直线与圆锥曲线的交点、直线与圆锥曲线的综合问题 练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

直线与圆锥曲线的交点、直线与圆锥曲线的综合问题 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则线段的长为( ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的右焦点为F，过点F的直线交椭圆交于A，B两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 3.直线与椭圆（）的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则线段的长为( ) A.8 B. C. D.4 5.已知双曲线的离心率为，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且为钝角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.已知直线与椭圆，则下列结论正确的是( ) A.若C与l至少有一个公共点，则 B.若C与l有且仅有两个公共点，则 C.若，则C上到l的距离为5的点只有1个 D.若，则C上到l的距离为1的点只有3个 8.已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线l交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有( ) A.或-9 B.该双曲线的离心率为 C.满足的直线l有且仅有一条 D.若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线l的斜率的取值范围是、 9.已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是( ) A.为定值 B.线段AB的中点在一条定直线上 C.为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率） D.为定值（F为抛物线的焦点） 10.在平面直角坐标系中，已知点F和曲线C上不同两点A，B，记，则下列结论中正确的是( ) A.若点和直线上不同两点A，B，则的最小值为0 B.若点和椭圆上不同两点A，B，则的最大值为0 C.若点和圆上不同两点A，B，，则的最大值为 D.若点和双曲线右支上不同两点A，B，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则___________. 12.已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，O为坐标原点，若的面积为2，则O到直线的距离为__________. 13.设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆和上的点，则的最大值为__________. 14.斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段的长为______. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为. (1)求E的标准方程； (2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线，与l分别交于点M，N，如图. （i）连接，，证明：当时，； （ii）连接，试问：当t取何值时，. 参考答案 1.答案：A 解析：由题知，抛物线方程为，所以抛物线焦点为，所以该直线方程为，即，联立，得，设，，则，所以.故选：A 2.答案：A 解析：，，令，，则， ，，，.故选：A. 3.答案：C 解析：因为直线过点，，而，为椭圆的右端点和上端点，故直线与椭圆相交.故选：C. 4.答案：A 解析：由题知，抛物线方程为，所以抛物线焦点为，所以该直线方程为，即，联立，得，设，则，所以.故选：A 5.答案：A 解析：因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的方程为.设直线，与双曲线C的方程联立，可得， 设，，则，，， 因为为钝角，所以，所以，即，所以，即，所以直线l的斜率k满足，又A，O，B三点不可能共线，所以， 故直线l的斜率的取值范围是.故选A. 6.答案：D 解析：如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为C， 设，，由图形的对称性知.由A，B两点在双曲线上知，，作差得到，其中，故直线的斜率，此时直线的方程为，与双曲线的方程联立得，化简得，即或，那么或. 又直线的斜率为，所以或，解得，故选：D. 7.答案：BCD 解析：联立，消去y得，则判别式， A：令，则有，错误； B：令，则有，正确； C：令直线l与椭圆C相切，则，即， 直线与的距离，正确； D：如图，直线分别与和的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，正确.故选：BCD. 8.答案：BD 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得，故A错误； 双曲线方程为，故，，所以该双曲线的离心率，故B正确； 点为双曲线的右焦点，当时，，当A，B两点都在双曲线的右支上时，，因为，所以这种情况的直线只有一条，且与x轴垂直，当A，B在双曲线的左右两支上时，可得，而，可得这样的直线有两条，综上所述，满足的直线l有3条，故C错误； 双曲线的渐近线方程为，要使A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线l的斜率的取值范围是，故D正确.故选：BD. 9.答案：BC 解析：A选项，设直线方程为，联立，得，故不是定值，A错误； B选项，由A可知，，故，则，故线段AB的中点坐标为，一定在直线上，B正确； C选项，， ， 故为定值，C正确； D选项，由抛物线焦半径公式可得，，，因为，所以，不是定值，D错误.故选：BC 10.答案：ACD 解析：对于选项A，如图1，2， .故A正确； 对于选项B，（A，B，F三点共线时取等号）.故B错误； 对于选项C，如图3， 可知圆，圆心为，又，故为圆C直径，连接，则，因为，，且，所以，又， （时取等号）..故C正确； 对于选项D，如图4，可知点是双曲线C的左焦点，设右焦点为.由双曲线的定义， 得， 即（当点在线段上时取等号）.故D正确. 故选：ACD 11.答案：8 解析：由题意，椭圆的长半轴长，因为A，B在椭圆上，所以， 故，由图可知，，代入①得，又，所以. 12.答案： 解析：，设，因为，所以，不妨取，则，，则，故O到距离为.故答案为：. 13.答案：9 解析：设两圆和的圆心分别为A，B，则A，B恰好为双曲线的两个焦点，，即最大值为9. 14.答案：16 解析：因为过抛物线的焦点，斜率为1，所以直线的方程为，则联立直线与抛物线方程，得到，令，则，，代入弦长公式.故答案为：16. 15.答案：(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 解析：（1）根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为， 即，又右焦点对应的极线方程为，. 又，，联立解得，，. E的标准方程为：. （2）（i）由，可得， 点P关于E所对应的极线方程为， 设，，，直线， 代入椭圆方程整理得：， 显然，则，， 则，. A，B，M三点共线，则，得，解得， 则点，同理得点. ，. （ii），， 因，故，则有. 由关于E对应的极线为直线，设直线， 代入椭圆方程整理得：， 由韦达定理得：，. 则，. A，B，M三点共线，，即，解得， 则点，，， 由可得， 整理得， 即， 故， 化简得， 即， 又，则有，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $