2.2.3直线的一般式方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的一般式方程，从二元一次方程与直线的关系切入，衔接直线的特殊形式方程，通过定义解析、AI思考辨析搭建学习支架，帮助学生掌握方程互化及应用方法。 其亮点在于以数学眼光抽象方程特征，通过一题多解（如例2平行垂直问题）培养数学思维，用规律方法总结强化数学语言表达。学生能系统掌握知识，教师可提升教学效率，促进核心素养落地。

第二章　直线和圆的方程 2.2.3　直线的一般式方程 学 习 目 标 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 3.能运用直线的一般式方程解决有关问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点　直线的一般式方程 定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程　　　 　　(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.　 一般式方程可以表示平面内任意一条直线 Ax+By+C=0 AI·思考辨析 1.二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)何时表示斜率不存在的直线? 提示 当B=0时,二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)表示斜率不存在的直线. 2.直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),化为斜截式,其方程是什么? 提示 斜截式方程为y=-x-(A≠0,B≠0). B 体验新知 1.直线x-y+4=0的倾斜角是(　　) A. B. C. D.π 2.(2026安徽高二期末)过点(-1,6)且与直线2x+6y-7=0平行的直线方程为 (　　) A.x+3y-17=0 B.x-3y+19=0 C.3x+y-3=0 D.3x-y+9=0 A 解析 因为直线2x+6y-7=0的斜率为-,则所求直线的斜率为-. 又该直线过点(-1,6),所以所求直线的方程为y-6=-(x+1),即x+3y-17=0. 故选A. 3.过点(1,0)且与直线x+2y-2=0垂直的直线方程为(　　) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y-2=0 D.2x+y-1=0 C 解析 由直线x+2y-2=0,可得其斜率为-,则与其垂直的直线斜率为2,故过点(1,0)且与直线x+2y-2=0垂直的直线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.故选C. 4.[北师大版教材习题]求经过点(0,-1),且倾斜角为 的直线的方程,并化成一般式. 5.(人教B版教材例题)已知直线l的一般式方程为2x-3y+6=0,求直线l的斜率以及在x轴和y轴上的截距. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　直线的一般式方程与其他形式的互化 【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是 ,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1. 思路分析 先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式. 变式训练1 (北师大版教材例题)已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0,m∈R. (1)若直线l在x轴上的截距为-2,求m的值; (2)若直线l与y轴垂直,求m的值; (3)若直线l的倾斜角为 ,求m的值. 能力提升点二　直线一般式方程的应用 角度1 根据平行(垂直)求直线的方程 【例2】 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的一般式方程,l'满足: (1)过点(-1,3),且与直线l平行; (2)过点(-1,3),且与直线l垂直. 解 (方法1)将已知直线l的一般式方程化为y=-x+3,即直线l的斜率为-. (1)由直线l'与直线l平行,得直线l'的斜率为-. 又直线l'过点(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-(x+1),整理得3x+4y-9=0. (2)由直线l'与直线l垂直,得直线l'的斜率为. 又直线l'过点(-1,3),由点斜式知方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0. (方法2)(1)由直线l'与直线l平行,可设直线l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12).将点(-1,3)代入,得m=-9. 故所求直线方程为3x+4y-9=0. (2)由直线l'与直线l垂直,可设直线l'的方程为4x-3y+n=0.将点(-1,3)代入,得n=13. 故所求直线方程为4x-3y+13=0. 角度2 由直线方程的一般式判断平行或垂直 【例3】 (1)已知直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:(3a-5)x+(a-1)y-2=0,若l1∥l2,求实数a的值. (2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值. 思路分析 利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解. 解 (1)由(a-1)(a-1)-(3a-5)×1=0,得a=2或a=3. 当a=3时,两直线重合;当a=2时,符合题意. (2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1. 故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2. 变式训练2 (1)“m=-2”是“直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+4)y+2=0互相垂直”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析 若直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+4)y+2=0互相垂直,则2(m+1)+(m+4)=0,解得m=-2,所以“m=-2”是“直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+4)y+2=0互相垂直”的充要条件.故选C. (2)若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为(　　) A.1 B.-2 C.1或-2 D.- A 解析 由直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行, 可得解得m=1.故选A. (3)已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求: ①过点A和直线l平行的直线方程; ②过点A和直线l垂直的直线方程. 解 ①将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0, 又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14. 所求直线方程为3x+4y-14=0. ②将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0, 又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2, 所以直线方程为4x-3y-2=0. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的一般式方程; (2)直线五种形式方程的互化; (3)利用直线方程判定直线的平行与垂直位置关系. 2.方法归纳:分类讨论法、转化化归. 3.常见误区:(1)容易忽视直线斜率不存在的情况;(2)容易忽视两直线重合的情况;(3)容易对于直线的一般式方程形式化简不彻底. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为 (　　) A.-1,2 B.-2,2 C.2,-2 D.-2,-2 A 6 1 2 3 4 5 2.若直线x+2y-1=0与mx-2y+2=0平行,则实数m的值为(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.2 B 解析 由x+2y-1=0可知,其斜率为-. 又两直线平行,所以=-,解得m=-1.故选B. 6 1 2 3 4 5 3.(2026北京高二期中)直线x+my+n=0的倾斜角为120°,且mn<0,则该直线不通过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析 直线的斜率k=tan 120°=-<0, 又mn<0,所以直线的纵截距为->0, 所以该直线不通过第三象限.故选C. 6 1 2 3 4 5 4.(2026北京西城高二期中)已知直线l经过点P(1,0),且与直线2x-y+1=0平行,则l的方程为　　　　　　　　　　.  2x-y-2=0 解析 设经过点P(1,0)且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为2x-y+C=0, 将P(1,0)代入,得2×1-0+C=0,解得C=-2, 故经过点P(1,0)且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为2x-y-2=0. 6 1 2 3 4 5 5.过点(1,2)且与直线2x-y+1=0垂直的直线方程为　 .  x+2y-5=0 解析 设与直线2x-y+1=0垂直的直线方程为x+2y+m=0. 将点(1,2)代入,可得1+4+m=0,解得m=-5. 故所求直线方程为x+2y-5=0. 6 1 2 3 4 5 6.已知直线l1:(2-m)x+my-7=0和直线l2:mx+y-3=0,其中m为常数.若l1⊥l2,求m的值. 解 因为直线l1:(2-m)x+my-7=0与直线l2:mx+y-3=0垂直,所以(2-m)m+m=0,解得m=0或m=3. 本 课 结 束 解析 直线x-y+4=0的方程可化为y=x+, 可知倾斜角α满足tan α=.又α∈[0,π),因此α=. 解 直线的斜率k=tan, 直线的方程为y-(-1)=(x-0), 化成一般式为x-y-1=0. 解 直线l的一般式方程可以化为y=x+2, 所以直线l的斜率为,在y轴上的截距为2. 在方程中令y=0可得x=-3,因此l在x轴上的截距为-3. 解 (1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=(x-5), 化为一般式方程为x-y+3-5=0. (2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2, 化为一般式方程为4x-y-2=0. (3)由两点式方程可知, 所求直线方程为, 化为一般式方程为2x+y-3=0. (4)由截距式方程可得,所求直线方程为=1, 化为一般式方程为x+3y+3=0. 解 (1)由已知,可得直线l与x轴交于点(-2,0), 所以-2m+(m-1)·0+1=0,解得m=. 故m的值为. (2)因为直线l与y轴垂直,所以直线l的斜率为0. 所以直线l的方程可化为斜截式y=x-. 由=0,可得m=0. 故m的值为0. (3)由(2)可知直线l的斜率为,又倾斜角为, 所以由斜率与倾斜角的关系可得=tan,即=1. 解得m=.故m的值为. 解析 令x=0,则y=-=2;令y=0,则x=-=-1,得b=2,a=-1,故选A. $