北京市牛栏山一中教育集团2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷

2025-2026顺义区高二数学期末考试参考答案 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B 二、填空题 11．9 12．0 13．36 14．， 15．①②③ 说明：14题第一空3分，第二空2分；15题选对1个1分，选对2个3分，选对3个5分 16．解：（Ⅰ）为等差数列，∴公差． 2分 ，． 4分 为等比数列，∴公比． 6分 ，． 8分 （Ⅱ） 10分 ，． 11分 （Ⅲ）． 14分 17．解：（Ⅰ）令，，． 1分 4分 ∴含的项的系数为 5分 （Ⅱ）令， 7分 ． 8分 （Ⅲ）当时，则与矛盾，． 9分 令， 11分 则． ．即 12分 13分 18．解：（Ⅰ），，． 2分 ，分别为函数的极值点．且． ，． 4分 ． ∴当，时，，单调递增； 当时，，单调递减． 的单调递增区间为，， 6分 的单调递减区间为． 7分 说明：每个单调区间1分． （Ⅱ）当或时，至多有一个零点． 9分 当，即．此时且， ∴在区间内存在唯一零点． 10分 当，即．此时且 ∴在区间内存在唯一零点． 11分 当且时，即．此时，． 在区间，，内分别存在唯一零点． 12分 综上所述，当且仅当或有两个不零点． 13分 19．解：（1）在5个地点中，初中生选择比例高于高中生选择比例的地点为北京、成都及杭州这3个地点． 1分 初中生选择比例高于高中生选择比例的概率估计值为 3分 （2）方法一：∵每位同学选择游学目的地互相独立，以频率估计概率． ∴初中生选择北京的概率的估计值为，高中生选择北京的概率的估计值为． 的所有可能取值为0，1，2，3． 4分 的估计值为． 5分 的估计值为 7分 的估计值为 9分 的估计值为． 10分 ． 12分 方法二：记2名初中生选择北京游学的人数为，则． 5分 记1名高中生选择北京游学的人数为，则． 7分 则， 9分 ． 12分 （3）． 15分 20．解：（1）， 1分 设切点为，， 2分 ，． 3分 且，． 4分 （2）由（1）问，对于恒成立， ， 令， 5分 则在上恒成立． 又 6分 为的极小值点， 7分 ．即． 8分 下证满足题意： 当时，， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增． 9分 ， 恒成立得证． 10分 （3）（） ． 令，， 时，，单调递减，即单调递减． 11分 令．且，． 12分 ． 13分 ，， 由在上单调递减，． 14分 ，单调递增． 又． 时，恒成立得证，即对任意， 均有． 15分 21．解：（Ⅰ） 4分 （Ⅱ）若，则，且，， 由②可知，在数列中，且，所以，即， 所以，，． 5分 因为中有4个不同元素，设． 若，则，与②矛盾； 若，则由②可知，或或，即或或，矛盾； 7分 当时，对数列：2，4，8．，均为的“集” 8分 所以的最小值为2． 9分 （Ⅲ）由①可知，对任意，，且，则，且， 所以为数列中某一项， 10分 若，则类比（Ⅱ）可知，数列：1，，，…，， 所以，，…，，由②可知，， 所以，即； 11分 若，则根据第（Ⅱ）问解题过程可知，数列：，，…，， 所以，，…，，由②可知，， 所以，即； 13分 当时，对数列：2，4，8，16，均为的“集” 14分 所以的最大值为4． 15分 说明：所有解答题的解题方法与参考答案不同，各位组长自行确定给分标准． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末练习 牛栏山一中教育集团 高二数学试卷 本试卷共6页，150分．练习时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． A．6 B．8 C．10 D．12 2．下列求导运算正确的是 A． B． C． D． 3．随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则 A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 4．电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选法有 A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 5．现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则 A． B． C． D． 6．下列各图反映了数列的前项和与项数之间的函数关系，其中说明数列可能为等差数列的是 A． B． C． D． 7．设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是 A． B． C． D． 8．若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．如图，直线为曲线的一条切线，则函数在上 A．有2个极小值，有1个极大值 B．有1个极小值，有2个极大值 C．有2个单调递增区间，1个单调递减区间 D．有1个单调递增区间，2个单调递减区间 10．已知正整数数列：，，…，各项互不相等，且满足（，3，4），则的最小值为 A．30 B．31 C．32 D．34 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若数列的前项和为，则__________． 12．若随机变量服从两点分布，其中，则__________． 13．若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为__________．（用数字作答） 14．在一项水稻胚芽实验中，研究人员从某培养皿中随机抽取样本进行检测．培养皿内共有8个水稻胚芽样本，其中有5个目标胚芽和3个非目标胚芽．若某研究员计划进行两次不放回的随机抽样，每次抽取一个胚芽样本．则第一次抽取到目标胚芽的概率为__________；两次都抽取到目标胚芽的概率为__________． 15．无穷数列满足（），则下列结论正确的是__________． ①若，，则为单调递增数列； ②记，若，则为单调递增数列； ③若，则对任意，存在正整数，当时，； ④存在正数，使得对任意均成立． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（14分）已知等差数列与等比数列满足，． （Ⅰ）求数列与的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 17．（13分）已知． （Ⅰ）求的值和含的项的系数； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）已知，求的值． 18．（13分）已知和分别是函数的极值点． （Ⅰ）求，的值及函数的单调区间； （Ⅱ）若恰有两个不同的零点，求的值． 19．（本小题15分）某校计划于暑假开展“知行共奔赴，青春赴山海”游学活动，共有北京、西安、成都、南京、杭州五个地点可供选择，每位学生选择其中一个地点．为了解本校学生的游学意向，采用分层抽样从全校初中生和全校高中生中各随机抽取20名学生，对其选择的游学目的地进行统计调查，各目的地选择人数如下表： 北京 西安 成都 南京 杭州 初中生 10 2 4 2 2 高中生 4 6 3 6 1 假设每位学生选择游学目的地的结果互不影响，用频率估计概率． （Ⅰ）从五个地点中随机选择一个，估计该地点全校初中生选择比例高于全校高中生选择比例的概率； （Ⅱ）从全校初中生中随机抽取2人，从全校高中生中随机抽取1人，记这3人中选择“北京”作为游学目的地的人数为，估计的数学期望； （Ⅲ）若从该校初中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为；从该校高中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为．比较第（Ⅱ）问中随机变量的方差与，三者的大小关系．（结论不要求证明） 20．（本小题15分）已知直线是函数的一条切线． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设实数使得对恒成立，求的值； （Ⅲ）证明：对任意的，，均有． 21．（本小题15分）给定单调递增正整数数列：，，…，（），若非空集合满足以下条件： ①对于任意的，且，有； ②对于任意的，且，有，则称集合为数列的一个“集”． （Ⅰ）已知数列：1，3，9，直接写出的一个“集”； （Ⅱ）已知是数列：，，的一个“集”，且中恰有4个不同元素，求的最小值； （Ⅲ）若数列：，，…，（）存在“集”，求的最大值． （请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 学科网（北京）股份有限公司 $