1.2 直线与圆的综合问题同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆综合问题，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线斜率、圆的方程等单一知识点|单选（1-8题），直接考查概念辨析与基本运算，强化几何直观| |综合应用|直线与圆位置关系、对称问题等知识交汇|多选（9-12题）及填空（13-16题），需综合运用距离公式与方程思想，提升推理能力| |拓展提升|含参数的直线与圆综合问题|解答题（17-18题），涉及最值求解与分类讨论，培养逻辑推理与数学表达能力|

培优课　直线与圆的综合问题 1.直线3x＋y－4＝0的斜率和在y轴上的截距分别是（　　） A.－3，4 B.3，－4 C.－3，－4 D.3，4 2.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（　　） A. B. C. D. 3.与圆x2＋y2－6x＋2y＋6＝0同圆心且经过点（1，－1）的圆的方程是（　　） A.（x－3）2＋（y＋1）2＝8 B.（x＋3）2＋（y＋1）2＝8 C.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 D.（x＋3）2＋（y＋1）2＝4 4.若P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　） A.2x－y－5＝0 B.2x＋y－3＝0 C.x＋y－1＝0 D.x－y－3＝0 5.若点A（1，1）关于直线y＝kx＋b的对称点是B（－3，3），则直线y＝kx＋b在y轴上的截距是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知过点P（2，2）的直线与圆（x－1）2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝（　　） A.－ B.1 C.2 D. 7.在平面直角坐标系内有四点A（－1，2），B（4，－2），C（3，6），D（－2，4），点P为该坐标平面内的动点，则点P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为（　　） A.10 B.14 C.12 D.＋ 8.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 9.（多选）已知直线l：2x＋y＋3＝0，下列结论正确的是（　　） A.向量u＝（1，－2）是直线l的一个方向向量 B.过点P（0，2）且与直线l平行的直线为2x＋y－2＝0 C.过点P（0，2）且与直线l垂直的直线为x＋2y－4＝0 D.点P（0，2）关于直线l对称的点的坐标为（－4，0） 10.（多选）已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（　　） A.不存在k，使得l2的倾斜角为90° B.对任意的k，l1与l2都有公共点 C.对任意的k，l1与l2都不重合 D.对任意的k，l1与l2都不垂直 11.（多选）已知直线l：（1－2m）x－（m－1）y＋7m－4＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0，则（　　） A.直线l恒过定点（1，3） B.直线l与圆C相交 C.圆C被x轴截得的弦长为3 D.当圆C被直线l截得的弦最短时，m＝ 12.（多选）如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（　　） A.6 B.8 C.10 D.16 13.已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　. 14.由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程是　　　　. 15.过点A（11，2）作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有　　　　条. 16.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为　　　　. 17.已知直线l：x＋（m－1）y－m＝0. （1）若直线的倾斜角α∈［，］，求实数m的取值范围； （2）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程. 18.已知圆C：x2＋y2＝25和圆外一点P（3，6）. （1）若过点P的直线截圆C所得的弦长为8，求该直线的方程； （2）求x2＋y2－8x－6y的最大值和最小值. 培优课　直线与圆的综合问题 1.A　直线3x＋y－4＝0的斜率为－3，在y轴上的截距为4. 2.B　∵直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）·x＋3y＋2a＝0平行，∴＝≠，且a－2≠0，a≠0，∴a＝－1，∴直线l1与l2之间的距离为d＝＝. 3.C　由圆x2＋y2－6x＋2y＋6＝0得圆心坐标为（3，－1），又因为该圆经过点（1，－1），故r2＝（1－3）2＋（－1＋1）2＝4.故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝4，故选C. 4.D　圆心C（1，0），kPC＝＝－1，则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D. 5.D　∵点A（1，1）关于直线y＝kx＋b的对称点是B（－3，3），由中点坐标公式得AB的中点坐标为（－1，2），代入y＝kx＋b得2＝－k＋b，①.直线AB的斜率为＝－，则k＝2.代入①得，b＝4.∴直线y＝kx＋b为y＝2x＋4，∴直线y＝kx＋b在y轴上的截距是4. 6.C　由题意知圆心为（1，0），由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P（2，2），∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2. 7.A　点P到A（－1，2），B（4，－2），C（3，6），D（－2，4）四点的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＋｜PD｜＝｜PB｜＋｜PD｜＋｜PA｜＋｜PC｜≥｜BD｜＋｜AC｜，即P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为四点构成的四边形对角线的长度之和，即＋＝10.故选A. 8.C　法一　由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝2，依题意得圆心C（－1，2）在直线2ax＋by＋6＝0上，所以2a×（－1）＋b×2＋6＝0，即a＝b＋3. ① 易知由点（a，b）向圆所作的切线长l＝， ② 将①代入②，得l＝＝.又b∈R，所以当b＝－1时，lmin＝4. 法二　因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆心C（－1，2），半径r＝，点（a，b）在直线y＝x－3上，所以点（a，b）与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d'，易求得d'＝＝3，所以切线长的最小值为＝4. 9.ABD　对于A，直线l的斜率为－2，则u＝（1，－2）是直线l的一个方向向量，故A正确；对于B，过P（0，2）且与直线l平行的直线为y＝－2x＋2，即2x＋y－2＝0，故B正确；对于C，过P（0，2）且与直线l垂直的直线为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0，故C错误；对于D，过P（0，2）且与直线l垂直的直线x－2y＋4＝0与直线l的交点为M（－2，1），则点P（0，2）关于直线l对称的点的坐标为（－4，0），故D正确.故选A、B、D. 10.BD　A.存在k＝0，使得l2的倾斜角为90°，故不正确；B.直线l1：x－y－1＝0过定点（0，－1），直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R）⇒k（x＋y＋1）＋x＝0过定点（0，－1），故正确.C.当l1与l2重合时，l2的斜率为1，即－＝1，解得k＝－，满足重合，故错误.D.假如l1⊥l2，则l2的斜率为－1，即－＝－1，无解，故正确. 11.BD　依题意，直线l：（1－2m）x－（m－1）y＋7m－4＝0可化为（－2x－y＋7）m＋x＋y－4＝0，由解得即直线l过定点P（3，1），A不正确；圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25的圆心C（1，2），半径r＝5，｜PC｜＝＝＜r，即点P在圆C内，直线l与圆C恒相交，B正确；圆心C到x轴的距离d＝2，则圆C被x轴截得的弦长为2＝2＝2，C不正确；由于直线l过定点P（3，1），圆心C（1，2），则直线PC的斜率k＝＝－，当圆C被直线l截得的弦最短时，由圆的性质知，l⊥PC，于是得＝2，解得m＝，D正确.故选B、D. 12.AD　设当圆与直线l相切时，圆心坐标为（0，m），则圆心到直线l的距离为＝，得m＝－或m＝－，∴该圆运动的时间为＝6（s）或＝16（s）. 13.－2（或－或或2，填写任意一个均可） 解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可. 14.x2＋y2＝4　解析：设动点P的坐标为（x，y），依题意有｜PO｜＝＝＝2，∴x2＋y2＝4，即所求的轨迹方程为x2＋y2＝4. 15.32　解析：由题意可知过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×（26－10－1）＝32（条）. 16.　解析：由解得把（1，2）代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n，所以点（m，n）到原点的距离d＝＝＝≥，当n＝－2时等号成立，此时m＝－1.所以点（m，n）到原点的距离的最小值为. 17.解：（1）由题意可知当m＝1时，倾斜角为，符合题意， 当m≠1时，直线l的斜率k＝. ∵倾斜角α∈［，）⇒k＝tan α∈[1，＋∞），∴≥1⇒0≤m＜1. 故m的取值范围为[0，1]. （2）在直线l中，令x＝0，则y＝，即B（0，），令y＝0，则x＝m，即A（m，0）， 由题意可知：得m＞1. 即S△AOB＝｜OA｜·｜OB｜＝ ｜m｜·＝·＝＝［（m－1）＋＋2］≥［2＋2］＝2. 当且仅当m－1＝⇒（m－1）2＝1⇒m＝2时取等号， 故S△AOB最小值为2，此时直线l方程为：x＋y－2＝0. 18.解：（1）当过P的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3， 由解得y＝4或y＝－4，则弦长为8，符合题意. 当过P的直线斜率存在时，设直线的方程为y－6＝k（x－3），即kx－y＋6－3k＝0， 圆C：x2＋y2＝25的圆心为（0，0），半径为5， 设圆心（0，0）到直线kx－y＋6－3k＝0的距离为d（d＞0），则d2＋＝52，d＝3， 即＝3，解得k＝， 直线方程为x－y＋6－＝0，即3x－4y＋15＝0. 综上，该直线的方程为x＝3或3x－4y＋15＝0. （2）x2＋y2－8x－6y＝（x－4）2＋（y－3）2－25， 表示圆上的点（x，y）到点（4，3）的距离的平方减去25， 点（4，3）在圆C：x2＋y2＝25上， 所以圆上的点（x，y）到点（4，3）的距离的平方的取值范围是[0，102]，即[0，100]， 所以x2＋y2－8x－6y＝（x－4）2＋（y－3）2－25的取值范围是[－25，75]， 所以x2＋y2－8x－6y的最大值为75，最小值为－25. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $