精品解析：北京市第二中学2025-2026学年高二下学期第六学段考试（期末）数学试卷

北京二中2025-2026学年度第六学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第三册 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 故 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 7. “里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：年云南澜沧发生地震为里氏级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值． 【详解】解：云南澜沧发生地震为里氏7.6级，，即；① 四川汶川发生的地震为里氏8级，，即．② ①②得：，即， ． 故选：． 8. 已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数奇偶性和单调性，从而得到不等式，求出答案 【详解】的定义域为R， 且， 所以为偶函数， 当时，，恒成立， 故在上单调递减， ，即， 故，两边平方，化简得， 解得或，故实数的取值范围是. 9. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 10. 已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根. 详解：函数， 函数的定义域是， ， 是函数的唯一一个极值点， 是导函数的唯一一个极值点， 在无变号零点， 令， ， ①时，恒成立，在时单调递增； 的最小值为，无解； ②时，有解为：， ，，在单调递减， 时，，在单调递增， 的最小值为， ， 由和图象，它们切于， 综上所述，. 故选：A. 点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 11. 函数的图象在点处的切线方程是_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， ， 所以切线方程为，即. 12. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部．则其报乒乓球俱乐部的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出同时报名足球和乒乓球的人数，再由条件概率公式即可求得.， 【详解】记事件：某人报足球俱乐部，事件：某人报乒乓球俱乐部， 因为，即， 解得， 则. 13. 已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得，从而得出，然后利用基本不等式求的最小值. 【详解】因为，所以， 又当时，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，将问题转化为，利用导数求出，再转化为，设，利用导数求出即可. 【详解】设，因为对任意的恒成立，则， 求导得 令得，， 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增； 所以，所以， 则， 设，， 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 所以，即的最大值为，的最大值为. 故答案为：. 15. 已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点； ③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为； ④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为. 其中所有正确结论的编号是___________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④； 【详解】当时，，此时不满足方程； 若，则，即 若，则，即 作出函数在时的图像，如图所示， 对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确； 对于②，可知函数在时的图像与与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误； 对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或 当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： （1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8； （2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为，故③错误； 对于④，函数在上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前项和为，故④正确. 故答案为：①④ 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 五、解答题：（本大题共85分，请将答案在答题纸上） 16. 在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9. 【答案】（1）2 （2） 由（1）得，由正弦定理得， 若选条件①：由余弦定理得，即， 又由，解得，则，此时存在且唯一确定， 因为，则，可得， 所以； 若选条件②：由，因为，即， 若为锐角，则， 由余弦定理，即， 整理得，且，解得，则； 若为钝角，则， 由余弦定理得，即， 整理得，且，解得，则； 综上所述，此时存在但不唯一确定，不合题意； 若条件③：因为，即，解得，则， 所以此时存在且唯一确定， 由余弦定理得， 因为，可得， 所以． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简得到，进而得到，即可求解； （2）由（1）得到，若选条件①：由余弦定理求得，，得出存在且唯一确定，结合面积公式，求得的面积； 若选条件②：由，得到，分类为锐角和为钝角，两种情况，结合余弦定理，列出方程，得到存在但不唯一确定，不合题意； 若条件③：由和，求得的值，再由余弦定理和面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得， 即， 又因为，可得， 所以，可得. 【小问2详解】 略 17. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为组：、、、加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于的种子定为“级”，发芽率低于但不低于的种子定为“级”，发芽率低于的种子定为“级”． （Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“级”、“级”、“级”康乃馨种子的售价分别为元、元、元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费元，以频率为概率，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为；（Ⅲ）方差变大了． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为，求出的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （Ⅱ）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可列出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望； （Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“级”种子”， 由图表，得，解得， 由图表，知“级”种子的频率为， 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“级”的概率为． 因为事件与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“级”种子”为对立事件， 所以事件的概率； （Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“级”康乃馨的概率为， 恰好是“级”康乃馨的概率为， 恰好是“级”的概率为． 随机变量的可能取值有、、、、， 且，， ，， . 所以的分布列为： 故的数学期望． （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在， 【解析】 【详解】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面；（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值. 试题解析：（1）因为平面平面，， 所以平面，所以， 又因为，所以平面； （2）取的中点，连结，， 因为，所以. 又因为平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以. 如图建立空间直角坐标系，由题意得， . 设平面的法向量为，则 即 令，则. 所以. 又，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设是棱上一点，则存在使得. 因此点. 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得. 所以在棱上存在点使得平面，此时. 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 19. 已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F． （1）求椭圆C的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），的面积；（2）存在；． 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上求出，进而求出，最后求出离心率及三角形的面积；（2）先根据两种特殊情况求出定点，从而可以获得，再证明实数时，使得直线经过y轴上定点. 【详解】解：（1）依题意，，解得． 因为，即， 所以，， 所以离心率， 的面积． （2）由已知，直线的方程为， 当时， 直线的方程为，交y轴于点； 当时， 直线的方程为，交y轴于点． 若直线经过y轴上定点，则， 即，直线交y轴于点． 下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点． 联立消y整理，得， 设，． 则，． 设点，所以直线的方程：． 令，得 ． 因为， 所以． 所以直线过定点． 综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点． 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 20. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间； （2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围； （3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论. 【小问1详解】 由题设， 当时，，则在R上递增； 当时，令，则， 若，则，在上递减； 若，则，在上递增； 综上，时的递增区间为R，无递减区间； 时的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 由， 当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求； 当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而， 所以在上递减，在上递增，要使对恒成立， 所以，只需， 令且，则，即递减， 所以，故在上不存在； 综上， 【小问3详解】 由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点； 时，在上递减，在上递增，且， 所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷， 所以，在上存在唯一，使， 要证，只需在上恒成立即可， 令，若，则， 令，则，即在上递增，故， 所以，即在上递增，故， 所以在上恒成立，得证； 故，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可. 21. 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值； （2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数． 【答案】（1）； （2）充分性：若A是等差数列，设公差为d． 因为数列A是递增数列，所以． 则当时，， 所以，． 必要性：若． 因为A是递增数列，所以， 所以，且互不相等， 所以． 又， 所以，且互不相等． 所以， 所以， 所以A为等差数列． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值； （2）先假设数列为递增的等差数列，公差为，则可知，当时，，则可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，因为A是递增数列，所以，可推出，那么，又，且互不相等，则可知，所以，可得数列A是等差数列; (3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为. 【详解】解：（1）因为，，，，则的可能情况有： ，，，，，， 所以，． （2）略 （3）因为数列A由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和． 共个不同的值；且对任意的， m和这两个数中至少有一个在集合T中． 又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以． 综上，，且． 设数列：，此时． 现对数列分别作如下变换： 把一个1移动到2，3之间，得到数列：， 此时，． 把一个1移动到3，4之间，得到数列：， 此时，． 把一个1移动到，n之间得到数列：， 此时，． 把一个1移动到n，之间，得到数列：， 此时，． 再对数列依次作如下变换： 把一个1移为的后一项，得到数列：， 此时，； 再把一个2移为的后一项：得到数列：， 此时，； 依此类推 最后把一个n移为的后一项：得到数列：， 此时，． 综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为． 【点睛】本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而得出的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，的值不同. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2025-2026学年度第六学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第三册 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 7. “里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：年云南澜沧发生地震为里氏级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 11. 函数的图象在点处的切线方程是_______． 12. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部．则其报乒乓球俱乐部的概率为___________． 13. 已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为________． 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 15. 已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点； ③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为； ④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为. 其中所有正确结论的编号是___________. 五、解答题：（本大题共85分，请将答案在答题纸上） 16. 在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9. 17. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为组：、、、加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于的种子定为“级”，发芽率低于但不低于的种子定为“级”，发芽率低于的种子定为“级”． （Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“级”、“级”、“级”康乃馨种子的售价分别为元、元、元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费元，以频率为概率，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F． （1）求椭圆C的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则． 21. 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值； （2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $