2.2.3 直线的一般式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线的一般式方程”，通过问题“是否有完美的直线形式”导入，连接之前学过的直线方程形式的使用限制，引导学生从特殊到一般探索一般式的定义及普适性，构建知识学习支架。 资料以问题驱动培养数学眼光，通过例题与变式训练发展数学思维，规范方程表示提升数学语言能力。习题分层设计且易错点提示明确，巩固加练题型多样，助力学生掌握知识并发展核心素养。

第二章　直线和圆的方程 2.2直线的方程 2.2.3直线的一般式方程 学习目标　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的 一般式. 问题 通过之前的学习，我们发现无论什么形式的直线都有使用的限制，是否有完美的直线形式呢？ 一、直线的一般式方程 （1）定义：关于、的二元一次方程 叫做直线的一般方程。 （2）适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是，经过点A（8，―2）； （2）经过点B（4，2），平行于x轴； （3）经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上截距相等； （4）经过两点，． 【变式1-1】直线1：ax－y＋b＝0，2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是( ) 2、 直线过定点问题 【例2】已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________； (3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________. 【变式2-1】直线恒过的定点坐标是________． 3、 一般式的平行与垂直 （1）已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） ①若②若 （2）平行和垂直的直线的设法 ①平行：与直线垂直的直线方程可设为 ②垂直：与直线垂直的直线方程可设为 【例3】若，的图象是两条平行直线，则的值是 A．或 B． C． D．的值不存在 【变式3-1】若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A． B． C．0或 D．1或 【例4】若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 易错点提示一般式不能说随便转化成其他式子，需要考虑斜率是否存在。 巩固加练 1.在直角坐标系中，直线经过（ ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 2.方程表示( ) A．过点(－4,0)的一切直线 B．过点(4,0)的一切直线 C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(－4,0)且不平行于x轴的一切直线 3.直线和直线的位置关系是（ ） A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定 4.已知，直线与直线平行 ，则（ ） A． B．且 C． D． 5.若直线与垂直，则实数的值是（ ） A．3或-3 B．3或4 C．-3或-1 D．-1或4 6. （多选）已知直线：.（ ） A．直线与直线平行 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线垂直 7.已知过的直线与直线没有公共点，则直线的方程为______． 8. 已知直线：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围. 9.已知，直线和直线与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形面积最小，求的值． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.2直线的方程 2.2.3直线的一般式方程 学习目标　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的 一般式. 问题 通过之前的学习，我们发现无论什么形式的直线都有使用的限制，是否有完美的直线形式呢？ 参考答案　点斜式、两点式都存在适用局限，无法表达所有直线。我们可以探寻一种不受特殊直线约束、具备通用性的直线方程。直线的一般式，就是能够表示平面内任意一条直线的统一形式。 一、直线的一般式方程 （1）定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 （2）适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是，经过点A（8，―2）； （2）经过点B（4，2），平行于x轴； （3）经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上截距相等； （4）经过两点，． 【答案】（1）；（2）；（3）3x－2y＝0或x＋y－5＝0； （4） 【解析】（1）由点斜式方程得，化成一般式得． （2）由斜截式得，化为一般式得． （3）当截距不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 因为直线过点P(2，3)，所以＋＝1，所以a＝5. 所以直线的方程为x＋y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0． （4）由两点式得，化成一般式方程为 【变式1-1】直线1：ax－y＋b＝0，2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是( ) 【答案】B 【解析】排除法：选项A中，直线l1的斜率大于0，在y轴上的截距小于0， ∴a>0，b<0，故2的斜率为－b>0，但图中2的斜率小于0，故A不正确， 同理排除C、D，故选B 2、 直线过定点问题 【例2】已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________； (3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________. 解析　(1)当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0). 【变式2-1】直线恒过的定点坐标是________． 【答案】(2,3) 【解析】原方程可化为m(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0.∵对任意m∈R，方程恒成立，∴解得∴直线恒过定点(2,3) 3、 一般式的平行与垂直 （1）已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） ①若②若 （2）平行和垂直的直线的设法 ①平行：与直线垂直的直线方程可设为 ②垂直：与直线垂直的直线方程可设为 【例3】若，的图象是两条平行直线，则的值是 A．或 B． C． D．的值不存在 【答案】B 【解析】显然 或 时两条直线不平行，则由题意可得 ，解得 故选B 【变式3-1】若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A． B． C．0或 D．1或 【答案】D 【解析】，，即，解得或.故选：D． 【例4】若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为， 因为直线过点，所以，得，所以直线的方程为，故选：D 【变式4-1】过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线斜率为，直线方程为，化为一般式为． 故选：A． 易错点提示一般式不能说随便转化成其他式子，需要考虑斜率是否存在。 巩固加练 1.在直角坐标系中，直线经过（ ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【答案】A 【解析】由，令可得，；令可得；即直线过点，，所以直线经过一、二、三象限.故选：A 2.方程表示( ) A．过点(－4,0)的一切直线 B．过点(4,0)的一切直线 C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(－4,0)且不平行于x轴的一切直线 【答案】C 【解析】方程y＝k(x＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C． 3.直线和直线的位置关系是（ ） A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定 【答案】A 【解析】当时，当时，，，则，则． 综上，知，故选：A． 4.已知，直线与直线平行 ，则（ ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【解析】与直线可以化为而直线可化为直线与直线平行所以且.故选：B 5.若直线与垂直，则实数的值是（ ） A．3或-3 B．3或4 C．-3或-1 D．-1或4 【答案】A 【解析】∵直线与垂直， ∴，则或，故选A 6. （多选）已知直线：.（ ） A．直线与直线平行 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线垂直 【答案】ABC 【解析】直线：的斜率为，纵截距为, 直线的斜率为，纵截距为,直线的斜率为，纵截距为,都与直线l的斜率相等，纵截距不相等，故都与直线l平行.∴A,B正确；直线的斜率为，与l的斜率互为负倒数，直线的斜率为，与l的斜率乘积不是.故答案为C正确，D错误. 故选： 7.已知过的直线与直线没有公共点，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】由题意可知：直线与直线平行，直线的斜率为3，所以直线方程为，即 8. 已知直线：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围. 【答案】（1）证明见详解 （2）[0，＋∞) 【解析】(1)证明　直线的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 ∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1). (2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞). 9.已知，直线和直线与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形面积最小，求的值． 【答案】 【解析】直线l1与y轴交点为，直线l2与x轴交点为， 如图由直线，知，两直线的交点为 （2，2），过C点作x轴垂线，垂足为D，于是S四边形AOBC=S梯形AODC+S△BCD= ，故时，S四过形AOBC最小 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $