二元一次方程组的应用：销售与利润问题、和差倍分问题、方案选择问题专项训练-2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

二元一次方程组的应用：销售与利润问题、和差倍分问题、方案选择问题专项训练 二元一次方程组的应用：销售与利润问题、和差倍分问题、方案选择问题专项训练 考点目录 二元一次方程组的应用：销售与利润问题 二元一次方程组的应用：和差倍分问题 二元一次方程组的应用：方案选择问题 考点一 二元一次方程组的应用：销售与利润问题 例1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． (1)求篮球和排球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 【答案】(1)篮球的价格为元，排球的价格为元 (2) 【详解】（1）解：设篮球的价格为元，排球的价格为元，由题意，得： ，解得：， 答：篮球的价格为元，排球的价格为元； （2）解：设购进篮球个，则购进排球个，设总利润为元，由题意，得：， 整理，得：， ∵商场所有购买方案获利相同， ∴的值与无关， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级上·山西大同·月考）三晋大地，山川形胜，物产丰饶，独特的地理环境与人文滋养孕育出无数令人垂涎的特色美食与特产．某特产专营店欲购进一批“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”．已知购进3袋“黄米凉糕”和2袋“80克的某品牌牛肉”，共需38元；购进5袋“黄米凉糕”和3袋“80克的某品牌牛肉”，共需60元． (1)求“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”的进价各是多少元？ (2)已知该特产专营店“黄米凉糕”每袋的零售价是8元，“80克的某品牌牛肉”每袋的零售价是15元，商户准备用1200元购进上述两种商品进行销售，因市场需求，“黄米凉糕”的购进数量不能少于120袋．设购进“黄米凉糕”袋，两种商品全部卖出利润为元，求出与之间的函数关系式，并求出如何进货利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)黄米凉糕的进价是6元/袋，80克的某品牌牛肉的进价是10元/袋 (2)w与a的函数关系式为（且a为5的倍数），购进黄米凉糕120袋和80克的某品牌牛肉48袋时利润最大，最大利润为480元 【详解】（1）解：设“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”的进价分别是元，元， 依题意，得， 解得， ∴黄米凉糕的进价是6元/袋，80克的某品牌牛肉的进价是10元/袋； （2）解：由（1）得黄米凉糕的进价是6元/袋，80克的某品牌牛肉的进价是10元/袋； ∵商户准备用1200元购进上述两种商品进行销售， ∴， ∵“黄米凉糕”的购进数量不能少于120袋．设购进“黄米凉糕”袋， ∴， 则“80克的某品牌牛肉”的袋数为， ∵为非负整数， ∴a为5的倍数， ∵“黄米凉糕”每袋的零售价是8元，“80克的某品牌牛肉”每袋的零售价是15元， ∴ ； 即w与a的函数关系式为（且a为5的倍数）， ∵的， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最大值，且为．此时， ∴购进黄米凉糕120袋和80克的某品牌牛肉48袋时利润最大，最大利润为480元 例3．（25-26九年级上·云南昆明·月考）云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元． (1)求太阳帽、旅行包每个的进价． (2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)太阳帽每个进价15元，旅行包每个进价40元 (2)购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元 【详解】（1）解：设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元， 根据题意，得方程组：， 第一个方程乘以5，第二个方程乘以3，得：， 得：， 代入得， 解得：， 即， 所以太阳帽进价15元，旅行包进价40元； （2）解：设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，， 太阳帽每个利润为10元，旅行包每个利润为20元， 总利润， 由，得， 代入得：，解得， 又∵， ∴， 将代入， 得， ∵， ∴w随b增大而增大， ∴当时，w最大， 此时， 元． 答：购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元． 例4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）为丰富“班级读书角”，小丽计划分两次购入两种图书．第一次分别购进A种图书40本和B种图书20本，共花费800元；第二次分别购进A种图书15本和B种图书10本，共花费325元（两次同种图书单价相同）． (1)A、B两种图书每本的价格各是多少元？ (2)若读书角要购买A、B两种图书共30本，其中购买A种图书m本，且，请你给出一种总费用最省的方案，并计算该方案的费用． 【答案】(1)A种图书每本15元，B种图书每本10元 (2)购买A种图书12本，B种图书18本时最省钱，此时的费用为360元． 【详解】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元， 由题意得，， 解得， 答：A种图书每本15元，B种图书每本10元； （2）解：设总费用为w元， 由题意得，购买B种图书， 则， ∵，且， ∴当时，w随m的增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时， 答：购买A种图书12本，B种图书18本时最省钱，此时的费用为360元． 变式1．（25-26八年级上·山东济南·月考）《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱．欣欣商场进了A、B两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格类别 A款玩具 B款玩具 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 50 50 (1)第一次欣欣商场用 1500 元购进A、B两款玩具共 55 个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共 50 个．若设购进A款玩具a个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为w元， ①写出w关于a的函数解析式；（不必写出a的取值范围） ②已知A款玩具的个数最少 1 个，最多 16 个，那么怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进 A 款玩具30个，购进 B 款玩具25个 (2)购进A款玩具16个、B款玩具34个时这批玩具利润最大，最大利润是1080元 【详解】（1）解：设购进 A 款玩具 x 个，购进 B 款玩具 y 个 根据题意，得， 解得， 答：购进 A 款玩具30个，购进 B 款玩具25个； （2）解：①第二次购进 B 款玩具个， 则， ∴w 关于a 的函数表达式为； ②由①得， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵且 a为整数， ∴时，w最大，为元， （个）． 答：购进A款玩具16个、B款玩具34个时这批玩具利润最大，最大利润是1080元． 变式2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． (1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ (2)该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 【答案】(1)修正带进价为8元/个，笔袋进价为10元/个 (2)元 【详解】（1）解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个， 根据题意，可得，解得． 答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个． （2）解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元， 则 ， ， 随着的增大而减少， 又修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即， 当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元． 答：该文具店总利润的最大值是3650元． 变式3．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元． (1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案； (3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案一；购进型玩具6个，型玩具5个；方案二：购进型玩具4个，型玩具10个；方案三：购进型玩具2个，型玩具15个 (3)购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元 【详解】（1）解：设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元， 由题意，得 解得， 答：型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个， 由题意，得， 解得， 因为m，n均为正整数， 所以或或， 所以共有3种购买方案， 方案一：购进型玩具6个，型玩具5个； 方案二：购进型玩具4个，型玩具10个； 方案三：购进型玩具2个，型玩具15个； （3）方案一可获得利润：（元）， 方案二可获得利润：（元）， 方案三可获得利润：（元）， 因为， 所以购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元． 变式4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）为助力乡村振兴，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.6万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过25吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为253万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（注：用二元一次方程组解决问题） (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为17吨，83吨 (2)该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是30万元 【详解】（1）解：设销售甲种特产x吨，销售乙种特产y吨， 根据题意得，， 解得，， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为17吨，83吨； （2）解：设利润为w万元，销售甲种特产a吨， ， ∵， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是30万元． 考点二 二元一次方程组的应用：和差倍分问题 例1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 例2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 例3．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 例4．（2025·江西·模拟预测）小唯为了减轻父母的负担，计划自己攒存读高中的生活费，从年1月份开始，每月月初一次性给储蓄盒内存入相同数额的零用钱．已知2月初存款后清点储蓄盒内有存款元，2月中旬将元压岁钱也存入其中，4月初存款后清点储蓄盒内有存款元． (1)求小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？ (2)小唯准备将这元参加教育储蓄（教育储蓄不收利息税），已知教育储蓄一年期的利率为，三年期的年利率为．有两种储蓄方式： 方式一：先存一年期，第二年将本息和自动转存一年，第三年继续将本息和自动转存一年； 方式二：直接存三年期． 请你帮小唯计算一下，小唯应选择哪一种储蓄方式更合算？ 【答案】(1)小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款元 (2)小唯应选择方式二储蓄更合算，计算见解析 【详解】（1）解：设小唯每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，依题意得， 解得：， 答：小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款元； （2）解：由题意可得， 方式一：小唯三年后的本息和是：（元） 方式二：小唯三年后的本息和是：（元）， ∵， 答：小唯应选择方式二储蓄更合算． 变式1．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 变式2．（24-25八年级上·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 变式3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为名， 由题意可列出方程； 故答案为：，． （2）解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意得， 解得， 答：分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母． 变式4．（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【答案】该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩 【详解】解：设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩， 根据题意，得， 解得． 答：该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩． 考点三 二元一次方程组的应用：方案选择问题 例1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）某电动车销售公司计划购进一批电动摩托车尝试进行销售，据了解1辆甲型号电动摩托车和3辆乙型号电动摩托车的进价共计45千元；4辆甲型号电动摩托车和2辆乙型号电动摩托车的进价共计110千元． (1)求甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为多少千元； (2)若该公司计划正好用180千元购进以上两种型号的电动摩托车（两种型号的电动摩托车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为 24千元和7千元 (2)该公司只有一种购买方案：购买甲型号电动摩托车4辆，乙型号电动摩托车12辆 【详解】（1）解：设甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为千元， 由题意得：， 解得：， ∴甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为 24千元和7千元； （2）解：设购买甲种型号的电动摩托车辆，乙种型号的电动摩托车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵均为正整数， ∴， ∴该公司共有一种购买方案：购买甲种型号的电动摩托车4辆，乙种型号的电动摩托车12辆． 例2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 【答案】(1)A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子 (2)①需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张；最低采购费用为元；②A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼（答案不唯一） 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子， 则有， 解得， ∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子； （2）解：设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张， 则， ∴， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或， ∴需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张； ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴最低采购费用为元； ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼． 例3．（25-26八年级上·宁夏固原·月考）为发展校园篮球运动，某城区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多40元，若购买5套队服与10个篮球需花费1400元，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买篮球打八折． (1)求每套队服和每个篮球的价格是多少？ (2)若城区联合购买100套队服和a（）个篮球，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)每套队服120元，每个篮球80元 (2)甲：元；乙：元 (3)在乙商场购买比较合算 【详解】（1）解：设每套队服的价格是y元，每个篮球的价格是x元； 根据题意，， 解得， 答：每套队服的价格是120元，每个篮球的价格是80元． （2）解：到甲商场购买装备所花的费用：， 到乙商场购买装备所花的费用：， 答：到甲商场购买装备所花的费用为元，到乙商场购买装备所花的费用为元． （3）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴在乙商场购买比较合算． 例4．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·月考）商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.65 1.4 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 【答案】(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套 (2)有2种方案：①购进A品牌2套、B品牌10套，获利2.3万元；②购进A品牌6套、B品牌5套，获利1.9万元；获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套 【详解】（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得， ， 解得，， 经检验，符合题意， 答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套； （2）解：设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套， 由题意得，， ∵a，b均为正整数， ∴此方程的解为： ，或， 综上所述，有2种方案： ①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套． 获利：万元； ②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套． 获利：万元． ∵， ∴获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套． 变式2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹 (2)有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得，， 解得， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴或或， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 变式3．（25-26九年级上·重庆·期中）在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟． (1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？ (2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？ 【答案】(1) 大号钟振动频率为，小号钟振动频率为 (2) 共有三种采购方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶 【详解】（1）解：设小号钟振动频率为，则大号钟振动频率为， 根据题意，， 即， 解得， ∴大号钟振动频率为HZ， ∴大号钟振动频率为，小号钟振动频率为． （2）解：设采购A材料张，B材料桶，其中和均为正整数， 根据题意，， 简化得， 即， 由于为正整数，必须为整数，故为3的倍数， 尝试值： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（无效）， 因此共有三种方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶． 变式4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）某水果商为电商平台运输苹果，有，两种货车用于配送．如果用辆车和辆车载满货物一次可运吨；用辆车和辆车载满货物一次可运吨．现需要运输吨苹果，计划同时租用车和车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物． (1)辆车和辆车都载满货物一次可分别运输货物多少吨？ (2)若车每辆需租金元/次，车每辆需租金元/次，请帮水果商设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金． 【答案】(1)辆车载满货物一次可运输货物吨，辆车载满货物一次可运输货物吨 (2)租车方案见解析；当租用辆车和辆车时，租金最少；最少租金为元 【详解】（1）解：设辆车和辆车都载满货物一次可分别运输货物、吨， ， 解得， 答：辆车载满货物一次可运输货物吨，辆车载满货物一次可运输货物吨； （2）解：设租车辆，租车辆， ，即， ∵、均为非负整数， ∴或或， ∴有以下三种租车方案： 方案一：租用辆车和辆车，租金为： 元； 方案二：租用辆车和辆车，租金为： 元； 方案三：租用辆车和辆车，租金为： 元； ∵， ∴当租用辆车和辆车时，租金最少；最少租金为元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二元一次方程组的应用：销售与利润问题、和差倍分问题、方案选择问题专项训练 二元一次方程组的应用：销售与利润问题、和差倍分问题、方案选择问题专项训练 考点目录 二元一次方程组的应用：销售与利润问题 二元一次方程组的应用：和差倍分问题 二元一次方程组的应用：方案选择问题 考点一 二元一次方程组的应用：销售与利润问题 例1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． (1)求篮球和排球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 例2．（25-26八年级上·山西大同·月考）三晋大地，山川形胜，物产丰饶，独特的地理环境与人文滋养孕育出无数令人垂涎的特色美食与特产．某特产专营店欲购进一批“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”．已知购进3袋“黄米凉糕”和2袋“80克的某品牌牛肉”，共需38元；购进5袋“黄米凉糕”和3袋“80克的某品牌牛肉”，共需60元． (1)求“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”的进价各是多少元？ (2)已知该特产专营店“黄米凉糕”每袋的零售价是8元，“80克的某品牌牛肉”每袋的零售价是15元，商户准备用1200元购进上述两种商品进行销售，因市场需求，“黄米凉糕”的购进数量不能少于120袋．设购进“黄米凉糕”袋，两种商品全部卖出利润为元，求出与之间的函数关系式，并求出如何进货利润最大，最大利润是多少元？ 例3．（25-26九年级上·云南昆明·月考）云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元． (1)求太阳帽、旅行包每个的进价． (2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 例4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）为丰富“班级读书角”，小丽计划分两次购入两种图书．第一次分别购进A种图书40本和B种图书20本，共花费800元；第二次分别购进A种图书15本和B种图书10本，共花费325元（两次同种图书单价相同）． (1)A、B两种图书每本的价格各是多少元？ (2)若读书角要购买A、B两种图书共30本，其中购买A种图书m本，且，请你给出一种总费用最省的方案，并计算该方案的费用． 变式1．（25-26八年级上·山东济南·月考）《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱．欣欣商场进了A、B两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格类别 A款玩具 B款玩具 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 50 50 (1)第一次欣欣商场用 1500 元购进A、B两款玩具共 55 个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共 50 个．若设购进A款玩具a个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为w元， ①写出w关于a的函数解析式；（不必写出a的取值范围） ②已知A款玩具的个数最少 1 个，最多 16 个，那么怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 变式2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． (1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ (2)该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 变式3．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元． (1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案； (3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 变式4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）为助力乡村振兴，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.6万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过25吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为253万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（注：用二元一次方程组解决问题） (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 考点二 二元一次方程组的应用：和差倍分问题 例1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 例2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 例3．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 例4．（2025·江西·模拟预测）小唯为了减轻父母的负担，计划自己攒存读高中的生活费，从年1月份开始，每月月初一次性给储蓄盒内存入相同数额的零用钱．已知2月初存款后清点储蓄盒内有存款元，2月中旬将元压岁钱也存入其中，4月初存款后清点储蓄盒内有存款元． (1)求小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？ (2)小唯准备将这元参加教育储蓄（教育储蓄不收利息税），已知教育储蓄一年期的利率为，三年期的年利率为．有两种储蓄方式： 方式一：先存一年期，第二年将本息和自动转存一年，第三年继续将本息和自动转存一年； 方式二：直接存三年期． 请你帮小唯计算一下，小唯应选择哪一种储蓄方式更合算？ 变式1．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 变式2．（24-25八年级上·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 变式3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 变式4．（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 考点三 二元一次方程组的应用：方案选择问题 例1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）某电动车销售公司计划购进一批电动摩托车尝试进行销售，据了解1辆甲型号电动摩托车和3辆乙型号电动摩托车的进价共计45千元；4辆甲型号电动摩托车和2辆乙型号电动摩托车的进价共计110千元． (1)求甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为多少千元； (2)若该公司计划正好用180千元购进以上两种型号的电动摩托车（两种型号的电动摩托车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 例2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 例3．（25-26八年级上·宁夏固原·月考）为发展校园篮球运动，某城区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多40元，若购买5套队服与10个篮球需花费1400元，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买篮球打八折． (1)求每套队服和每个篮球的价格是多少？ (2)若城区联合购买100套队服和a（）个篮球，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 例4．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 变式1．（25-26八年级上·四川成都·月考）商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.65 1.4 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 变式2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 变式3．（25-26九年级上·重庆·期中）在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟． (1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？ (2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？ 变式4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）某水果商为电商平台运输苹果，有，两种货车用于配送．如果用辆车和辆车载满货物一次可运吨；用辆车和辆车载满货物一次可运吨．现需要运输吨苹果，计划同时租用车和车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物． (1)辆车和辆车都载满货物一次可分别运输货物多少吨？ (2)若车每辆需租金元/次，车每辆需租金元/次，请帮水果商设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金． 2 学科网（北京）股份有限公司 $