1 空间直角坐标系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系，涵盖坐标系建立、点的坐标表示、对称点求法及两点间距离公式，通过类比平面直角坐标系搭建学习支架，衔接平面到空间的知识过渡，引导学生逐步掌握空间几何基础。 其亮点在于结合正方体、正四棱锥等几何体实例，培养学生空间观念与几何直观（数学眼光），通过公式推导和对称规律总结发展推理能力（数学思维），以坐标和公式精确表达空间关系（数学语言）。丰富例题与跟踪训练助力学生巩固，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第三章　空间向量与立体几何 1 §1　空间直角坐标系 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给点的坐标．　 2.了解空间两点间距离公式的推导过程．　3.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　点在空间直角坐标系中的坐标 1．空间直角坐标系 坐标系 定义 图示 空间 直角 坐标系 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz，如图所示．点O叫作__________，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作_________，通过每两条坐标轴的平面叫作___________，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面   坐标原点 坐标轴 坐标平面 新知学习 探究 返回导航 坐标系 定义 图示 右手系 在空间直角坐标系中，伸出右手，让四指与大拇指______，并使四指先指向x轴________，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向_____________，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系   垂直 正方向 y轴正方向 新知学习 探究 返回导航 2.点在空间直角坐标系中的坐标 (1)类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组； (2)在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：_______________． 三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的_______，记作P(x，y，z)，其中____叫作点P的横坐标，_____叫作点P的纵坐标，_____叫作点P的竖坐标． P↔(x，y，z) 坐标 x y z 新知学习 探究 返回导航 提醒　(1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分． (2)将x轴和y轴放在水平面上． (3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合． (4)建立的坐标系一般为右手系． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 新知学习 探究 返回导航 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． 新知学习 探究 返回导航 (2)求某点M的坐标的方法 ①垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线．注意坐标符号． ②公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式求出坐标． ③方程(组)法：利用向量平行或相等关系设出所求点的坐标，建立方程组． 作MM′垂直于xOy平面，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上投影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z). 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 (1)顶点A，D1的坐标分别为__________________________； (2)棱C1C中点的坐标为_________________； (3)正方形BCC1B1对角线的交点的坐标为_________________________． (0，0，0)，(0，1，1) 新知学习 探究 返回导航 二　空间点的对称问题 　　　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； 【解】　由于点P关于x轴对称后，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为(－2，－1，－4). 新知学习 探究 返回导航 (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； 【解】　由点P关于xOy平面对称后，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以对称点P2的坐标为(－2，1，－4). (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标． 【解】　设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12). 新知学习 探究 返回导航  空间直角坐标系中对称点坐标的求法 (1)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下： 关于xOy 平面对称 关于yOz 平面对称 关于zOx 平面对称 关于原点对称 (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) (－x，－y，－z) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于z轴对称 (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z) 新知学习 探究 返回导航 (2)点关于坐标轴、坐标平面的对称点的坐标的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余均改变”，如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，关于xOy平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为____________． 解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). (2，－3，1) 新知学习 探究 返回导航 三　空间两点间的距离公式 　　已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝___________________________________________． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA| ＝2，CA⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点， 求|DE|，|EF|的长． 新知学习 探究 返回导航 　　在具体的立体几何图形中，需结合图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，再利用空间两点间的距离公式求解． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5).求： ①△ABC中最短边的边长； ②AC边上中线的长度． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 四　空间两点间距离公式的综合应用 　　　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝3，点M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是线段DM的中点，求|NP|的长． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (综合变式)若本例中条件“点P是线段DM的中点”改成“点P是线段DM上的点，且|DP|＝a”，求|NP|的最小值及此时a的值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　距离是几何中的基本度量，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练4] 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz.若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|. 新知学习 探究 返回导航 (1)试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点P′的坐标； 新知学习 探究 返回导航 (2)在线段C1D上找一点M，使得点M和点P间的距离最小，求出点M的坐标． 新知学习 探究 返回导航 [典例展示]　点A(1，2，3)关于xOy平面对称的点B的坐标是(　　) A．(－1，2，3) B．(1，－2，3) C．(1，2，－3) D．(－1，－2，3) [错解展示]　根据空间直角坐标系的对称性质得选D． 正解：根据空间直角坐标系的对称性质得，关于xOy平面对称时，横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，故选C． 易错点 对于空间直角坐标系的对称性质理解错误 √ 新知学习 探究 返回导航 [易错警示]　错解错在对于空间直角坐标系的对称性质理解错误，空间直角坐标系和平面直角坐标系中的对称性质是一样的，对称轴或对称平面上的坐标不改变，其他坐标要改变．掌握这个规律就能准确解题． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 39 √ 1．在空间直角坐标系中，下列各点位于yOz平面内的是(　　) A．(3，2，1) B．(2，0，0) C．(5，0，2) D．(0，－1，－3) 解析：位于yOz平面内的点，其横坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz平面内． 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．在空间直角坐标系中，点A(－1，2，－3)关于yOz平面的对称点的坐标为____________． 解析：点A(－1，2，－3)关于yOz平面的对称点的坐标为(1，2，－3). (1，2，－3) 课堂巩固 自测 返回导航 4．已知空间中两点A(－3，－1，1)，B(－2，2，3)，在z轴上有一点C，它到A，B两点的距离相等，求点C的坐标． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：空间直角坐标系的概念、空间点的坐标及空间两点间的距离公式． 2．须贯通：求空间直角坐标系中点的坐标，要观察该点在坐标轴的正方向或负方向上距离原点的距离． 3．应注意：混淆空间中点的对称点的特点，记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余均改变”． 课堂巩固 自测 返回导航 (1，1，) (1，，) $