3.2.1-3.2.2 第一课时空间向量及空间向量的加、减、数乘运算课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

2026-07-22

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摘要：

该高中数学课件聚焦空间向量概念及线性运算，以滑翔伞运动受力情境导入，通过类比平面向量提出问题，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接平面到空间的向量知识脉络。其亮点在于情境导入结合问题链激发探究，典型例题（如空间四边形向量运算）与跟踪训练呼应，通过“通性通法”总结提升数学运算能力，融入数学抽象素养。学生能深化空间观念，教师可高效开展概念教学与运算训练。

内容正文：

第一课时　空间向量及空间向量的加、减、数乘运算新课程标准解读核心素养 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念数学抽象 2.掌握空间向量的线性运算数学运算目录基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习必备知识梳理目录目录　　如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，跳伞运动员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？目录数学·选择性必修第一册（BSD）【问题】　（1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？（2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　目录数学·选择性必修第一册（BSD）知识点一　空间向量的有关概念 1. 定义：在空间中，把具有和的量叫作空间向量. 2. 长度：向量的叫作向量的长度或 ⁠. 3. 表示法大小　方向　大小　模　目录数学·选择性必修第一册（BSD）提醒　向量与有向线段是有区别的.虽然向量可用有向线段表示，但这是两个不同的概念，且数学中所研究的向量与它的起点无关，称之为自由向量. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 几个特殊向量特殊向量定义表示法零向量模为 ⁠的向量 0 相反向量方向 ⁠且模相等的向量 a 的相反向量是－ a 相等向量方向且模 ⁠ ⁠的向量单位向量模为 ⁠的向量｜ a ｜＝1 0　相反　相同　相等　 1个单位长度　目录数学·选择性必修第一册（BSD）知识点二　共线向量与共面向量共线（平行）向量共面向量定义当表示向量的两条有向线段所在的直线 ⁠ ⁠时，称这两个向量互为共线向量（或平行向量）.若 a ， b 为共线向量，记作 a ∥ b （1）当表示向量 a 的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量 a 平行于平面α，记作 a ∥α，把 ⁠的向量，叫作共面向量；（2）能平移到 ⁠内的三个向量叫作共面向量平行或重合　平行于同一平面　同一平面　目录数学·选择性必修第一册（BSD）【想一想】空间中的任意两个向量是不是共面向量？提示：是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）知识点三　空间向量的线性运算名称代数形式及运算法则几何形式运算律加法交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ；结合律： a ＋（ b ＋ c ）＝（ a ＋ b ）＋ c 减法＋－　目录数学·选择性必修第一册（BSD）名称代数形式及运算法则几何形式运算律数乘结合律：λ（μ a ）＝（λμ） a ；分配律：（λ＋μ） a ＝λ a ＋μ a ，λ （ a ＋ b ）＝λ a ＋λ b （λ∈R， μ∈R）目录数学·选择性必修第一册（BSD）共线向量基本定理：空间两个向量 a ， b （ b ≠0）共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得 a ＝λ b .通常把这个定理称为共线向量基本定理. （也称“一维向量基本定理”）目录数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 向量线性运算的结果还是向量吗？提示：是向量. 2. λ a 的长度是 a 的长度的λ倍吗？提示：不是，应是｜λ｜倍. 【想一想】目录数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）向量的长度与向量的长度相等. （　√　）（2）空间中任意两个单位向量必相等. （　×　）（3）若 A ， B ， C 三点共线，则与共线. （　√　）（4）向量与向量是共线向量，则点 A ， B ， C ， D 必在同一条直线上. （　×　）（5）若向量 a ， b ， c 共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. （　×　） √ × √ × × 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知空间四边形 ABCD 中，＝ a ，＝ b ，＝ c ，则＝（　　） A. a ＋ b － c B. c － a － b C. c ＋ a － b D. c ＋ a ＋ b 解析：　＝＋＋＝－－＋＝－ a － b ＋ c ＝ c － a － b . 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 非零向量 e1， e2不共线，使 ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线的 k 的值是 ⁠. 解析：若 ke1＋ e2， e1＋ ke2共线，则 ke1＋ e2＝λ（ e1＋ ke2），所以所以 k ＝±1. ±1　目录数学·选择性必修第一册（BSD）典型例题·精研析 02 课堂互动关键能力提升目录目录题型一空间向量概念的辨析【例1】　（多选）下列说法中正确的是（　　） A. 若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ， b 的长度相同，方向相同或相反 B. 若向量 a 是向量 b 的相反向量，则｜ a ｜＝｜ b ｜ C. 空间向量的加法满足结合律目录数学·选择性必修第一册（BSD）解析：　｜ a ｜＝｜ b ｜，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定.对于 a 的相反向量 b ＝－ a ，故｜ a ｜＝｜ b ｜，从而B正确.加法满足结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立，故A、D均不正确. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）通性通法空间向量的概念问题　　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（1）试写出与是相等向量的所有向量；解：与向量是相等向量的（除它自身之外）有，及，共3个. 【跟踪训练】如图所示，以长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：目录数学·选择性必修第一册（BSD）（2）试写出的相反向量；解：向量的相反向量为，，， . 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（3）若 AB ＝ AD ＝2， AA1＝1，求向量的模. 解：｜｜＝＝＝＝3. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）题型二空间向量的加、减运算【例2】　在六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）解：在六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，四边形 AA1 F1 F 是平行四边形，所以＝ . 同理＝，＝，＝，所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）【母题探究】　（变设问）若本例条件不变，化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量. 解：根据六棱柱的性质知四边形 BB1 C1 C ， DD1 E1 E 都是平行四边形，所以＝，＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝，如图. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）通性通法空间向量加、减运算的两个技巧一个转化（1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果；（3）因向量的加、减运算互为逆运算，所以求两向量的差 a － b 可转化为 a ＋（－ b ）. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）题型三空间向量的线性运算【例3】　在空间四边形 ABCD 中， G 为△ BCD 的重心， E ， F ， H 分别为边 CD ， AD 和 BC 的中点，化简下列各表达式：目录数学·选择性必修第一册（BSD）（1）＋＋；解：因为 G 是△ BCD 的重心，所以｜｜＝｜｜，所以＝，又因为＝，所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝ . 从而＋＋＝ . 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（2）（＋－）. 解：如图所示，分别取 AB ， AC 的中点 P ， Q ，连接 PH ， QH ，则四边形 APHQ 为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝，所以（＋－）＝＋－＝－＝ . 目录数学·选择性必修第一册（BSD）通性通法利用数乘运算进行向量表示的注意点（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）【跟踪训练】在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 AC 与 BD 的交点.若＝ a ，＝ b ，＝ c ，则下列向量中与相等的向量是（　　）目录数学·选择性必修第一册（BSD）解析：　＝＋＝＋（＋）＝ c ＋（－ a ＋ b ）＝－ a ＋ b ＋ c . 目录数学·选择性必修第一册（BSD）题型四空间向量共线、共面问题【例4】　（1）设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知＝ e1＋ ke2，＝5 e1＋4 e2，＝－ e1－2 e2，且 A ， B ， D 三点共线，则实数 k ＝ ⁠；解析：＝＋＋＝（ e1＋ ke2）＋（5 e1＋4 e2）＋（ e1＋2 e2）＝7 e1＋（ k ＋6） e2.设＝λ ，则7 e1＋（ k ＋6） e2＝λ（ e1＋ ke2），所以解得 k ＝1. 1　目录数学·选择性必修第一册（BSD）（2）设 a ， b ， c 是空间不共面的三个向量，若 p ＝3 a ＋2 b ＋ c ， m ＝ a － b ＋ c ， n ＝ a ＋ b － c ，试判断 p ， m ， n 是否共面. 解：显然 m 与 n 不共线，假设 m ， n ， p 共面，则存在实数 x ， y 使得 p ＝ xm ＋ yn ，所以3 a ＋2 b ＋ c ＝ x （ a － b ＋ c ）＋ y （ a ＋ b － c ）＝（ x ＋ y ） a ＋（－ x ＋ y ） b ＋（ x － y ） c . 因为 a ， b ， c 不共面，所以此方程组无解，所以 p 不能用 m ， n 表示，即 p ， m ， n 不共面. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）通性通法 1. 要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线. 2. 要判定空间中的三个向量共面，只需设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若 p ＝ xa ＋ yb （ a ， b 不共线），则向量 p ， a ， b 共面. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）提醒　四点共面的判定方法：若存在唯一的有序实数组（ x ， y ， z ），使得对于空间中任一点 O 和不共线的三点 A ， B ， C ，有＝ x ＋ y ＋ z ，且 x ＋ y ＋ z ＝1成立，则 P ， A ， B ， C 四点共面. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知 A ， B ， C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一点.若由＝＋＋λ 可确定点 P 与 A ， B ， C 共面，则λ＝（　　）解析：　∵ A ， B ， C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一点，且由＝＋＋λ 可确定点 P 与 A ， B ， C 共面，∴ ＋＋λ ＝1，解得λ＝ .故选A. 【跟踪训练】目录数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 如图，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O 为 A1 C 上一点，且＝， BD 与 AC 交于点 M . 求证： C1， O ， M 三点共线. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）证明：如图，连接 AO ， AC1， A1 C1. ∵ ＝，∴ ＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋ . ∵ ＝2 ，＝＋＝－＝－2 ， ∴ ＝（－2 ）＋＝＋ . ∵ ＋＝1，∴ C1， O ， M 三点共线. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 下列命题中正确的是（　　） A. 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B. 向量 a ， b ， c 共面，即它们所在的直线共面 D. 若 a ∥ b ，则存在唯一的实数λ，使 a ＝λ b 目录数学·选择性必修第一册（BSD）解析：　A中，若 b ＝0，则 a 与 c 不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵ ＋＝0，∴ ＝－，∴ 与共线，故 ∥ ，正确；D中，若 b ＝0， a ≠0，则λ不唯一. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，＋＋＝（　　）解析：　在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，＋＋＝（＋）＋＝＋＝ .故选D. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）下列说法正确的是（　　） A. 若｜ a ｜＜｜ b ｜，则 a ＜ b B. 若 a ， b 为相反向量，则 a ＋ b ＝0 C. 若空间内任意一向量 a ，则存在λ∈R，使得λ a ＝0 解析：　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意向量 a ，存在实数λ＝0，使得0· a ＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 已知空间向量 a ， b ， c ，化简（ a ＋2 b －3 c ）＋5 －3（ a －2 b ＋ c ）＝ ⁠. 解析：原式＝ a ＋ b － c ＋ a － b ＋ c －3 a ＋6 b －3 c ＝ a ＋ b － c . a ＋ b － c 　目录数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知＝2 e1＋ ke2，＝ e1 ＋3 e2，＝2 e1－ e2，且 A ， B ， D 三点共线，则 k ＝ ⁠. 解析：由已知得＝－＝（2 e1－ e2）－（ e1＋3 e2）＝ e1－ 4 e2，∵ A ， B ， D 三点共线，∴ 与共线，即存在λ∈R，使得＝λ .∴2 e1＋ ke2＝λ（ e1－4 e2）＝λ e1－4λ e2.∵ e1， e2不共线，∴解得 k ＝－8. －8　目录数学·选择性必修第一册（BSD）谢谢观看！ $

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