精品解析：北京市东城区2025-2026学年第二学期期末样卷高二数学

2025—2026学年第二学期期末样卷 高二数学 2026.7 本试卷由样卷和校本题两部分组成，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若是函数的导函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 公益劳动小组有甲、乙、丙三人，他们平均每日公益劳动时间（单位：分钟）分别为48，82，100．从这三人中随机选出两人，记为选出的两人中平均每日公益劳动时间大于60分钟的人数，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数的定义域为，则“，，且，都有”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数在定义域内满足任意两点，（），总有．在下列四组点中，三个点全部在图象上的可能是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知函数若恰有三个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 7. 的展开式中的常数项为____________（用数字作答）． 8. 某款扫地机器人根据接收语音指令完成扫地任务．若语音指令接收清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.9；若语音指令接收不清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.5．设语音指令接收清晰的概率为，若该款机器人成功完成扫地任务的概率为0.8，则的值为__________． 9. 已知函数．设是曲线在点处的切线，过点的直线与垂直，，与轴分别交于点，，则__________． 10. 已知点（），（）分别在函数，的图象上，若轴，则的最小值为__________，此时__________． 11. 已知函数的定义域为．对，定义集合，．给出下列四个结论： ①存在上的单调递增函数，对，有； ②存在上的单调递增函数，对，有； ③若对，都有，则是偶函数； ④若是偶函数，则对，都有． 其中正确结论的序号是_________________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 12. 在中，，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 13. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间，并求其最大值与最小值． 14. 体能赛有“引体向上”和“障碍跑”两个项目，甲、乙两名选手参加．已知甲选手参加“引体向上”和“障碍跑”结果优秀的概率分别为和，乙选手参加“引体向上”和“障碍跑”结果优秀的概率分别为和．每次体能赛，两名选手参加“引体向上”和“障碍跑”两个项目各一次． 假设一名选手参加两个项目的结果是否优秀相互独立，两名选手参加相同或不同项目的结果是否优秀相互独立． （1）进行1次体能赛， （i）求甲选手恰有一个项目结果优秀的概率； （ii）设为甲选手结果优秀的项目数，为乙选手结果优秀的项目数，令求的分布列与数学期望； （2）进行次体能赛．用“”表示这次体能赛中甲选手结果优秀的项目总数多于乙选手结果优秀的项目总数，“”表示这次体能赛中甲选手结果优秀的项目总数不多于乙选手结果优秀的项目总数．比较与的大小关系．（结论不要求证明） 15. 如图，在四棱锥中，，点在上，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）已知，．若为的中点，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知函数的定义域为，导函数．设是曲线在点处的切线． （1）比较与的大小关系，并说明理由； （2）求的最小值； （3）已知点，，，比较与的大小关系，并说明理由． 17. 已知有限数列：，，…，．对于，，，设，记非空集合，满足，非空集合，，满足． （1）若数列：，，，，，直接写出集合和； （2）已知为非空集合，若，记为满足的所有（，）的最小值，求证：； （3）若有限数列：，，…，，非空集合和，满足，有，，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末样卷 高二数学 2026.7 本试卷由样卷和校本题两部分组成，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若是函数的导函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 设，可得， 因为，， 所以， 所以. 2. 公益劳动小组有甲、乙、丙三人，他们平均每日公益劳动时间（单位：分钟）分别为48，82，100．从这三人中随机选出两人，记为选出的两人中平均每日公益劳动时间大于60分钟的人数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】首先判断三人平均每日公益劳动时间是否大于60分钟：甲为48分钟（小于60分钟），乙为82分钟（大于60分钟），丙为100分钟（大于60分钟），即3人中2人满足时间大于60分钟，1人不满足， 从3人中随机选2人，共包含个等可能基本事件，分别为{甲,乙}、{甲,丙}、{乙,丙}，每个事件发生的概率为，则随机变量的可能取值为， 当选出的两人包含甲时，满足时间大于60分钟的人数为1，对应事件共2个，故， 当选出的两人为乙和丙时，满足时间大于60分钟的人数为2，对应事件共1个，故， 因此. 3. 下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】A. 因为，所以的图象可以由的图象向上平移个单位得到，A不适合题意； B.因为，所以的图象可以由的图象向左平移2个单位得到，B不适合题意； C.因为，所以先关于轴对称得到，再向右平移1个单位得到的图象，C适合题意； D.因为，所以的图象可以由的一下向左平移个单位得到，D不适合题意. 4. 已知函数的定义域为，则“，，且，都有”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先验证题设条件能否推出是奇函数判断充分性，再举反例验证奇函数是否一定满足题设条件判断必要性，最终确定条件类型. 【详解】已知，都有， 当时，可得，因此， 对任意，令，，可得，即， 记，由分母不为零可知，因此， 此时，满足奇函数定义，充分性成立； 若是奇函数，取反例，其定义域为且满足是奇函数， 取，，则，而，二者不相等，不满足题设条件，故必要性不成立， 综上所述，“，都有”是“是奇函数”的充分不必要条件. 5. 已知函数在定义域内满足任意两点，（），总有．在下列四组点中，三个点全部在图象上的可能是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到随着的增大，相邻两点连线斜率越来越大,依次判断选项即可. 【详解】因为函数在定义域内满足任意两点，（），总有，所以随着的增大，相邻两点连线斜率越来越大, 对于A，，，相邻两点连线的斜率相等，不满足； 对于B，，，相邻两点连线的斜率逐渐变小，不满足； 对于C，，，相邻两点连线的斜率逐渐变小，不满足； 对于D，，，相邻两点连线的斜率逐渐变大，满足；故D正确， 所以三个点全部在图象上的可能是，，, 6. 已知函数若恰有三个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】就和分类讨论后可求参数的取值范围. 【详解】若，则， 此时的图像如图所示： 由图可得为的极大值点. 若，则在的左侧附近，的右侧附近， 此时不是极值点，同理时，不是极值点. 故时，不是极值点.， 由题设在有两个不同的极值点且在有一个极值点， 而当时，故即， 当时，，故即 综上，的取值范围是. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 7. 的展开式中的常数项为____________（用数字作答）． 【答案】15 【解析】 【分析】由二项式定理得，要使为常数项有，即可求项系数. 【详解】由二项式知：， ∴当时为常数项，即. 故答案为：15. 8. 某款扫地机器人根据接收语音指令完成扫地任务．若语音指令接收清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.9；若语音指令接收不清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.5．设语音指令接收清晰的概率为，若该款机器人成功完成扫地任务的概率为0.8，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式，该款机器人成功完成扫地任务包括语音指令接收清晰成功完成扫地任务与语音指令接收不清晰成功完成扫地任务两个事件，根据互斥事件和概率，可计算值． 【详解】设事件A为语音指令接收清晰,事件B为完成扫地任务； 则，；，，； 因为与互斥， 故 ， 解得． 9. 已知函数．设是曲线在点处的切线，过点的直线与垂直，，与轴分别交于点，，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先求曲线在A点的导数得到切线的斜率，由垂直关系得的斜率，分别求出两条直线与轴的交点M、N坐标，再利用两点间距离公式计算线段长度的比值 【详解】由得，故. 对求导得，则，即的斜率为， 则的方程为，整理为. 依题意，可得，则； 因与垂直，故的斜率，又过， 则的方程为，整理为. 依题意，可得，则. 故. 10. 已知点（），（）分别在函数，的图象上，若轴，则的最小值为__________，此时__________． 【答案】 ①. 1 ②. 1 【解析】 【分析】根据轴，得到，从而，设，将的最小值转化为的最小值，利用导数求的最小值即可. 【详解】因为轴，所以，即    故，设，则的最小值为的最小值， ，令，， 当时，，因此在上单调递增，又， 所以时，，因此在上单调递增， 故的最小值为，即的最小值为；此时，. 11. 已知函数的定义域为．对，定义集合，．给出下列四个结论： ①存在上的单调递增函数，对，有； ②存在上的单调递增函数，对，有； ③若对，都有，则是偶函数； ④若是偶函数，则对，都有． 其中正确结论的序号是_________________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题设集合新定义，①由函数的单调递增求出判断，②举例说明即可；④利用偶函数的性质判断，③令，问题化为在和上的值域相同，举出反例判断. 【详解】若是R上单调递增函数， 当时，有，即，所以， 当时，有，即，所以， 因此，有，故①错误， 存在在定义域R上单调递增，值域为R， 当时，有，即，所以， 当时，有，即，所以， 因此，有，故②正确， 若是偶函数，则对任意实数有，且， 对于，令，而， 所以，且，， 所以，故④正确， 由，，， 要使，即对都能在中找到对应值，使， 令，即只需保证在和上的值域相同即可， 如定义域为，且，即为奇函数， 当时，时，且，则的值域为， 同理，当时的值域也为，故必有在和上的值域相同， 此时，在和上的值域必相同，而是奇函数，故③错误. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 12. 在中，，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求解即可. （2）利用余弦定理求出，结合三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，，，所以, 因为，所以,解得： 【小问2详解】 若，由，可得， 所以，即，解得或， 当时，，当时，. 13. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间，并求其最大值与最小值． 【答案】（1）. （2）单调递增区间为和，单调递减区间为； 最大值为，最小值为. 【解析】 【小问1详解】 已知，所以， ， 切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 令，解得或，列表如下： 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 又因为所以的最大值为，最小值为. 14. 体能赛有“引体向上”和“障碍跑”两个项目，甲、乙两名选手参加．已知甲选手参加“引体向上”和“障碍跑”结果优秀的概率分别为和，乙选手参加“引体向上”和“障碍跑”结果优秀的概率分别为和．每次体能赛，两名选手参加“引体向上”和“障碍跑”两个项目各一次． 假设一名选手参加两个项目的结果是否优秀相互独立，两名选手参加相同或不同项目的结果是否优秀相互独立． （1）进行1次体能赛， （i）求甲选手恰有一个项目结果优秀的概率； （ii）设为甲选手结果优秀的项目数，为乙选手结果优秀的项目数，令求的分布列与数学期望； （2）进行次体能赛．用“”表示这次体能赛中甲选手结果优秀的项目总数多于乙选手结果优秀的项目总数，“”表示这次体能赛中甲选手结果优秀的项目总数不多于乙选手结果优秀的项目总数．比较与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）（i）； （ii）的分布列为： 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式即可求得甲选手恰有一个项目结果优秀的概率； （ii）先分别求出和的分布列，再根据的定义求出的取值及分布列，最后根据期望的定义计算期望即可； （2）根据服从两点分布，先分别求出和的概率，然后根据两点分布的方差计算公式计算和，最后进行比较即可. 【小问1详解】 （i）设“甲选手‘引体向上’结果优秀”为事件， “甲选手‘障碍跑’结果优秀”为事件，则， 所以甲选手恰有一个项目优秀的概率为， 因为， 所以，代入上式得. （ii）为甲选手结果优秀的项目数，则可能取值为0，1，2， 则，， . 设“乙选手‘引体向上’结果优秀”为事件，“乙选手‘障碍跑’结果优秀”为事件，则，为乙选手结果优秀的项目数，则可能取值为0，1，2， 则，，. 因为，所以的可能取值为0，1，2. 当时，， 所以 ； 当时，，即或， 所以； 当时，，即， 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 【小问2详解】 服从两点分布，，， 所以； 设第一次甲项目优秀数为，乙项目优秀数为， 第二次甲项目优秀数为，乙项目优秀数为， 两次甲总优秀数为，乙项目总优秀数为， 则.且的可能取值均为0，1，2，3，4， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 则， 所以， 而，所以. 15. 如图，在四棱锥中，，点在上，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）已知，．若为的中点，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）取的中点，连接、， 因为是的中点，所以，且， 且，所以，即且， 因此，四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解. （2）选条件①，利用线面垂直的判定定理得到平面，以为原点，为轴，为轴，利用空间向量法得到故条件①不符合要求.选条件②：利用空间向量法求出，结合已知求出的的值唯一，从而得到条件②符合要求，利用空间向量法求出线面角；选条件③，由求出，利用向量的数量积求出的的值唯一，从而得到条件③符合要求，利用空间向量法求出线面角. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 选条件①，因为，，为中点，所以， 因为， ，所以是矩形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因平面，所以， 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线作为轴， 则轴在平面内， 因为，所以， 由，，得，则， 因为，，所以， 因为，所以恒成立， 则条件①不能确定，故不唯一，则条件①不符合“唯一确定”的要求， 从而得到条件①不符合要求. 选条件②：因为为中点，，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得， 有一个高度，几何体唯一，故条件②符合要求， 则，故以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，则令，得， 设直线与平面所成角为， 则：， ， ， . 选条件③：因为，所以， 因为，，所以， 因为，所以， ， 则， 因为，所以，解得， 有一个高度，几何体唯一，故条件③符合要求， 则，故为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，则令，得， 设直线与平面所成角为， 则：， ， ， . 16. 已知函数的定义域为，导函数．设是曲线在点处的切线． （1）比较与的大小关系，并说明理由； （2）求的最小值； （3）已知点，，，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1），理由如下： 由可得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 因，而函数在上单调递增，故， 即，因在上单调递减，则. （2） （3）① 当时，； ② 当时，； ③ 当时，. 理由如下： 因， 则曲线在点处的切线为，即， 设，则， 由（2）得， 故当时，都有，即，当且仅当时取等， 故函数在上单调递增，且， ① 当时，，即； ② 当时，，即； ③ 当时，，即. 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数在上单调递减，利用幂函数的单调性得，再由单调性即可比较与的大小； （2）设，求导判断函数的单调性，求出其最小值即可； （3）先求出切线方程，设，通过求导利用（2）的结论推得函数在上单调递增，且，再根据的取值进行分类，利用单调性即可判断与的大小. 【小问1详解】 ，理由略； 【小问2详解】 设，则， 由得，由得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 故当时，，即的最小值为； 【小问3详解】 ① 当时，，即； ② 当时，，即； ③ 当时，，即.理由略. 17. 已知有限数列：，，…，．对于，，，设，记非空集合，满足，非空集合，，满足． （1）若数列：，，，，，直接写出集合和； （2）已知为非空集合，若，记为满足的所有（，）的最小值，求证：； （3）若有限数列：，，…，，非空集合和，满足，有，，且，求的最小值． 【答案】（1）;; （2）任取，并任取整数． 当时，由，结论显然成立． 以下设． 由的定义，是满足的最小下标，所以，而 因此 于是存在下标，使，故，所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）逐个计算以各项为起点或终点的连续和，按定义确定两个集合； （2）利用的最小性，将化为两个连续和之差； （3）分别估计属于和的值为的项数，得到总和的下界，再给出达到下界的数列． 【小问1详解】 数列为． 以第项为起点的连续和依次为其中存在正数，所以； 以第项为起点时，，所以； 以第项为起点的连续和均不大于，所以； 又，而，所以，． 因此. 由可知； 不存在以第项或第项为终点的正连续和，所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记数列中所有正项之和为，值为的项数为． 因为非空，所以数列中至少有一个正项，从而 令 若，则 从左向右考察前缀和． 以每次前缀和取得严格新最小值后的时刻为一段的起点，在下一次取得严格新最小值之前结束，最后一段延续到． 在每一段内，前缀和均不低于该段起点处的值． 设该段所有正项之和为． 每个满足且的下标，都对应前缀和在该段最低值上方下降的一步． 若该段最后仍在最低值上方，则这类下降步至多有步； 若该段回到最低值，则最后回到最低值的下降步不属于，这类下降步仍至多有步． 只有含正项的段才可能出现上述下标． 设这样的段数为，则． 记满足且的项数为，将各段相加可得 将数列倒序后作同样讨论． 原数列中的下标属于，当且仅当它在倒序数列中对应的下标属于． 记满足且的项数为，则． 又因为，每一个值为的项的下标至少属于上述两个集合之一， 故 于是 因为为整数，所以 取其余各项均为． 当时，，所以； 当时，所以． 因此该数列满足题设条件，且 所以所求最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $