4.2直线与圆锥曲线的综合问题课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，涵盖相交弦长计算、中点弦问题及综合应用，通过椭圆、抛物线、双曲线实例导入，以例题解析为支架，衔接圆锥曲线基础性质与综合解题方法。 其亮点在于突出“通性通法”总结，如弦长公式、点差法等，结合数学运算与逻辑推理，通过例1弦长两种算法、例2点差法推导轨迹方程，培养学生数学思维。讲练结合的设计帮助学生掌握解题策略，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 新课程标准解读 核心素养 1.会求直线与圆锥曲线相交截得的弦长 数学运算 2.掌握圆锥曲线中的中点弦问题 逻辑推理 3.掌握直线与圆锥曲线的综合问题 数学运算 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求直线与圆锥曲线相交截得的弦长 【例1】　已知斜率为1的直线 l 经过椭圆 ＋ y2＝1的右焦点 F ，与椭 圆相交于 A ， B 两点. （1）求线段 AB 的中点 M 的坐标； 解：设 A ， B 两点的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2）， 由椭圆方程知 a2＝4， b2＝1，∴ c ＝ ＝ ， ∴ F （ ，0），∴直线 l 的方程为 y ＝ x － ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 设线段 AB 的中点 M 的坐标为（ x ， y ），则 x ＝ ＝ ， y ＝ ＝－ . ∴线段 AB 的中点 M 的坐标为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解方程组 得 因此 A ， B . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求｜ AB ｜的值. 解： 法一　｜ AB ｜＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　∵｜ AB ｜＝ ＝ ＝ . 由得5 x2－8 x ＋8＝0， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∴ x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ， ∴｜ AB ｜＝ · ＝ × ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求弦长的两种方法 （1）求出直线与圆锥曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦 长； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，消元得到关于一个未知数的一元 二次方程，利用弦长公式：｜ P1 P2｜＝ · （ 或｜ P1 P2｜＝ · ），其中 x1， x2（ y1， y2）是上 述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两 根之积后代入公式可求得弦长. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 直线 l 过定点 P （2，0），且斜率为1，与抛物线 y2＝ x 相交于 A ， B 两点，求： （1）线段 AB 的中点 M 的坐标； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题意知直线 l 的方程为 y ＝ x －2， 解方程组得或 因此 A （1，－1）， B （4，2）. 设线段 AB 的中点 M 的坐标为（ x ， y ），则 x ＝ ＝ ， y ＝ ＝ ， 所以线段 AB 的中点 M 的坐标为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题意知直线 l 的方程为 y ＝ x －2， 解方程组得或 因此 A （1，－1）， B （4，2）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解： ｜ AB ｜＝ ＝ ＝3 . （2）｜ AB ｜的值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 中点弦问题 【例2】　已知抛物线 y2＝2 x ，过点 Q （2，1）作一条直线交抛物线 于 A ， B 两点，试求弦 AB 的中点的轨迹方程. 解：法一　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），弦 AB 的中点为 M （ x ， y ），则 y1＋ y2＝2 y ，当直线 AB 的斜率存在时， kAB ＝ ＝ . 易知 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ①－②，得（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝2（ x1－ x2）， 所以2 y · ＝2，即2 y · ＝2，即 ＝ x － （ y ≠0）. 当直线 AB 的斜率不存在，即 AB ⊥ x 轴时， AB 的中点为（2，0），适 合上式，故所求轨迹方程为 ＝ x － . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y －1＝ k （ x － 2）（ k ≠0），由得 y2－ y ＋1－2 k ＝0.则 所以 k ∈（－∞，0）∪（0，＋ ∞）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， AB 的中点为 P （ x ， y ），则 y1＋ y2 ＝ ， y1 y2＝ . 所以 x1＋ x2＝ （ ＋ ）＝ [（ y1＋ y2）2－2 y1 y2]＝ ＝ . 则 x ＝ ＝ ， y ＝ ＝ ， 消去 k 得 ＝ x － （ y ≠0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 当直线 AB 的斜率不存在，即 AB ⊥ x 轴时， AB 的中点为（2，0），适 合上式. 故所求轨迹方程为 ＝ x － . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 中点弦问题的解题策略 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　已知双曲线 x2－ y2＝1和斜率为 的直线 l 交于 A ， B 两点，当 l 变化 时，线段 AB 的中点 M 的坐标（ x ， y ）满足的方程是 ⁠. 解析：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 两式相减， 得（ x1＋ x2）·（ x1－ x2）＝（ y1＋ y2）（ y1－ y2）.因为 － ≠0， M 的坐标为（ x ， y ），所以 ＝ ，又直线 l 的斜率为 ，所以 ＝ ，即 y ＝2 x . y ＝2 x 　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 直线与圆锥曲线的综合问题 【例3】　设双曲线 C ： － y2＝1（ a ＞0）与直线 l ： x ＋ y ＝1相交 于两个不同的点 A ， B . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； 解： 将 y ＝－ x ＋1代入双曲线方程 － y2＝1中得（1－ a2） x2＋2 a2 x －2 a2＝0　①，∴解 得0＜ a ＜ 且 a ≠1.又双曲线的离心率 e ＝ ＝ ， ∴ e ＞ 且 e ≠ .即 e 的取值范围为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且 ＝ ，求 a 的值. 解： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由题意知 P （0， 1）.∵ ＝ ，∴（ x1， y1－1）＝ （ x2， y2－1），由此 得 x1＝ x2.由于 x1， x2都是方程①的根，且1－ a2≠0，则 x1＋ x2 ＝ ， x1 x2＝ ，∴ x2＝－ ， ＝－ .消去 x2，得－ ＝ ，由 a ＞0得 a ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　圆锥曲线的综合问题最终体现在对直线与圆锥曲线的位置关 系、轨迹、向量关系及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决 这类问题常用的方法.在解题时，应有意识地运用这些方法，达到 熟练掌握的程度. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知椭圆 C ： ＋ ＝1（0＜ m ＜5）的离心率为 ， A ， B 分别 为 C 的左、右顶点. （1）求 C 的方程； 解：由题设可得 ＝ ，得 m2＝ ， 所以 C 的方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x ＝6上，且｜ BP ｜＝｜ BQ ｜， BP ⊥ BQ ，求△ APQ 的面积. 解：设 P （ xP ， yP ）， Q （6， yQ ），根据对称性可设 yQ ＞0，由题意知 yP ＞0. 由已知可得 B （5，0），直线 BP 的方程为 y ＝－ （ x －5）， 所以｜ BP ｜＝ yP ，｜ BQ ｜＝ . 因为｜ BP ｜＝｜ BQ ｜， 所以 yP ＝1，将 yP ＝1代入 C 的方程，解得 xP ＝3或－3. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 由直线 BP 的方程得 yQ ＝2或8. 所以点 P ， Q 的坐标分别为 P1（3，1）， Q1（6，2）； P2（－3，1）， Q2（6，8）. ｜ P1 Q1｜＝ ，直线 P1 Q1的方程为 y ＝ x ， 点 A （－5，0）到直线 P1 Q1的距离为 ， 故△ AP1 Q1的面积为 × × ＝ . ｜ P2 Q2｜＝ ，直线 P2 Q2的方程为 y ＝ x ＋ ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 点 A 到直线 P2 Q2的距离为 ， 故△ AP2 Q2的面积为 × × ＝ . 综上，△ APQ 的面积为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 过椭圆 ＋ y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 A ， B 两点，则｜ AB ｜＝（　　） A. 4 C. 1 解析：　因为 ＋ y2＝1中 a2＝4， b2＝1，所以 c2＝3，所以右焦 点坐标为（ ，0），将 x ＝ 代入 ＋ y2＝1得， y ＝± ，故｜ AB ｜＝1.故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 在抛物线 y2＝8 x 中，以（1，－1）为中点的弦所在直线的方程是 （　　） A. x －4 y －3＝0 B. x ＋4 y ＋3＝0 C. 4 x ＋ y －3＝0 D. 4 x ＋ y ＋3＝0 解析：　设弦两端点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 y1＋ y2＝ －2.∵ A ， B 在抛物线上，∴ ＝8 x1， ＝8 x2，两式相减得， （ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝8（ x1－ x2），∴ ＝－4，∴直线 AB 的 方程为 y ＋1＝－4（ x －1），即4 x ＋ y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0），过点 P （3，6）的直 线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，且线段 AB 的中点为 N （12，15），则 双曲线 C 的离心率为（　　） A. 2 B. 3 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由已知可得 － ＝ 1， － ＝1，两式相减化简可得 － · ＝0.又线段 AB 的中点 N 的坐标为（12，15），直线 AB 过点 P （3，6），∴ x1＋ x2 ＝24， y1＋ y2＝30， ＝1，∴ ＝ ，∴ ＝1＋ ＝ ，∴离 心率 e ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 设 F1， F2分别为椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意 一点，则使得 · ＝－7成立的点 P 的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　设 P （ x0， y0）.∵ F1， F2分别为椭圆 ＋ ＝1的左、 右焦点，∴ F1（－4，0）， F2（4，0），∴ ＝（－4－ x0，－ y0）， ＝（4－ x0，－ y0）.∵ · ＝－7，∴（－4－ x0） （4－ x0）＋（－ y0）2＝－7，即 ＋ ＝9　①.又∵ P （ x0， y0） 为椭圆上任意一点，∴ ＋ ＝1　②.联立①②解得或 ∴使得 · ＝－7成立的点 P 的个数为2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 若直线 x － y ＝2与抛物线 y2＝4 x 交于 A ， B 两点，则线段 AB 的中点 坐标是 ⁠. 解析：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），联立直线与抛物线得方程组 整理得 x2－8 x ＋4＝0，所以 x1＋ x2＝8， y1＋ y2＝ x1＋ x2－4＝4，所以中点坐标为（4，2）. （4，2）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $