动与代谢研究中，发现人体供能主要靠碳水化合物和脂肪，身体在分解这两类物质时会消耗氧气、生成二氧化碳并释放热量．如表为安静状态下，分解1克营养物质时实验测得的相关数据： 分解的营养物质 氧气消耗量（g） 二氧化碳生成量（g） 释放热量（kJ） 1g碳水化合物 1 1.5 18 1g脂肪 3 3 40 （1）【数据推算】小王在安静状态下，通过运动手表测得身体每分钟分解碳水化合物和脂肪的氧气消耗总量为0.5g，二氧化碳生成总量为0.6g．求他的身体平均每分钟分解碳水化合物和脂肪各多少克？ （2）【运动规划】已知小王计划进行30分钟的有氧运动，运动方式分为跳绳和快走．跳绳每分钟释放热量50kJ，快走每分钟释放热量20kJ．若他想通过这次运动消耗掉身体在安静状态下150分钟分解碳水化合物和脂肪所释放的总热量（按第（1）小题的结果计算），请问他至少需要安排多少分钟进行跳绳？ 【答案】（1）平均每分钟分解碳水化合物0.2g，分解脂肪0.1g； （2）至少需要安排18分钟进行跳绳． 【解答】解：（1）设平均每分钟分解碳水化合物xg，分解脂肪yg，根据题意可得： ， 解得， 答：平均每分钟分解碳水化合物0.2g，分解脂肪0.1g； （2）设跳绳m分钟，根据题意得： 50m+20（30﹣m）≥（0.2×18+0.1×40）×150， 解得m≥18， 答：至少需要安排18分钟进行跳绳． 20．用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） （1）若现有长方形纸板200张，正方形纸板100张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； （2）有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的5张长方形纸板或6张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板100张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方形纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 【答案】（1）加工竖式纸箱20个，加工横式纸箱40个； （2）用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为75张，25张． 【解答】解：（1）设加工竖式纸箱x个，加工横式纸箱y个，每张大型母板可裁出如图1所示的5张长方形纸板或6张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板）， 根据题意得：， 解得； 答：加工竖式纸箱20个，加工横式纸箱40个． （2）设加工横式纸箱m个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为a张，（100﹣a）张． 根据题意得：， 解得， ∴100﹣a＝25； 答：用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为75张，25张． 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二关：进阶关 1．为实现乡村振兴战略，解决山区老百姓优质土特产销售问题，某地政府帮助小强家开通了网络商店（简称“网店”），将红枣，小米等土特产迅速销往全国，已知相关的销售信息如下：今年前3个月，该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元．问：这3个月该网店销售红枣和小米多少袋？ 红枣 小米 规格/（kg/袋） 1 2 成本/（元/袋） 40 38 售价/（元/袋） 60 54 2． 《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？ 3． 为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张18元，有效期为1天；三日票每张44元，有效期为连续3天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续5天和连续7天．已知组合购买2张三日票、1张五日票和1张七日票，或者组合购买1张一日票、2张五日票和1张七日票，总费用都是248元，求1张五日票的票价和1张七日票的票价． 4．六一儿童节临近，某玩具厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成节日礼盒．每个礼盒内搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米布料生产这批礼盒（不考虑布料损耗），使得制作的玩偶恰好配套．工厂玩偶批发给商场时每个玩偶A获利16元，每个玩偶B获利12元． （1）计划分别用多少米布料生产玩偶A、玩偶B？ （2）由于玩偶B更受市场欢迎，商场需求调整：除配套礼盒外，还需若干玩偶B进行单独售卖．工厂调整生产方案，从计划做玩偶A的布料中调出部分布料改做玩偶B，调整后这批布料生产的玩偶总获利将比原来增加180元．求从生产玩偶A的布料中调出多少米布料改做玩偶B？ 5．两摞规格完全相同的书整齐摆放在讲台上，左边一摞有3本，右边一摞有6本，团团经过测量画出图． （1）若x本书整齐摆放在讲台上，求这一摞书的顶部距离地面的高度y（单位：cm）与x的关系式； （2）若45本书整齐摆放在讲台上，团团从中取走13本书，求余下的课本的顶部距离地面的高度． 6．辐射诱变育种，又称辐射育种或核能育种，是指利用X射线、γ射线、中子、离子束或电子束等电离辐射照射植物种子、植株或其他生物材料，诱发其遗传物质（DNA）发生可遗传的突变，进而从中筛选和培育具有高产、早熟、抗病、抗逆、优质等优良性状新品种的一种育种方法．我国培育成功的辐射诱变育种盆栽新品彩叶草价格为29元/盆，精品盆栽菊花价格为99元/盆． （1）某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，请计算购买新品彩叶草和精品盆栽菊花的盆数． （2）若该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，所需购买两种盆栽的总数仍为200盆，则最多可购买精品盆栽菊花多少盆？ 7．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、标价如表： 型号 进价（元/只） 标价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按标价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯按标价的九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按标价售出了多少只？ 8．某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率如表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤：第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ 9．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a，b的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 10．2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡，身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了770kJ能量和9g蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 280kJ 210kJ 蛋白质 3g 3g 脂肪 3.6g 2.5g 碳水化合物 5.6g 1.7g 钙 130mg 5mg （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为40g～80g．若小宇这天已经从其他食品中摄入了70g脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 11．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 （1）该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件？ （2）该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售？ 12．某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 12 20 售价（元/件） 19 30 （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的50%）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 13．某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 （1）若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 14．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） m m﹣20 售价（元/个） 140 100 （1）求m的值； （2）店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润＝售价﹣进价） 15．某水果批发市场香蕉的价格如表； 购买香蕉数（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 某人两次共购买香蕉50千克（第二次购买的数量多于第一次），共付款264元，他第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 16．能量胶是长跑运动员常用的补给品，能快速为身体补充碳水化合物、电解质等，及时缓解疲劳，维持运动表现，助力运动员完成长距离赛事．某长跑团队为运动员准备了A、B两种能量胶，每种能量胶的营养成分如表所示： 能量 碳水化合物（克） 热量（千卡） 钠（毫克） 钾（毫克） A ？ 120 35 20 B ？ 90 40 15 （1）教练发现7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克，每支A、B能量胶中各含有碳水化合物多少克？ （2）依据运动营养学建议，运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克．在某次长距离训练前，运动员可携带5支能量胶，为符合标准，应如何安排携带方案？并求出对应的碳水化合物总量．（注：A，B两种能量胶必须均携带） 17．2026年3月，师大附中数学组策划了首届校园数学节活动，同学们踊跃参加．为了奖励表现优秀的同学，某班学习委员为班级购买奖品后与生活委员的对话如下： （1）请用二元一次方程组的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； （2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一个练习本，但练习本的单价已记不清，只能记得单价不足5元，设其中6元水笔的个数为m支． ①用含m的代数式表示练习本的单价为　 　 元； ②求练习本的单价是多少元？ 18．小强同学在学习了《二元一次方程组》这一章的内容后，提出了下面的问题：在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成． （1）小颖同学根据小强同学提出的问题的题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出小颖同学所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示　 　 ，y表示　 　 ；并写出该方程组中m的值应为　 　 ，n的值应为　 　 ； （2）小强同学的思路是：设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照小强的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 19．在运动与代谢研究中，发现人体供能主要靠碳水化合物和脂肪，身体在分解这两类物质时会消耗氧气、生成二氧化碳并释放热量．如表为安静状态下，分解1克营养物质时实验测得的相关数据： 分解的营养物质 氧气消耗量（g） 二氧化碳生成量（g） 释放热量（kJ） 1g碳水化合物 1 1.5 18 1g脂肪 3 3 40 （1）【数据推算】小王在安静状态下，通过运动手表测得身体每分钟分解碳水化合物和脂肪的氧气消耗总量为0.5g，二氧化碳生成总量为0.6g．求他的身体平均每分钟分解碳水化合物和脂肪各多少克？ （2）【运动规划】已知小王计划进行30分钟的有氧运动，运动方式分为跳绳和快走．跳绳每分钟释放热量50kJ，快走每分钟释放热量20kJ．若他想通过这次运动消耗掉身体在安静状态下150分钟分解碳水化合物和脂肪所释放的总热量（按第（1）小题的结果计算），请问他至少需要安排多少分钟进行跳绳？ 20．用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） （1）若现有长方形纸板200张，正方形纸板100张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； （2）有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的5张长方形纸板或6张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板100张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方形纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $