3.2.2空间向量的运算（第2课时）（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1空间向量与向量运算 2.2空间向量与 向量运算（第二课时） 第三章 空间向量与立体几何 北师大版2019·选择性必修第一册 学 习 目 标 2 3 了解空间向量的夹角． 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法． 了解投影向量与投影数量的概念． 1 读教材 阅读课本P100-P102，6分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“空间向量与向量运算”吧！ 1.空间向量的数量积是如何定义的？ 2.什么是投影向量与投影数量？ 复习引入 回顾平面向量夹角和数量积的定义： 1、平面向量的夹角： 2、平面向量的数量积： 已知两个非零向量，，如图，是平面上的任意一点，作 ， ,则叫做向量与的夹角. θ 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 类比平面向量的知识，空间向量的夹角和数量积又将如何定义呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的数量积 3 题型训练 2 投影向量与投影数量 新知探究 知识点一、空间向量的数量积 1.空间向量的夹角 在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且 . 当 时，向量 与 方向相同； 当 ＝时，向量 与 方向相反； 当 时，称向量 ， 互相垂直，记作 . 通常规定: . 新知探究 知识点一、空间向量的数量积 <m> ① <m></m> ； ② <m></m> ； ③ <m></m> . 2.空间向量数量积的定义 已知两个空间向量 ， ，把 </m> 叫作 与 的数量积，记作 ，即 . 3.空间向量数量积的性质 新知探究 知识点一、空间向量的数量积 (1)交换律：a·b=b·a； (2)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c； (3) λa·b=λ(a·b)(λ∈R). 4.空间向量数量积的运算律 例1： 典例分析 解： 如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积： (1)； (2)； (3)； (4)． （1） （2） 例1： 典例分析 如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积： (1)； (2)； (3)； (4)． （3）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 解： 例1： 典例分析 如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积： (1)； (2)； (3)； (4)． （4）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 解： 提分笔记 在几何体中求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 巩固练习 变式1： 如图所示长方体中，是的中点，，，求： (1)； (2) （1）因为是长方体，且，所以 ，， 因此. 解： 巩固练习 变式1： 如图所示长方体中，是的中点，，，求： （2）由题意，，， 所以 因为，，所以， 所以 (1)； (2) 解： 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的数量积 3 题型训练 2 投影向量与投影数量 知识点二、投影向量与投影数量 新知探究 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos<a，b>|. 当<a，b>为锐角时， |b|cos<a，b>＞0. 当<a，b>为钝角时， |b|cos<a，b>＜0. 当<a，b>=时， |b|cos<a，b>=0 若用 <m></m> 表示与向量 <m></m> 同方向的单位向量，则向量 <m></m> 在向量 <m></m> 方向上的投影向量为 <m></m> . 因此，称 <m></m> 为投影向量 <m></m> 的数量，简称为向量 <m></m> 在向量 <m></m> 方 向上的投影数量. 向量b在向量a方向上的投影数量为：. 新知探究 知识点二、投影向量与投影数量 投影数量可正、可负、也可为零，由两非零向量的夹角决定的. 知识点二、空间向量的数乘运算 新知探究 (1) （结合律）λ()= (λ； (2) （分配律）(λ+=λ ; λ()=λ. 其中 λ. 空间向量数乘运算的运算律与平面向量数乘运算的运算律相同. 定理 ：空间两个向量(≠)共线的充要条件是存在唯一的实数， 使得. 通常把这个定理称为共线向量基本定理.（也称“一维向量基本定理”） 例1： 典例分析 解： (1)根据正方体的性质知：A'B⊥CB，A'D⊥CD，A'C'⊥CC'， 如图，已知单位正方体ABCD-A'B'C'D'. （1）指出向量 分别在 方向上的投影向量； （2）求向量 在 方向上的投影数量； （3）求向量 在 方向上的投影数量. ∴向量 分别在 方向上的投影向量 巩固练习 变式1： C 由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 解： 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 变式2： 解： C 向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的数量积 3 题型训练 2 投影向量与投影数量 空间向量的数量积 题型1 题型探究 例1： 解： D 已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 因为向量是单位向量，且两向量的夹角为， 则， 所以， 故选：D. 题型探究 例2： 解： A 空间向量的数量积 题型1 如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） 四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， A． B． C．2 D．4 ， 故选：A． 投影向量与投影数量 题型2 题型探究 例1： 解： A 已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 向量在向量上的投影向量为. 故选：A 投影向量与投影数量 题型2 题型探究 例2： 解： 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 因为空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 故选：A A 课堂小结 一、空间向量的数量积 ① <m></m> ； ② <m></m> ； ③ <m></m> . 1.空间向量数量积的定义 已知两个空间向量 ， ，把 </m> 叫作 与 的数量积，记作 ，即 . 2.空间向量数量积的性质 课堂小结 二、投影向量与投影数量 若用 <m></m> 表示与向量 <m></m> 同方向的单位向量，则向量 <m></m> 在向量 <m></m> 方向上的投影向量为 <m></m> . 因此，称 <m></m> 为投影向量 <m></m> 的数量，简称为向量 <m></m> 在向量 <m></m> 方 向上的投影数量. 向量b在向量a方向上的投影数量为：. 感谢聆听! $